Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Unicode version

Theorem psropprmul 16316
 Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y mPwSer
psropprmul.s oppr
psropprmul.z mPwSer
psropprmul.t
psropprmul.u
psropprmul.b
Assertion
Ref Expression
psropprmul

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5
2 eqid 2283 . . . . 5
3 rngcmn 15371 . . . . . . 7 CMnd
433ad2ant1 976 . . . . . 6 CMnd
54adantr 451 . . . . 5 CMnd
6 ovex 5883 . . . . . . . 8
76rabex 4165 . . . . . . 7
87rabex 4165 . . . . . 6
98a1i 10 . . . . 5
10 simpll1 994 . . . . . . 7
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 mPwSer
12 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10
14 simp3 957 . . . . . . . . . 10
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 16125 . . . . . . . . 9
1615adantr 451 . . . . . . . 8
17 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9
1817sseli 3176 . . . . . . . 8
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
2016, 18, 19syl2an 463 . . . . . . 7
21 simp2 956 . . . . . . . . . 10
2211, 1, 12, 13, 21psrelbas 16125 . . . . . . . . 9
2322ad2antrr 706 . . . . . . . 8
24 reldmpsr 16109 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 16315 . . . . . . . . . . . 12
26253ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
28 simplr 731 . . . . . . . . . 10
29 simpr 447 . . . . . . . . . 10
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
3112, 30psrbagconcl 16119 . . . . . . . . . 10
3227, 28, 29, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
3317, 32sseldi 3178 . . . . . . . 8
34 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
3523, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . 7
36 eqid 2283 . . . . . . . 8
371, 36rngcl 15354 . . . . . . 7
3810, 20, 35, 37syl3anc 1182 . . . . . 6
39 eqid 2283 . . . . . 6
4038, 39fmptd 5684 . . . . 5
4112psrbaglefi 16118 . . . . . . 7
4226, 41sylan 457 . . . . . 6
43 cnvimass 5033 . . . . . . 7
4439dmmptss 5169 . . . . . . 7
4543, 44sstri 3188 . . . . . 6
46 ssfi 7083 . . . . . 6
4742, 45, 46sylancl 643 . . . . 5
4812, 30psrbagconf1o 16120 . . . . . 6
4926, 48sylan 457 . . . . 5
501, 2, 5, 9, 40, 47, 49gsumf1o 15199 . . . 4 g g
5126ad2antrr 706 . . . . . . . 8
52 simplr 731 . . . . . . . 8
53 simpr 447 . . . . . . . 8
5412, 30psrbagconcl 16119 . . . . . . . 8
5551, 52, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . 7
56 eqidd 2284 . . . . . . 7
57 eqidd 2284 . . . . . . 7
58 fveq2 5525 . . . . . . . 8
59 oveq2 5866 . . . . . . . . 9
6059fveq2d 5529 . . . . . . . 8
6158, 60oveq12d 5876 . . . . . . 7
6255, 56, 57, 61fmptco 5691 . . . . . 6
6312psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . . 13
6426, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
6564adantr 451 . . . . . . . . . . 11
6626adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
6717sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12
6812psrbagf 16113 . . . . . . . . . . . 12
6966, 67, 68syl2an 463 . . . . . . . . . . 11
70 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . 13
71 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . 13
72 nncan 9076 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 71, 72syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
7473adantl 452 . . . . . . . . . . 11
7551, 65, 69, 74caonncan 6115 . . . . . . . . . 10
7675fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
7776oveq2d 5874 . . . . . . . 8
78 psropprmul.s . . . . . . . . 9 oppr
79 eqid 2283 . . . . . . . . 9
801, 36, 78, 79opprmul 15408 . . . . . . . 8
8177, 80syl6eqr 2333 . . . . . . 7
8281mpteq2dva 4106 . . . . . 6
8362, 82eqtrd 2315 . . . . 5
8483oveq2d 5874 . . . 4 g g
858mptex 5746 . . . . . . . 8
8685a1i 10 . . . . . . 7
87 id 19 . . . . . . 7
88 fvex 5539 . . . . . . . . 9 oppr
8978, 88eqeltri 2353 . . . . . . . 8
9089a1i 10 . . . . . . 7
9178, 1opprbas 15411 . . . . . . . 8
9291a1i 10 . . . . . . 7
93 eqid 2283 . . . . . . . . 9
9478, 93oppradd 15412 . . . . . . . 8
9594a1i 10 . . . . . . 7
9686, 87, 90, 92, 95gsumpropd 14453 . . . . . 6 g g
97963ad2ant1 976 . . . . 5 g g
9897adantr 451 . . . 4 g g
9950, 84, 983eqtrd 2319 . . 3 g g
10099mpteq2dva 4106 . 2 g g
101 psropprmul.t . . 3
10211, 13, 36, 101, 12, 14, 21psrmulfval 16130 . 2 g
103 psropprmul.z . . 3 mPwSer
104 eqid 2283 . . 3
105 psropprmul.u . . 3
10691a1i 10 . . . . . 6
107106psrbaspropd 16312 . . . . 5 mPwSer mPwSer
10811fveq2i 5528 . . . . . 6 mPwSer
10913, 108eqtri 2303 . . . . 5 mPwSer
110103fveq2i 5528 . . . . 5 mPwSer
111107, 109, 1103eqtr4g 2340 . . . 4
11221, 111eleqtrd 2359 . . 3
11314, 111eleqtrd 2359 . . 3
114103, 104, 79, 105, 12, 112, 113psrmulfval 16130 . 2 g
115100, 102, 1143eqtr4rd 2326 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  crab 2547  cvv 2788   cdif 3149   wss 3152  csn 3640   class class class wbr 4023   cmpt 4077  ccnv 4688   cdm 4689  cima 4692   ccom 4693  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076   cofr 6077   cmap 6772  cfn 6863  cc 8735   cle 8868   cmin 9037  cn 9746  cn0 9965  cbs 13148   cplusg 13208  cmulr 13209  c0g 13400   g cgsu 13401  CMndccmn 15089  crg 15337  opprcoppr 15404   mPwSer cmps 16087 This theorem is referenced by:  ply1opprmul  16317 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-psr 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator