Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulr Structured version   Unicode version

Theorem psrmulr 16440
 Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s mPwSer
psrmulr.b
psrmulr.m
psrmulr.t
psrmulr.d
Assertion
Ref Expression
psrmulr g
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,)

Proof of Theorem psrmulr
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . . 5 mPwSer
2 eqid 2435 . . . . 5
3 eqid 2435 . . . . 5
4 psrmulr.m . . . . 5
5 eqid 2435 . . . . 5
6 psrmulr.d . . . . 5
7 psrmulr.b . . . . . 6
8 simpl 444 . . . . . 6
91, 2, 6, 7, 8psrbas 16435 . . . . 5
10 eqid 2435 . . . . . 6
111, 7, 3, 10psrplusg 16437 . . . . 5
12 eqid 2435 . . . . 5 g g
13 eqid 2435 . . . . 5
14 eqidd 2436 . . . . 5
15 simpr 448 . . . . 5
161, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15psrval 16421 . . . 4 g Scalar TopSet
1716fveq2d 5724 . . 3 g Scalar TopSet
18 psrmulr.t . . 3
19 fvex 5734 . . . . . 6
207, 19eqeltri 2505 . . . . 5
2120, 20mpt2ex 6417 . . . 4 g
22 psrvalstr 16422 . . . . 5 g Scalar TopSet Struct
23 mulrid 13567 . . . . 5 Slot
24 snsstp3 3943 . . . . . 6 g g
25 ssun1 3502 . . . . . 6 g g Scalar TopSet
2624, 25sstri 3349 . . . . 5 g g Scalar TopSet
2722, 23, 26strfv 13493 . . . 4 g g g Scalar TopSet
2821, 27ax-mp 8 . . 3 g g Scalar TopSet
2917, 18, 283eqtr4g 2492 . 2 g
30 mpt20 6419 . . . 4 g
3123str0 13497 . . . 4
3230, 31eqtr2i 2456 . . 3 g
33 reldmpsr 16420 . . . . . . 7 mPwSer
3433ovprc 6100 . . . . . 6 mPwSer
351, 34syl5eq 2479 . . . . 5
3635fveq2d 5724 . . . 4
3718, 36syl5eq 2479 . . 3
3835fveq2d 5724 . . . . 5
39 base0 13498 . . . . 5
4038, 7, 393eqtr4g 2492 . . . 4
41 mpt2eq12 6126 . . . 4 g g
4240, 40, 41syl2anc 643 . . 3 g g
4332, 37, 423eqtr4a 2493 . 2 g
4429, 43pm2.61i 158 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701  cvv 2948   cun 3310  c0 3620  csn 3806  ctp 3808  cop 3809   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868  ccnv 4869  cima 4873  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075   cof 6295   cofr 6296   cmap 7010  cfn 7101  c1 8983   cle 9113   cmin 9283  cn 9992  c9 10048  cn0 10213  cnx 13458  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  TopSetcts 13527  ctopn 13641  cpt 13658   g cgsu 13716   mPwSer cmps 16398 This theorem is referenced by:  psrmulfval  16441  psrsca  16445  psrvscafval  16446 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-psr 16409
 Copyright terms: Public domain W3C validator