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Theorem psrlmod 16465
Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
psrlmod  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables  x  f  y  z  r 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
3 psrrng.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
4 psrrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
5 psrrng.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
63, 4, 5psrsca 16453 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  S ) )
7 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  S
)  =  ( .s
`  S ) )
8 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  R ) )
9 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
10 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  R ) )
11 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  R ) )
12 rnggrp 15669 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
135, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
143, 4, 13psrgrp 16462 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
15 eqid 2436 . . 3  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
16 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
17 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1853ad2ant1 978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
19 simp2 958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
20 simp3 959 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 16457 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  ( x ( .s `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
22 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2322rabex 4354 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
25 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
26 fconst6g 5632 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
28 eqid 2436 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
29 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 16444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
31 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 16444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
335adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
34 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
35 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3616, 34, 35rngdi 15682 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3733, 36sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) y )  o F ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  o F ( .r `  R ) z ) ) )
39 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 16446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R ) z ) )
4140oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) ( y  o F ( +g  `  R ) z ) ) )
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 16455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) y ) )
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 16455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) z ) )
4442, 43oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y )  o F ( +g  `  R ) ( x ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) y )  o F ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  o F ( .r `  R ) z ) ) )
4538, 41, 443eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  o F ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
4613adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Grp )
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 16447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  e.  (
Base `  S )
)
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 16455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) ( y ( +g  `  S
) z ) ) )
49213adant3r3 1164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 16457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 16446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S
) ( x ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  o F ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
5245, 48, 513eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S ) ( x ( .s `  S
) z ) ) )
53 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
54 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 16455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) z ) )
56 simpr2 964 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 16455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  o F ( .r
`  R ) z ) )
5855, 57oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) z )  o F ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  o F ( .r `  R ) z ) ) )
5923a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 16444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
6153, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
62 fconst6g 5632 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
6356, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
645adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6516, 34, 35rngdir 15683 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6664, 65sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6341 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  o F ( .r `  R
) z )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  o F ( .r `  R ) z )  o F ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  o F ( .r `  R ) z ) ) )
6859, 53, 56ofc12 6329 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( +g  `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } ) )
6968oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  o F ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  o F ( .r
`  R ) z ) )
7058, 67, 693eqtr2rd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } )  o F ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( .s
`  S ) z ) ) )
7116, 34rngacl 15691 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 53, 56, 71syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 16455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  o F ( .r
`  R ) z ) )
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 16457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 16457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 16446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) z )  o F ( +g  `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7770, 73, 763eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7857oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  o F ( .r
`  R ) z ) ) )
7916, 35rngass 15680 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8064, 79sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  o F ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  o F ( .r `  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  o F ( .r
`  R ) z ) ) )
8259, 53, 56ofc12 6329 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  o F ( .r `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } ) )
8382oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  o F ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } )  o F ( .r `  R ) z ) )
8478, 81, 833eqtr2rd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  o F ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8516, 35rngcl 15677 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
8664, 53, 56, 85syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 16455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  o F ( .r
`  R ) z ) )
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 16455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  o F ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8984, 87, 883eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
905adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
91 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
9216, 91rngidcl 15684 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
9390, 92syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
94 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 16455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  o F ( .r
`  R ) x ) )
9623a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 16444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
9816, 35, 91rnglidm 15687 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
9990, 98sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
10096, 97, 93, 99caofid0l 6332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  o F ( .r `  R
) x )  =  x )
10195, 100eqtrd 2468 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  x )
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 15956 1  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956   {csn 3814    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   .scvsca 13533   Grpcgrp 14685   Ringcrg 15660   1rcur 15662   LModclmod 15950   mPwSer cmps 16406
This theorem is referenced by:  psrassa  16477  mpllmod  16514  mplbas2  16531  opsrlmod  16640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-psr 16417
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