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Theorem psrlidm 16468
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrlidm  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x,  .1.    x, S    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2437 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 16467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
12 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 16453 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 16445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5592 . . 3  |-  ( ( U  .x.  X ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( U  .x.  X )  Fn  D )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 12psrelbas 16445 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5592 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2437 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2111adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
2212adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
23 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 16451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
25 0nn0 10237 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
2625fconst6 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
28 0fin 7337 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
29 nn0supp 10274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3026, 29mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
32 eldifi 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
33 fvconst2g 5946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
3431, 32, 33syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
3527, 34suppss 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
3630, 35eqsstr3d 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
37 ssfi 7330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
3828, 36, 37sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
393psrbag 16432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
407, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4127, 38, 40mpbir2and 890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
4241adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
433psrbagf 16433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
447, 43sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
4544ffvelrnda 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 10278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( y `  x
) )
4746ralrimiva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) )
48 ffn 5592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
4926, 48mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  Fn  I
)
50 ffn 5592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
5144, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  Fn  I )
527adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
53 inidm 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5425a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  0  e.  NN0 )
5554, 33sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
56 eqidd 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  =  ( y `  x ) )
5749, 51, 52, 52, 53, 55, 56ofrfval 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( I  X.  {
0 } )  o R  <_  y  <->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) ) )
5847, 57mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  o R  <_  y )
59 breq1 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( g  o R  <_  y  <->  ( I  X.  { 0 } )  o R  <_  y
) )
6059elrab 3093 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  <->  ( (
I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( I  X.  {
0 } )  o R  <_  y )
)
6142, 58, 60sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
6261snssd 3944 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  C_  { g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
63 resmpt 5192 . . . . . 6  |-  ( { ( I  X.  {
0 } ) } 
C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  ->  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
6564oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
66 rngcmn 15695 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
676, 66syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6867adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 ovex 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
7069rabex 4355 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
713, 70eqeltri 2507 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
7271rabex 4355 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V )
746ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  R  e.  Ring )
75 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
76 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  o R  <_ 
y  <->  z  o R  <_  y ) )
7776elrab 3093 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y
) )
7875, 77sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
7978simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  D )
801, 2, 3, 4, 21psrelbas 16445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
8180ffvelrnda 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8279, 81syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( U `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
8317ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
847ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  I  e.  V )
8523adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
y  e.  D )
863psrbagf 16433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
8784, 79, 86syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
8878simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  o R  <_ 
y )
893psrbagcon 16437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  o R  <_  y
) )  ->  (
( y  o F  -  z )  e.  D  /\  ( y  o F  -  z
)  o R  <_ 
y ) )
9084, 85, 87, 88, 89syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( y  o F  -  z )  e.  D  /\  (
y  o F  -  z )  o R  <_  y ) )
9190simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( y  o F  -  z )  e.  D )
9283, 91ffvelrnd 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( X `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
932, 20rngcl 15678 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( U `  z
) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  o F  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
9474, 82, 92, 93syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
95 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )
9694, 95fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
97 eldifi 3470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
9897, 78sylan2 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
9998simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
z  e.  D )
100 eqeq1 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
101100ifbid 3758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
102 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
1039, 102eqeltri 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
104 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1058, 104eqeltri 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
106103, 105ifex 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
107101, 10, 106fvmpt 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  D  ->  ( U `  z )  =  if ( z  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
10899, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
109 eldifn 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
110109adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
111 elsn 3830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) }  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) )
112110, 111sylnib 297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  =  (
I  X.  { 0 } ) )
113 iffalse 3747 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if (
z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
115108, 114eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  .0.  )
116115oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) )
1176ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
11897, 92sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( X `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
1192, 20, 8rnglz 15701 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  ( y  o F  -  z
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) )  =  .0.  )
120117, 118, 119syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  .0.  )
121116, 120eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  .0.  )
122121suppss2 6301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
123 snfi 7188 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
124 ssfi 7330 . . . . . 6  |-  ( ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
125123, 122, 124sylancr 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1262, 8, 68, 73, 96, 122, 125gsumres 15521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) ) )
1276adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
128 rngmnd 15674 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
129127, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
130 iftrue 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
131130, 10, 103fvmpt 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
13242, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
133 nn0cn 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
134133subid1d 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z  -  0 )  =  z )
135134adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
13652, 44, 54, 135caofid0r 6334 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) )  =  y )
137136fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) )  =  ( X `  y ) )
138132, 137oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) ) )
13917ffvelrnda 5871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1402, 20, 9rnglidm 15688 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
141127, 139, 140syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
142138, 141eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  ( X `
 y ) )
143142, 139eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
144 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( U `  z )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
145 oveq2 6090 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( y  o F  -  z )  =  ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) )
146145fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  =  ( X `  ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )
147144, 146oveq12d 6100 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) )  =  ( ( U `
 ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
1482, 147gsumsn 15544 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
149129, 42, 143, 148syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15065, 126, 1493eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15124, 150, 1423eqtrd 2473 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15216, 19, 151eqfnfvd 5831 1  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ifcif 3740   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   `'ccnv 4878    |` cres 4881   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    o Fcof 6304    o Rcofr 6305    ^m cmap 7019   Fincfn 7110   0cc0 8991    <_ cle 9122    - cmin 9292   NNcn 10001   NN0cn0 10222   Basecbs 13470   .rcmulr 13531   0gc0g 13724    gsumg cgsu 13725   Mndcmnd 14685  CMndccmn 15413   Ringcrg 15661   1rcur 15663   mPwSer cmps 16407
This theorem is referenced by:  psrrng  16475  psr1  16476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-psr 16418
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