Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlmod Structured version   Unicode version

Theorem psrlmod 16465
 Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s mPwSer
psrrng.i
psrrng.r
Assertion
Ref Expression
psrlmod

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2437 . 2
2 eqidd 2437 . 2
3 psrrng.s . . 3 mPwSer
4 psrrng.i . . 3
5 psrrng.r . . 3
63, 4, 5psrsca 16453 . 2 Scalar
7 eqidd 2437 . 2
8 eqidd 2437 . 2
9 eqidd 2437 . 2
10 eqidd 2437 . 2
11 eqidd 2437 . 2
12 rnggrp 15669 . . . 4
135, 12syl 16 . . 3
143, 4, 13psrgrp 16462 . 2
15 eqid 2436 . . 3
16 eqid 2436 . . 3
17 eqid 2436 . . 3
19 simp2 958 . . 3
20 simp3 959 . . 3
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 16457 . 2
22 ovex 6106 . . . . . . 7
2322rabex 4354 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 simpr1 963 . . . . . 6
26 fconst6g 5632 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 eqid 2436 . . . . . 6
29 simpr2 964 . . . . . 6
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 16444 . . . . 5
31 simpr3 965 . . . . . 6
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 16444 . . . . 5
335adantr 452 . . . . . 6
34 eqid 2436 . . . . . . 7
35 eqid 2436 . . . . . . 7
3616, 34, 35rngdi 15682 . . . . . 6
3733, 36sylan 458 . . . . 5
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6340 . . . 4
39 eqid 2436 . . . . . 6
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 16446 . . . . 5
4140oveq2d 6097 . . . 4
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 16455 . . . . 5
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 16455 . . . . 5
4442, 43oveq12d 6099 . . . 4
4538, 41, 443eqtr4d 2478 . . 3
4613adantr 452 . . . . 5
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 16447 . . . 4
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 16455 . . 3
49213adant3r3 1164 . . . 4
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 16457 . . . 4
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 16446 . . 3
5245, 48, 513eqtr4d 2478 . 2
53 simpr1 963 . . . . . 6
54 simpr3 965 . . . . . 6
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 16455 . . . . 5
56 simpr2 964 . . . . . 6
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 16455 . . . . 5
5855, 57oveq12d 6099 . . . 4
5923a1i 11 . . . . 5
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 16444 . . . . 5
6153, 26syl 16 . . . . 5
62 fconst6g 5632 . . . . . 6
6356, 62syl 16 . . . . 5
645adantr 452 . . . . . 6
6516, 34, 35rngdir 15683 . . . . . 6
6664, 65sylan 458 . . . . 5
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6341 . . . 4
6859, 53, 56ofc12 6329 . . . . 5
6968oveq1d 6096 . . . 4
7058, 67, 693eqtr2rd 2475 . . 3
7116, 34rngacl 15691 . . . . 5
7264, 53, 56, 71syl3anc 1184 . . . 4
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 16455 . . 3
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 16457 . . . 4
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 16457 . . . 4
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 16446 . . 3
7770, 73, 763eqtr4d 2478 . 2
7857oveq2d 6097 . . . 4
7916, 35rngass 15680 . . . . . 6
8064, 79sylan 458 . . . . 5
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6338 . . . 4
8259, 53, 56ofc12 6329 . . . . 5
8382oveq1d 6096 . . . 4
8478, 81, 833eqtr2rd 2475 . . 3
8516, 35rngcl 15677 . . . . 5
8664, 53, 56, 85syl3anc 1184 . . . 4
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 16455 . . 3
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 16455 . . 3
8984, 87, 883eqtr4d 2478 . 2
905adantr 452 . . . . 5
91 eqid 2436 . . . . . 6
9216, 91rngidcl 15684 . . . . 5
9390, 92syl 16 . . . 4
94 simpr 448 . . . 4
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 16455 . . 3
9623a1i 11 . . . 4
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 16444 . . . 4
9816, 35, 91rnglidm 15687 . . . . 5
9990, 98sylan 458 . . . 4
10096, 97, 93, 99caofid0l 6332 . . 3
10195, 100eqtrd 2468 . 2
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 15956 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  crab 2709  cvv 2956  csn 3814   cxp 4876  ccnv 4877  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303   cmap 7018  cfn 7109  cn 10000  cn0 10221  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530  cvsca 13533  cgrp 14685  crg 15660  cur 15662  clmod 15950   mPwSer cmps 16406 This theorem is referenced by:  psrassa  16477  mpllmod  16514  mplbas2  16531  opsrlmod  16640 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-psr 16417
 Copyright terms: Public domain W3C validator