MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulval Unicode version

Theorem psrmulval 16371
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
psrmulval.r  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
psrmulval  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    y, k, D    h, k,
y, I    ph, k    k, F    k, G    .x. , k    R, k    k, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( y, h, k)    .xb ( y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)    X( h)

Proof of Theorem psrmulval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
5 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
6 psrmulfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 psrmulfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulfval 16370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5664 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X ) )
10 psrmulval.r . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
11 breq2 4151 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  o R  <_  x 
<->  y  o R  <_  X ) )
1211rabbidv 2885 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  X }
)
13 oveq1 6021 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o F  -  k )  =  ( X  o F  -  k ) )
1413fveq2d 5666 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  ( x  o F  -  k
) )  =  ( G `  ( X  o F  -  k
) ) )
1514oveq2d 6030 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4222 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
k  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `
 k )  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) )
1716oveq2d 6030 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
18 eqid 2381 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) ) )
19 ovex 6039 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5739 . . 3  |-  ( X  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
2110, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) ) ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
229, 21eqtrd 2413 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2647   class class class wbr 4147    e. cmpt 4201   `'ccnv 4811   "cima 4815   ` cfv 5388  (class class class)co 6014    o Fcof 6236    o Rcofr 6237    ^m cmap 6948   Fincfn 7039    <_ cle 9048    - cmin 9217   NNcn 9926   NN0cn0 10147   Basecbs 13390   .rcmulr 13451    gsumg cgsu 13645   mPwSer cmps 16327
This theorem is referenced by:  psrlidm  16388  psrridm  16389  psrass1  16390  mplsubrglem  16423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-fz 10970  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-psr 16338
  Copyright terms: Public domain W3C validator