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Theorem psrcom 16153
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15371 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 16118 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 16125 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
18 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
1918elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
2017, 19sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
2120simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
22 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
) )
2316, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
24 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2512, 1, 8, 13, 24psrelbas 16125 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
277ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
28 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
298psrbagf 16113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
3027, 21, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3120simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
328psrbagcon 16117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
3327, 28, 30, 31, 32syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
3433simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
35 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  (
x  o F  -  k )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
3626, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
37 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
381, 37rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3911, 23, 36, 38syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
40 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
4139, 40fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
42 cnvimass 5033 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
4340dmmptss 5169 . . . . . . 7  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
4442, 43sstri 3188 . . . . . 6  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
45 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
4610, 44, 45sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( `' ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
47 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
488, 47psrbagconf1o 16120 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
497, 48sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
501, 2, 6, 10, 41, 46, 49gsumf1o 15199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )
517ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
52 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
53 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
548, 47psrbagconcl 16119 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
56 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )
57 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  o F  -  j
) ) )
59 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( x  o F  -  k )  =  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) )
6059fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )
6158, 60oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
6255, 56, 57, 61fmptco 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) )
638psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
647, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
66 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( x `  z
)  e.  NN0 )
6765, 66sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
68 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
6968elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
7053, 69sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
7170simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
728psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
7351, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
74 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
7573, 74sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
76 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
77 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
78 nncan 9076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
7976, 77, 78syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
8067, 75, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
8180mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
82 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
8465feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
8573feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
8651, 67, 75, 84, 85offval2 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
8751, 67, 83, 84, 86offval2 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
8881, 87, 853eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  j )
8988fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
9089oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
91 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
9291ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  CRing )
9315ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
9470simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
958psrbagcon 16117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
9651, 52, 73, 94, 95syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
9796simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
98 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  (
x  o F  -  j )  e.  D
)  ->  ( X `  ( x  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
9993, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  (
x  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
10025ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
101 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  j  e.  D )  ->  ( Y `  j )  e.  ( Base `  R
) )
102100, 71, 101syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
1031, 37crngcom 15355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
10492, 99, 102, 103syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
10590, 104eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
106105mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
10762, 106eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  o F  -  j ) ) ) ) )
108107oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
10950, 108eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
110109mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) ) )
111 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
11212, 13, 37, 111, 8, 14, 24psrmulfval 16130 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) )
11312, 13, 37, 111, 8, 24, 14psrmulfval 16130 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
114110, 112, 1133eqtr4d 2325 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  psrcrng  16157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-psr 16098
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