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Theorem psrdi 16167
Description: Distributive law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
psrdi.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrdi  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    S( f)   
.X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 16143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =  ( Y  o F ( +g  `  R ) Z ) )
87fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y  o F ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) )
98ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y  o F ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) )
10 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
11 psrrng.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
13 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
14 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
15 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
1715, 16psrbagconcl 16135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1812, 13, 14, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1910, 18sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
20 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
211, 20, 15, 2, 5psrelbas 16141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
23 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : D --> ( Base `  R )  ->  Y  Fn  D )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y  Fn  D )
251, 20, 15, 2, 6psrelbas 16141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
27 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : D --> ( Base `  R )  ->  Z  Fn  D )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Z  Fn  D )
29 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
3029rabex 4181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
3115, 30eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  D  e.  _V )
33 inidm 3391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  i^i  D )  =  D
34 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  =  ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) )
35 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  =  ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) )
3624, 28, 32, 32, 33, 34, 35ofval 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( ( Y  o F ( +g  `  R ) Z ) `
 ( k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ( +g  `  R ) ( Z `
 ( k  o F  -  x ) ) ) )
3719, 36mpdan 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y  o F ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
389, 37eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) )  =  ( ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
3938oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )
40 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
42 psrass.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
431, 20, 15, 2, 42psrelbas 16141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
4510, 14sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
46 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
4744, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
48 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : D --> ( Base `  R )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
4922, 19, 48syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
50 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z : D --> ( Base `  R )  /\  (
k  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
5126, 19, 50syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
52 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5320, 3, 52rngdi 15375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  x
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Z `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
5441, 47, 49, 51, 53syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )
5539, 54eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )
5655mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5715psrbaglefi 16134 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
5811, 57sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
5920, 52rngcl 15370 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6041, 47, 49, 59syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
6120, 52rngcl 15370 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6241, 47, 51, 61syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
63 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )
64 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )
6558, 60, 62, 63, 64offval2 6111 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
6656, 65eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R ) ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
6766oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
68 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6940adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
70 rngcmn 15387 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
7169, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
72 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
7360, 72fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
74 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
7562, 74fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
76 cnvimass 5049 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
7772dmmptss 5185 . . . . . . 7  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
7876, 77sstri 3201 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
79 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
8058, 78, 79sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
81 cnvimass 5049 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
8274dmmptss 5185 . . . . . . 7  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
8381, 82sstri 3201 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
84 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
8558, 83, 84sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
8620, 68, 3, 71, 58, 73, 75, 80, 85gsumadd 15221 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8767, 86eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
8887mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
89 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
90 rnggrp 15362 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
9140, 90syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
921, 2, 4, 91, 5, 6psraddcl 16144 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  B )
931, 2, 52, 89, 15, 42, 92psrmulfval 16146 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
941, 2, 89, 40, 42, 5psrmulcl 16149 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
951, 2, 89, 40, 42, 6psrmulcl 16149 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  B )
961, 2, 3, 4, 94, 95psradd 16143 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  o F ( +g  `  R
) ( X  .X.  Z ) ) )
9731a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
98 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
9998a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
100 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
101100a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
1021, 2, 52, 89, 15, 42, 5psrmulfval 16146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
1031, 2, 52, 89, 15, 42, 6psrmulfval 16146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
10497, 99, 101, 102, 103offval2 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  o F ( +g  `  R
) ( X  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
10596, 104eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
10688, 93, 1053eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   Fincfn 6879    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Grpcgrp 14378  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353   mPwSer cmps 16103
This theorem is referenced by:  psrrng  16171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-psr 16114
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