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Theorem psrlidm 16164
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrlidm  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x,  .1.    x, S    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 16163 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
12 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 16149 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 16141 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5405 . . 3  |-  ( ( U  .x.  X ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( U  .x.  X )  Fn  D )
1614, 15syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 12psrelbas 16141 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5405 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2111adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
2212adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 16147 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
25 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
2625fconst6 5447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
28 0fin 7103 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
29 nn0supp 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3026, 29mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3125a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
32 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
33 fvconst2g 5743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
3431, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
3527, 34suppss 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
3630, 35eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
37 ssfi 7099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
3828, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
393psrbag 16128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
407, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4127, 38, 40mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
4241adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
433psrbagf 16129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
447, 43sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
45 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( y `  x
)  e.  NN0 )
4644, 45sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  NN0 )
4746nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( y `  x
) )
4847ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) )
49 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
5026, 49mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  Fn  I
)
51 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
5244, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  Fn  I )
537adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
54 inidm 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5525a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  0  e.  NN0 )
5655, 33sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
57 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  =  ( y `  x ) )
5850, 52, 53, 53, 54, 56, 57ofrfval 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( I  X.  {
0 } )  o R  <_  y  <->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) ) )
5948, 58mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  o R  <_  y )
60 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( g  o R  <_  y  <->  ( I  X.  { 0 } )  o R  <_  y
) )
6160elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  <->  ( (
I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( I  X.  {
0 } )  o R  <_  y )
)
6242, 59, 61sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
6362snssd 3776 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  C_  { g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
64 resmpt 5016 . . . . . 6  |-  ( { ( I  X.  {
0 } ) } 
C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  ->  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
6563, 64syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
6665oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
67 rngcmn 15387 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
686, 67syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6968adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
70 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
7170rabex 4181 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
723, 71eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
7372rabex 4181 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V
7473a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V )
756ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  R  e.  Ring )
76 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
77 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  o R  <_ 
y  <->  z  o R  <_  y ) )
7877elrab 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y
) )
7976, 78sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
8079simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  D )
811, 2, 3, 4, 21psrelbas 16141 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
82 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U : D --> ( Base `  R )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8381, 82sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8480, 83syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( U `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
8517ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
867ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  I  e.  V )
8723adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
y  e.  D )
883psrbagf 16129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
8986, 80, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
9079simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  o R  <_ 
y )
913psrbagcon 16133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  o R  <_  y
) )  ->  (
( y  o F  -  z )  e.  D  /\  ( y  o F  -  z
)  o R  <_ 
y ) )
9286, 87, 89, 90, 91syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( y  o F  -  z )  e.  D  /\  (
y  o F  -  z )  o R  <_  y ) )
9392simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( y  o F  -  z )  e.  D )
94 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  (
y  o F  -  z )  e.  D
)  ->  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
9585, 93, 94syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( X `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
962, 20rngcl 15370 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( U `  z
) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  o F  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
9775, 84, 95, 96syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
98 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )
9997, 98fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
100 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
101100, 79sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
102101simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
z  e.  D )
103 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
104103ifbid 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
105 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
1069, 105eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
107 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1088, 107eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
109106, 108ifex 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
110104, 10, 109fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  D  ->  ( U `  z )  =  if ( z  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111102, 110syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
112 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
114 elsn 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) }  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) )
115113, 114sylnib 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  =  (
I  X.  { 0 } ) )
116 iffalse 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if (
z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
118111, 117eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  .0.  )
119118oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) )
1206ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
121100, 95sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( X `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
1222, 20, 8rnglz 15393 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  ( y  o F  -  z
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) )  =  .0.  )
123120, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  .0.  )
124119, 123eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  .0.  )
125124suppss2 6089 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
126 snfi 6957 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
127 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
128126, 125, 127sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1292, 8, 69, 74, 99, 125, 128gsumres 15213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) ) )
1306adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
131 rngmnd 15366 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
132130, 131syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
133 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
134133, 10, 106fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
13542, 134syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
136 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
137136subid1d 9162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z  -  0 )  =  z )
138137adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
13953, 44, 55, 138caofid0r 6122 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) )  =  y )
140139fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) )  =  ( X `  y ) )
141135, 140oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) ) )
142 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
14317, 142sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1442, 20, 9rnglidm 15380 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
145130, 143, 144syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
146141, 145eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  ( X `
 y ) )
147146, 143eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
148 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( U `  z )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
149 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( y  o F  -  z )  =  ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) )
150149fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  =  ( X `  ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )
151148, 150oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) )  =  ( ( U `
 ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
1522, 151gsumsn 15236 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
153132, 42, 147, 152syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15466, 129, 1533eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15524, 154, 1463eqtrd 2332 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15616, 19, 155eqfnfvd 5641 1  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   0cc0 8753    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353   1rcur 15355   mPwSer cmps 16103
This theorem is referenced by:  psrrng  16171  psr1  16172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-psr 16114
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