Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Unicode version

Theorem psropprmul 16622
 Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y mPwSer
psropprmul.s oppr
psropprmul.z mPwSer
psropprmul.t
psropprmul.u
psropprmul.b
Assertion
Ref Expression
psropprmul

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5
2 eqid 2435 . . . . 5
3 rngcmn 15684 . . . . . . 7 CMnd
433ad2ant1 978 . . . . . 6 CMnd
54adantr 452 . . . . 5 CMnd
6 ovex 6098 . . . . . . . 8
76rabex 4346 . . . . . . 7
87rabex 4346 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 simpll1 996 . . . . . . 7
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 mPwSer
12 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10
14 simp3 959 . . . . . . . . . 10
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 16434 . . . . . . . . 9
1615adantr 452 . . . . . . . 8
17 elrabi 3082 . . . . . . . 8
18 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8
1916, 17, 18syl2an 464 . . . . . . 7
20 simp2 958 . . . . . . . . . 10
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 16434 . . . . . . . . 9
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8
23 ssrab2 3420 . . . . . . . . 9
24 reldmpsr 16418 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 16621 . . . . . . . . . . . 12
26253ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
28 simplr 732 . . . . . . . . . 10
29 simpr 448 . . . . . . . . . 10
30 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
3112, 30psrbagconcl 16428 . . . . . . . . . 10
3227, 28, 29, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
3323, 32sseldi 3338 . . . . . . . 8
3422, 33ffvelrnd 5863 . . . . . . 7
35 eqid 2435 . . . . . . . 8
361, 35rngcl 15667 . . . . . . 7
3710, 19, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . 6
38 eqid 2435 . . . . . 6
3937, 38fmptd 5885 . . . . 5
4012psrbaglefi 16427 . . . . . . 7
4126, 40sylan 458 . . . . . 6
42 cnvimass 5216 . . . . . . 7
4338dmmptss 5358 . . . . . . 7
4442, 43sstri 3349 . . . . . 6
45 ssfi 7321 . . . . . 6
4641, 44, 45sylancl 644 . . . . 5
4712, 30psrbagconf1o 16429 . . . . . 6
4826, 47sylan 458 . . . . 5
491, 2, 5, 9, 39, 46, 48gsumf1o 15512 . . . 4 g g
5026ad2antrr 707 . . . . . . . 8
51 simplr 732 . . . . . . . 8
52 simpr 448 . . . . . . . 8
5312, 30psrbagconcl 16428 . . . . . . . 8
5450, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . 7
55 eqidd 2436 . . . . . . 7
56 eqidd 2436 . . . . . . 7
57 fveq2 5720 . . . . . . . 8
58 oveq2 6081 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5724 . . . . . . . 8
6057, 59oveq12d 6091 . . . . . . 7
6154, 55, 56, 60fmptco 5893 . . . . . 6
6212psrbagf 16422 . . . . . . . . . . . . 13
6326, 62sylan 458 . . . . . . . . . . . 12
6463adantr 452 . . . . . . . . . . 11
6526adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
66 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . 12
6712psrbagf 16422 . . . . . . . . . . . 12
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
69 nn0cn 10221 . . . . . . . . . . . . 13
70 nn0cn 10221 . . . . . . . . . . . . 13
71 nncan 9320 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 70, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
7372adantl 453 . . . . . . . . . . 11
7450, 64, 68, 73caonncan 6334 . . . . . . . . . 10
7574fveq2d 5724 . . . . . . . . 9
7675oveq2d 6089 . . . . . . . 8
77 psropprmul.s . . . . . . . . 9 oppr
78 eqid 2435 . . . . . . . . 9
791, 35, 77, 78opprmul 15721 . . . . . . . 8
8076, 79syl6eqr 2485 . . . . . . 7
8180mpteq2dva 4287 . . . . . 6
8261, 81eqtrd 2467 . . . . 5
8382oveq2d 6089 . . . 4 g g
848mptex 5958 . . . . . . . 8
8584a1i 11 . . . . . . 7
86 id 20 . . . . . . 7
87 fvex 5734 . . . . . . . . 9 oppr
8877, 87eqeltri 2505 . . . . . . . 8
8988a1i 11 . . . . . . 7
9077, 1opprbas 15724 . . . . . . . 8
9190a1i 11 . . . . . . 7
92 eqid 2435 . . . . . . . . 9
9377, 92oppradd 15725 . . . . . . . 8
9493a1i 11 . . . . . . 7
9585, 86, 89, 91, 94gsumpropd 14766 . . . . . 6 g g
96953ad2ant1 978 . . . . 5 g g
9796adantr 452 . . . 4 g g
9849, 83, 973eqtrd 2471 . . 3 g g
9998mpteq2dva 4287 . 2 g g
100 psropprmul.t . . 3
10111, 13, 35, 100, 12, 14, 20psrmulfval 16439 . 2 g
102 psropprmul.z . . 3 mPwSer
103 eqid 2435 . . 3
104 psropprmul.u . . 3
10590a1i 11 . . . . . 6
106105psrbaspropd 16618 . . . . 5 mPwSer mPwSer
10711fveq2i 5723 . . . . . 6 mPwSer
10813, 107eqtri 2455 . . . . 5 mPwSer
109102fveq2i 5723 . . . . 5 mPwSer
110106, 108, 1093eqtr4g 2492 . . . 4
11120, 110eleqtrd 2511 . . 3
11214, 110eleqtrd 2511 . . 3
113102, 103, 78, 104, 12, 111, 112psrmulfval 16439 . 2 g
11499, 101, 1133eqtr4rd 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873   ccom 4874  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295   cofr 6296   cmap 7010  cfn 7101  cc 8978   cle 9111   cmin 9281  cn 9990  cn0 10211  cbs 13459   cplusg 13519  cmulr 13520  c0g 13713   g cgsu 13714  CMndccmn 15402  crg 15650  opprcoppr 15717   mPwSer cmps 16396 This theorem is referenced by:  ply1opprmul  16623 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-psr 16407
 Copyright terms: Public domain W3C validator