MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrnegcl Unicode version

Theorem psrnegcl 16141
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psrnegcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrnegcl.i  |-  N  =  ( inv g `  R )
psrnegcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrnegcl.z  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrnegcl  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    N( f)    V( f)    X( f)

Proof of Theorem psrnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 psrnegcl.i . . . . . 6  |-  N  =  ( inv g `  R )
3 psrgrp.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
41, 2, 3grpinvf1o 14538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  R
) )
5 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( N : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
7 psrgrp.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
8 psrnegcl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
9 psrnegcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
10 psrnegcl.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
117, 1, 8, 9, 10psrelbas 16125 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
12 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R )  /\  X : D --> ( Base `  R
) )  ->  ( N  o.  X ) : D --> ( Base `  R
) )
136, 11, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
14 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
15 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4165 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
178, 16eqeltri 2353 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1814, 17elmap 6796 . . 3  |-  ( ( N  o.  X )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  ( N  o.  X ) : D --> ( Base `  R )
)
1913, 18sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
20 psrgrp.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
217, 1, 8, 9, 20psrbas 16124 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
2219, 21eleqtrrd 2360 1  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   `'ccnv 4688   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  psrlinv  16142  psrgrp  16143  psrneg  16145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-psr 16098
  Copyright terms: Public domain W3C validator