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Theorem psrlidm 16148
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrlidm  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x,  .1.    x, S    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 16147 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
12 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 16133 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 16125 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5389 . . 3  |-  ( ( U  .x.  X ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( U  .x.  X )  Fn  D )
1614, 15syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 12psrelbas 16125 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5389 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2111adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
2212adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 16131 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
25 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
2625fconst6 5431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
28 0fin 7087 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
29 nn0supp 10017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3026, 29mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3125a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
32 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
33 fvconst2g 5727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
3431, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
3527, 34suppss 5658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
3630, 35eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
37 ssfi 7083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
3828, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
393psrbag 16112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
407, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4127, 38, 40mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
4241adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
433psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
447, 43sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
45 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( y `  x
)  e.  NN0 )
4644, 45sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  NN0 )
4746nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( y `  x
) )
4847ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) )
49 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
5026, 49mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  Fn  I
)
51 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
5244, 51syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  Fn  I )
537adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
54 inidm 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5525a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  0  e.  NN0 )
5655, 33sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
57 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  =  ( y `  x ) )
5850, 52, 53, 53, 54, 56, 57ofrfval 6086 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( I  X.  {
0 } )  o R  <_  y  <->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) ) )
5948, 58mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  o R  <_  y )
60 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( g  o R  <_  y  <->  ( I  X.  { 0 } )  o R  <_  y
) )
6160elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  <->  ( (
I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( I  X.  {
0 } )  o R  <_  y )
)
6242, 59, 61sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
6362snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  C_  { g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
64 resmpt 5000 . . . . . 6  |-  ( { ( I  X.  {
0 } ) } 
C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  ->  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
6563, 64syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
6665oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
67 rngcmn 15371 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
686, 67syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6968adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
70 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
7170rabex 4165 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
723, 71eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
7372rabex 4165 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V
7473a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V )
756ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  R  e.  Ring )
76 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
77 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  o R  <_ 
y  <->  z  o R  <_  y ) )
7877elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y
) )
7976, 78sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
8079simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  D )
811, 2, 3, 4, 21psrelbas 16125 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
82 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U : D --> ( Base `  R )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8381, 82sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8480, 83syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( U `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
8517ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
867ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  I  e.  V )
8723adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
y  e.  D )
883psrbagf 16113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
8986, 80, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
9079simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  o R  <_ 
y )
913psrbagcon 16117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  o R  <_  y
) )  ->  (
( y  o F  -  z )  e.  D  /\  ( y  o F  -  z
)  o R  <_ 
y ) )
9286, 87, 89, 90, 91syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( y  o F  -  z )  e.  D  /\  (
y  o F  -  z )  o R  <_  y ) )
9392simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( y  o F  -  z )  e.  D )
94 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  (
y  o F  -  z )  e.  D
)  ->  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
9585, 93, 94syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( X `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
962, 20rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( U `  z
) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  o F  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
9775, 84, 95, 96syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
98 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )
9997, 98fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
100 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
101100, 79sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
102101simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
z  e.  D )
103 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
104103ifbid 3583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
105 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
1069, 105eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
107 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1088, 107eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
109106, 108ifex 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
110104, 10, 109fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  D  ->  ( U `  z )  =  if ( z  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111102, 110syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
112 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
114 elsn 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) }  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) )
115113, 114sylnib 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  =  (
I  X.  { 0 } ) )
116 iffalse 3572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if (
z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
118111, 117eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  .0.  )
119118oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) )
1206ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
121100, 95sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( X `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
1222, 20, 8rnglz 15377 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  ( y  o F  -  z
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) )  =  .0.  )
123120, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  .0.  )
124119, 123eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) )  =  .0.  )
125124suppss2 6073 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
126 snfi 6941 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
127 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
128126, 125, 127sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1292, 8, 69, 74, 99, 125, 128gsumres 15197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) ) )
1306adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
131 rngmnd 15350 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
132130, 131syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
133 iftrue 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
134133, 10, 106fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
13542, 134syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
136 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
137136subid1d 9146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z  -  0 )  =  z )
138137adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
13953, 44, 55, 138caofid0r 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) )  =  y )
140139fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) )  =  ( X `  y ) )
141135, 140oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) ) )
142 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
14317, 142sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1442, 20, 9rnglidm 15364 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
145130, 143, 144syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
146141, 145eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  ( X `
 y ) )
147146, 143eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
148 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( U `  z )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
149 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( y  o F  -  z )  =  ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) )
150149fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( X `  ( y  o F  -  z ) )  =  ( X `  ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )
151148, 150oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  z ) ) )  =  ( ( U `
 ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
1522, 151gsumsn 15220 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
153132, 42, 147, 152syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  o F  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15466, 129, 1533eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  o F  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15524, 154, 1463eqtrd 2319 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15616, 19, 155eqfnfvd 5625 1  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   0cc0 8737    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   1rcur 15339   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  psrrng  16155  psr1  16156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-psr 16098
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