MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulfval Unicode version

Theorem psrmulfval 16130
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrmulfval  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, B    y, k, D, x   
h, k, x, y, I    ph, k, x    k, F, x    k, G, x    .x. , k, x    R, k, x
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( x, y, h, k)    .xb ( x, y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)

Proof of Theorem psrmulfval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulfval.i . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 psrmulfval.r . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  ( k  o F  -  x
) )  =  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) )
53, 4oveqan12d 5877 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
65mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )
76oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
87mpteq2dv 4107 . . 3  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
9 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
10 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
11 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
12 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
13 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
149, 10, 11, 12, 13psrmulr 16129 . . 3  |-  .xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
15 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4165 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1713, 16eqeltri 2353 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1817mptex 5746 . . 3  |-  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
198, 14, 18ovmpt2a 5978 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
201, 2, 19syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209    gsumg cgsu 13401   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  psrmulval  16131  psrmulcllem  16132  psrdi  16151  psrdir  16152  psrcom  16153  psrass23  16154  resspsrmul  16161  mplmul  16187  psropprmul  16316  coe1mul2  16346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-psr 16098
  Copyright terms: Public domain W3C validator