MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrneg Structured version   Unicode version

Theorem psrneg 16465
Description: The negative function of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psrneg.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrneg.i  |-  N  =  ( inv g `  R )
psrneg.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrneg.m  |-  M  =  ( inv g `  S )
psrneg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrneg  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  =  ( N  o.  X ) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    M( f)    N( f)    V( f)    X( f)

Proof of Theorem psrneg
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrgrp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 psrgrp.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4 psrneg.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
5 psrneg.i . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  R )
6 psrneg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
7 psrneg.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
9 eqid 2437 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9psrlinv 16462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X ) ( +g  `  S ) X )  =  ( D  X.  { ( 0g `  R ) } ) )
11 eqid 2437 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
121, 2, 3, 4, 8, 11psr0 16464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  S
)  =  ( D  X.  { ( 0g
`  R ) } ) )
1310, 12eqtr4d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X ) ( +g  `  S ) X )  =  ( 0g `  S ) )
141, 2, 3psrgrp 16463 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrnegcl 16461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
16 psrneg.m . . . 4  |-  M  =  ( inv g `  S )
176, 9, 11, 16grpinvid2 14855 . . 3  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( N  o.  X
)  e.  B )  ->  ( ( M `
 X )  =  ( N  o.  X
)  <->  ( ( N  o.  X ) ( +g  `  S ) X )  =  ( 0g `  S ) ) )
1814, 7, 15, 17syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  =  ( N  o.  X )  <-> 
( ( N  o.  X ) ( +g  `  S ) X )  =  ( 0g `  S ) ) )
1913, 18mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  =  ( N  o.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2710   {csn 3815    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   "cima 4882    o. ccom 4883   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^m cmap 7019   Fincfn 7110   NNcn 10001   NN0cn0 10222   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   0gc0g 13724   Grpcgrp 14686   inv gcminusg 14687   mPwSer cmps 16407
This theorem is referenced by:  mplsubglem  16499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-psr 16418
  Copyright terms: Public domain W3C validator