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Theorem psrcom 16473
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15695 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 16438 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 16445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
18 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
1918elrab 3093 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
2017, 19sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
2120simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
2216, 21ffvelrnd 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 16445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2524ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
267ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
27 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
288psrbagf 16433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
2926, 21, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3020simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
318psrbagcon 16437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
3332simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
3425, 33ffvelrnd 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 15678 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3711, 22, 34, 36syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
3937, 38fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
40 cnvimass 5225 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
4138dmmptss 5367 . . . . . . 7  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
4240, 41sstri 3358 . . . . . 6  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
43 ssfi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
4410, 42, 43sylancl 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( `' ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
45 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
468, 45psrbagconf1o 16440 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
477, 46sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
481, 2, 6, 10, 39, 44, 47gsumf1o 15523 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )
497ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
50 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
51 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
528, 45psrbagconcl 16439 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
54 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )
55 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) )
56 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  o F  -  j
) ) )
57 oveq2 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( x  o F  -  k )  =  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) )
5857fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )
5956, 58oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
6053, 54, 55, 59fmptco 5902 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) )
618psrbagf 16433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
627, 61sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
6362adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
6463ffvelrnda 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
65 breq1 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
6665elrab 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
6751, 66sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
6867simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
698psrbagf 16433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
7049, 68, 69syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
7170ffvelrnda 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
72 nn0cn 10232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
73 nn0cn 10232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
74 nncan 9331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
7572, 73, 74syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
7664, 71, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
7776mpteq2dva 4296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
78 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
8063feqmptd 5780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
8170feqmptd 5780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
8249, 64, 71, 80, 81offval2 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
8349, 64, 79, 80, 82offval2 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
8477, 83, 813eqtr4d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  j )
8584fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
8685oveq2d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
87 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
8887ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  CRing )
8915ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
9067simprd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
918psrbagcon 16437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
9249, 50, 70, 90, 91syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
9392simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
9489, 93ffvelrnd 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  (
x  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
9524ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
9695, 68ffvelrnd 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
971, 35crngcom 15679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
9888, 94, 96, 97syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
9986, 98eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
10099mpteq2dva 4296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
10160, 100eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  o F  -  j ) ) ) ) )
102101oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
10348, 102eqtrd 2469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
104103mpteq2dva 4296 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) ) )
105 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
10612, 13, 35, 105, 8, 14, 23psrmulfval 16450 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) )
10712, 13, 35, 105, 8, 23, 14psrmulfval 16450 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
108104, 106, 1073eqtr4d 2479 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   "cima 4882    o. ccom 4883   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    o Fcof 6304    o Rcofr 6305    ^m cmap 7019   Fincfn 7110   CCcc 8989    <_ cle 9122    - cmin 9292   NNcn 10001   NN0cn0 10222   Basecbs 13470   .rcmulr 13531   0gc0g 13724    gsumg cgsu 13725  CMndccmn 15413   Ringcrg 15661   CRingccrg 15662   mPwSer cmps 16407
This theorem is referenced by:  psrcrng  16477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-psr 16418
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