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Theorem psrmulcllem 16451
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrmulcl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrmulcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrmulcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrmulcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    .x. ( f)    X( f)    Y( f)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
5 rngcmn 15694 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrmulcl.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 reldmpsr 16428 . . . . . . . . 9  |-  Rel  dom mPwSer
9 psrmulcl.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
10 psrmulcl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  S
)
118, 9, 10elbasov 13513 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
127, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
1312simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
14 psrmulcl.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1514psrbaglefi 16437 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
1613, 15sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
173ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
189, 1, 14, 10, 7psrelbas 16444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
20 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
21 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  o R  <_ 
k  <->  x  o R  <_  k ) )
2221elrab 3092 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  <->  ( x  e.  D  /\  x  o R  <_  k
) )
2320, 22sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( x  e.  D  /\  x  o R  <_  k ) )
2423simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
2519, 24ffvelrnd 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
26 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
279, 1, 14, 10, 26psrelbas 16444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2827ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2913ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  _V )
30 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
3114psrbagf 16432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
3229, 24, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
3323simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  o R  <_  k
)
3414psrbagcon 16436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( k  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  o R  <_  k
) )  ->  (
( k  o F  -  x )  e.  D  /\  ( k  o F  -  x
)  o R  <_ 
k ) )
3529, 30, 32, 33, 34syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  x )  e.  D  /\  (
k  o F  -  x )  o R  <_  k ) )
3635simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
3728, 36ffvelrnd 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
391, 38rngcl 15677 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4017, 25, 37, 39syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
41 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
4240, 41fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
4316, 42fisuppfi 14773 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
441, 2, 6, 16, 42, 43gsumcl 15521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
45 eqid 2436 . . . 4  |-  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
4644, 45fmptd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base `  R ) )
47 fvex 5742 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
48 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4948rabex 4354 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
5014, 49eqeltri 2506 . . . 4  |-  D  e. 
_V
5147, 50elmap 7042 . . 3  |-  ( ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) : D --> ( Base `  R )
)
5246, 51sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
) )
53 psrmulcl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  S )
549, 10, 38, 53, 14, 7, 26psrmulfval 16449 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
559, 1, 14, 10, 13psrbas 16443 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
5652, 54, 553eltr4d 2517 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    o Rcofr 6304    ^m cmap 7018   Fincfn 7109    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   .rcmulr 13530   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724  CMndccmn 15412   Ringcrg 15660   mPwSer cmps 16406
This theorem is referenced by:  psrmulcl  16452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-psr 16417
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