MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Unicode version

Theorem psrcom 16363
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15581 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 16328 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 16335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
18 breq1 4128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
1918elrab 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
2017, 19sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
2120simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
22 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  k  e.  D )  ->  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
) )
2316, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
24 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2512, 1, 8, 13, 24psrelbas 16335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
277ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
28 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
298psrbagf 16323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
3027, 21, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3120simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
328psrbagcon 16327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
3327, 28, 30, 31, 32syl13anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
3433simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
35 ffvelrn 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  (
x  o F  -  k )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
3626, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
37 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
381, 37rngcl 15564 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3911, 23, 36, 38syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
40 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
4139, 40fmptd 5795 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
42 cnvimass 5136 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
4340dmmptss 5272 . . . . . . 7  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
4442, 43sstri 3274 . . . . . 6  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
45 ssfi 7226 . . . . . 6  |-  ( ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
4610, 44, 45sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( `' ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
47 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
488, 47psrbagconf1o 16330 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
497, 48sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
501, 2, 6, 10, 41, 46, 49gsumf1o 15409 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )
517ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
52 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
53 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
548, 47psrbagconcl 16329 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
56 eqidd 2367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )
57 eqidd 2367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) )
58 fveq2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  o F  -  j
) ) )
59 oveq2 5989 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( x  o F  -  k )  =  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) )
6059fveq2d 5636 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )
6158, 60oveq12d 5999 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
6255, 56, 57, 61fmptco 5802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) )
638psrbagf 16323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
647, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
66 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( x `  z
)  e.  NN0 )
6765, 66sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
68 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
6968elrab 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
7053, 69sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
7170simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
728psrbagf 16323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
7351, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
74 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
7573, 74sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
76 nn0cn 10124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
77 nn0cn 10124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
78 nncan 9223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
7976, 77, 78syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
8067, 75, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
8180mpteq2dva 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
82 ovex 6006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
8465feqmptd 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
8573feqmptd 5682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
8651, 67, 75, 84, 85offval2 6222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
8751, 67, 83, 84, 86offval2 6222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
8881, 87, 853eqtr4d 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  j )
8988fveq2d 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
9089oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
91 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
9291ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  CRing )
9315ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
9470simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
958psrbagcon 16327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
9651, 52, 73, 94, 95syl13anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
9796simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
98 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  (
x  o F  -  j )  e.  D
)  ->  ( X `  ( x  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
9993, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  (
x  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
10025ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
101 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  j  e.  D )  ->  ( Y `  j )  e.  ( Base `  R
) )
102100, 71, 101syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
1031, 37crngcom 15565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
10492, 99, 102, 103syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
10590, 104eqtrd 2398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
106105mpteq2dva 4208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
10762, 106eqtrd 2398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  o F  -  j ) ) ) ) )
108107oveq2d 5997 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
10950, 108eqtrd 2398 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
110109mpteq2dva 4208 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) ) )
111 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
11212, 13, 37, 111, 8, 14, 24psrmulfval 16340 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) )
11312, 13, 37, 111, 8, 24, 14psrmulfval 16340 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
114110, 112, 1133eqtr4d 2408 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    C_ wss 3238   {csn 3729   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   `'ccnv 4791   dom cdm 4792   "cima 4795    o. ccom 4796   -->wf 5354   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203    o Rcofr 6204    ^m cmap 6915   Fincfn 7006   CCcc 8882    <_ cle 9015    - cmin 9184   NNcn 9893   NN0cn0 10114   Basecbs 13356   .rcmulr 13417   0gc0g 13610    gsumg cgsu 13611  CMndccmn 15299   Ringcrg 15547   CRingccrg 15548   mPwSer cmps 16297
This theorem is referenced by:  psrcrng  16367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-psr 16308
  Copyright terms: Public domain W3C validator