MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulr Unicode version

Theorem psrmulr 16375
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
psrmulr  |-  .xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, x, B    y,
f, D, g, k, x    f, h, I, g, k, x, y    .x. , f, g, k, x    R, f, g, k, x
Allowed substitution hints:    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( x, y, f, g, h, k)    .xb ( x, y, f, g, h, k)    .x. ( y, h)

Proof of Theorem psrmulr
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psrmulr.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
6 psrmulr.d . . . . 5  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 psrmulr.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  I  e.  _V )
91, 2, 6, 7, 8psrbas 16370 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
10 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
111, 7, 3, 10psrplusg 16372 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( B  X.  B ) )
12 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `
 x )  .x.  ( g `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
13 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x }
)  o F  .x.  f ) )  =  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x } )  o F  .x.  f
) )
14 eqidd 2388 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R ) } ) )  =  ( Xt_ `  ( D  X.  {
( TopOpen `  R ) } ) ) )
15 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  R  e.  _V )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15psrval 16356 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  S  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x }
)  o F  .x.  f ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( D  X.  {
( TopOpen `  R ) } ) ) >. } ) )
1716fveq2d 5672 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x } )  o F  .x.  f
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } ) ) )
18 psrmulr.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  S )
19 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  e.  _V
207, 19eqeltri 2457 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2120, 20mpt2ex 6364 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `
 x )  .x.  ( g `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )  e.  _V
22 psrvalstr 16357 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x }
)  o F  .x.  f ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( D  X.  {
( TopOpen `  R ) } ) ) >. } ) Struct  <. 1 ,  9 >.
23 mulrid 13502 . . . . 5  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
24 snsstp3 3894 . . . . . 6  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) >. }  C_  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }
25 ssun1 3453 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x }
)  o F  .x.  f ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( D  X.  {
( TopOpen `  R ) } ) ) >. } )
2624, 25sstri 3300 . . . . 5  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x } )  o F  .x.  f
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } )
2722, 23, 26strfv 13428 . . . 4  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( .r
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  R ) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x } )  o F  .x.  f
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( D  X.  { ( TopOpen `  R
) } ) )
>. } ) ) )
2821, 27ax-mp 8 . . 3  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `
 x )  .x.  ( g `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( .r `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  S ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  f  e.  B  |->  ( ( D  X.  { x }
)  o F  .x.  f ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( D  X.  {
( TopOpen `  R ) } ) ) >. } ) )
2917, 18, 283eqtr4g 2444 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  -> 
.xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `
 x )  .x.  ( g `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
30 mpt20 6366 . . . 4  |-  ( f  e.  (/) ,  g  e.  (/)  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )  =  (/)
3123str0 13432 . . . 4  |-  (/)  =  ( .r `  (/) )
3230, 31eqtr2i 2408 . . 3  |-  ( .r
`  (/) )  =  ( f  e.  (/) ,  g  e.  (/)  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
33 reldmpsr 16355 . . . . . . 7  |-  Rel  dom mPwSer
3433ovprc 6047 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  (/) )
351, 34syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  S  =  (/) )
3635fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  (/) ) )
3718, 36syl5eq 2431 . . 3  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  -> 
.xb  =  ( .r
`  (/) ) )
3835fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  (/) ) )
39 base0 13433 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
4038, 7, 393eqtr4g 2444 . . . 4  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  B  =  (/) )
41 mpt2eq12 6073 . . . 4  |-  ( ( B  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( f  e.  (/) ,  g  e.  (/)  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
4240, 40, 41syl2anc 643 . . 3  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )  =  ( f  e.  (/) ,  g  e.  (/)  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
4332, 37, 423eqtr4a 2445 . 2  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  -> 
.xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( f `
 x )  .x.  ( g `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
4429, 43pm2.61i 158 1  |-  .xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   _Vcvv 2899    u. cun 3261   (/)c0 3571   {csn 3757   {ctp 3759   <.cop 3760   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   `'ccnv 4817   "cima 4821   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022    o Fcof 6242    o Rcofr 6243    ^m cmap 6954   Fincfn 7045   1c1 8924    <_ cle 9054    - cmin 9223   NNcn 9932   9c9 9988   NN0cn0 10153   ndxcnx 13393   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   .rcmulr 13457  Scalarcsca 13459   .scvsca 13460  TopSetcts 13462   TopOpenctopn 13576   Xt_cpt 13593    gsumg cgsu 13651   mPwSer cmps 16333
This theorem is referenced by:  psrmulfval  16376  psrsca  16380  psrvscafval  16381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-psr 16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator