MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulval Structured version   Unicode version

Theorem psrmulval 16442
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
psrmulval.r  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
psrmulval  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    y, k, D    h, k,
y, I    ph, k    k, F    k, G    .x. , k    R, k    k, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( y, h, k)    .xb ( y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)    X( h)

Proof of Theorem psrmulval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
5 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
6 psrmulfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 psrmulfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulfval 16441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5722 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X ) )
10 psrmulval.r . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
11 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  o R  <_  x 
<->  y  o R  <_  X ) )
1211rabbidv 2940 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  X }
)
13 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o F  -  k )  =  ( X  o F  -  k ) )
1413fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  ( x  o F  -  k
) )  =  ( G `  ( X  o F  -  k
) ) )
1514oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4279 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
k  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `
 k )  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) )
1716oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
18 eqid 2435 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) ) )
19 ovex 6098 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5798 . . 3  |-  ( X  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
2110, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) ) ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
229, 21eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  o F  -  k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    o Rcofr 6296    ^m cmap 7010   Fincfn 7101    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   .rcmulr 13522    gsumg cgsu 13716   mPwSer cmps 16398
This theorem is referenced by:  psrlidm  16459  psrridm  16460  psrass1  16461  mplsubrglem  16494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-psr 16409
  Copyright terms: Public domain W3C validator