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Theorem psrcom 16435
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15657 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 16400 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 16407 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
18 breq1 4183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
1918elrab 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
2017, 19sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
2120simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
2216, 21ffvelrnd 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 16407 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
267ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
27 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
288psrbagf 16395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
2926, 21, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3020simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
318psrbagcon 16399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
3332simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
3425, 33ffvelrnd 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 15640 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3711, 22, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
3937, 38fmptd 5860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
40 cnvimass 5191 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
4138dmmptss 5333 . . . . . . 7  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
4240, 41sstri 3325 . . . . . 6  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
43 ssfi 7296 . . . . . 6  |-  ( ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
4410, 42, 43sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( `' ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
45 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
468, 45psrbagconf1o 16402 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
477, 46sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
481, 2, 6, 10, 39, 44, 47gsumf1o 15485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )
497ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
50 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
51 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
528, 45psrbagconcl 16401 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
54 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )
55 eqidd 2413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) )
56 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  o F  -  j
) ) )
57 oveq2 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( x  o F  -  k )  =  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) )
5857fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )
5956, 58oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
6053, 54, 55, 59fmptco 5868 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) )
618psrbagf 16395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
627, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
6463ffvelrnda 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
65 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
6665elrab 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
6751, 66sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
6867simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
698psrbagf 16395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
7049, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
7170ffvelrnda 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
72 nn0cn 10195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
73 nn0cn 10195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
74 nncan 9294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
7572, 73, 74syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
7664, 71, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
7776mpteq2dva 4263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
78 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
8063feqmptd 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
8170feqmptd 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
8249, 64, 71, 80, 81offval2 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
8349, 64, 79, 80, 82offval2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
8477, 83, 813eqtr4d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  j )
8584fveq2d 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
8685oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
87 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
8887ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  CRing )
8915ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
9067simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
918psrbagcon 16399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
9249, 50, 70, 90, 91syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
9392simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
9489, 93ffvelrnd 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  (
x  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
9524ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
9695, 68ffvelrnd 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
971, 35crngcom 15641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
9888, 94, 96, 97syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
9986, 98eqtrd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
10099mpteq2dva 4263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
10160, 100eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  o F  -  j ) ) ) ) )
102101oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
10348, 102eqtrd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
104103mpteq2dva 4263 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) ) )
105 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
10612, 13, 35, 105, 8, 14, 23psrmulfval 16412 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) )
10712, 13, 35, 105, 8, 23, 14psrmulfval 16412 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
108104, 106, 1073eqtr4d 2454 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   {csn 3782   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   "cima 4848    o. ccom 4849   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Fcof 6270    o Rcofr 6271    ^m cmap 6985   Fincfn 7076   CCcc 8952    <_ cle 9085    - cmin 9255   NNcn 9964   NN0cn0 10185   Basecbs 13432   .rcmulr 13493   0gc0g 13686    gsumg cgsu 13687  CMndccmn 15375   Ringcrg 15623   CRingccrg 15624   mPwSer cmps 16369
This theorem is referenced by:  psrcrng  16439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-psr 16380
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