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Theorem psrdi 16470
Description: Distributive law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
psrdi.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrdi  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    S( f)   
.X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 16446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =  ( Y  o F ( +g  `  R ) Z ) )
87fveq1d 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y  o F ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) )
98ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y  o F ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) )
10 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
11 psrrng.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
13 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
14 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
15 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
1715, 16psrbagconcl 16438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1812, 13, 14, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1910, 18sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
20 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
211, 20, 15, 2, 5psrelbas 16444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
23 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : D --> ( Base `  R )  ->  Y  Fn  D )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y  Fn  D )
251, 20, 15, 2, 6psrelbas 16444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
27 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : D --> ( Base `  R )  ->  Z  Fn  D )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Z  Fn  D )
29 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
3029rabex 4354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
3115, 30eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  D  e.  _V )
33 inidm 3550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  i^i  D )  =  D
34 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) )
35 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  =  ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) )
3624, 28, 32, 32, 33, 34, 35ofval 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( ( Y  o F ( +g  `  R ) Z ) `
 ( k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ( +g  `  R ) ( Z `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )
3719, 36mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y  o F ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
389, 37eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
3938oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )
40 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4140ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
42 psrass.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
431, 20, 15, 2, 42psrelbas 16444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
4510, 14sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
4644, 45ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
4722, 19ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
4826, 19ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
49 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5020, 3, 49rngdi 15682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  x
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Z `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
5141, 46, 47, 48, 50syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
5239, 51eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )
5352mpteq2dva 4295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5415psrbaglefi 16437 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
5511, 54sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
5620, 49rngcl 15677 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5741, 46, 47, 56syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5820, 49rngcl 15677 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5941, 46, 48, 58syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
60 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )
61 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )
6255, 57, 59, 60, 61offval2 6322 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
6353, 62eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R ) ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
6463oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
65 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6640adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
67 rngcmn 15694 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6866, 67syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
7057, 69fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
71 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
7259, 71fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
73 cnvimass 5224 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
7469dmmptss 5366 . . . . . . 7  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
7573, 74sstri 3357 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
76 ssfi 7329 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
7755, 75, 76sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
78 cnvimass 5224 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
7971dmmptss 5366 . . . . . . 7  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
8078, 79sstri 3357 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
81 ssfi 7329 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
8255, 80, 81sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
8320, 65, 3, 68, 55, 70, 72, 77, 82gsumadd 15528 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8464, 83eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
8584mpteq2dva 4295 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
86 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
87 rnggrp 15669 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
8840, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
891, 2, 4, 88, 5, 6psraddcl 16447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  B )
901, 2, 49, 86, 15, 42, 89psrmulfval 16449 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
911, 2, 86, 40, 42, 5psrmulcl 16452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
921, 2, 86, 40, 42, 6psrmulcl 16452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  B )
931, 2, 3, 4, 91, 92psradd 16446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  o F ( +g  `  R
) ( X  .X.  Z ) ) )
9431a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
95 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
97 ovex 6106 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
9897a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
991, 2, 49, 86, 15, 42, 5psrmulfval 16449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
1001, 2, 49, 86, 15, 42, 6psrmulfval 16449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
10194, 96, 98, 99, 100offval2 6322 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  o F ( +g  `  R
) ( X  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
10293, 101eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
10385, 90, 1023eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    o Rcofr 6304    ^m cmap 7018   Fincfn 7109    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724   Grpcgrp 14685  CMndccmn 15412   Ringcrg 15660   mPwSer cmps 16406
This theorem is referenced by:  psrrng  16474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-psr 16417
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