MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Structured version   Unicode version

Theorem psrlinv 16453
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psrnegcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrnegcl.i  |-  N  =  ( inv g `  R )
psrnegcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrnegcl.z  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrlinv.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psrlinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrlinv  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    R( f)    S( f)    N( f)    V( f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
32rabex 4346 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
41, 3eqeltri 2505 . . . 4  |-  D  e. 
_V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
6 fvex 5734 . . . 4  |-  ( N `
 ( X `  x ) )  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( N `  ( X `  x ) )  e. 
_V )
8 psrgrp.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
9 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
10 psrnegcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
11 psrnegcl.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
128, 9, 1, 10, 11psrelbas 16436 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1312ffvelrnda 5862 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
1412feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( x  e.  D  |->  ( X `
 x ) ) )
15 psrnegcl.i . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  R )
16 psrgrp.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
179, 15, 16grpinvf1o 14853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  R
) )
18 f1of 5666 . . . . . 6  |-  ( N : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
2019feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( N `  y ) ) )
21 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( y  =  ( X `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( X `  x ) ) )
2213, 14, 20, 21fmptco 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( N `
 ( X `  x ) ) ) )
235, 7, 13, 22, 14offval2 6314 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  o F ( +g  `  R
) X )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
24 eqid 2435 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
25 psrlinv.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
26 psrgrp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
278, 26, 16, 1, 15, 10, 11psrnegcl 16452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
288, 10, 24, 25, 27, 11psradd 16438 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( ( N  o.  X )  o F ( +g  `  R ) X ) )
29 psrlinv.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
309, 24, 29, 15grplinv 14843 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3116, 30sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X `  x )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R ) ( X `  x
) )  =  .0.  )
3213, 31syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3332mpteq2dva 4287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  .0.  ) )
34 fconstmpt 4913 . . 3  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  D  |->  .0.  )
3533, 34syl6reqr 2486 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
3623, 28, 353eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   "cima 4873    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678   mPwSer cmps 16398
This theorem is referenced by:  psrgrp  16454  psrneg  16456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-psr 16409
  Copyright terms: Public domain W3C validator