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Theorem psropprmul 16559
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
psropprmul.s  |-  S  =  (oppr
`  R )
psropprmul.z  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
psropprmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
psropprmul.u  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
psropprmul.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
psropprmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables  b 
c  e  f  a  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 rngcmn 15621 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
433ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  R  e. CMnd )
6 ovex 6045 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
76rabex 4295 . . . . . . 7  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
87rabex 4295 . . . . . 6  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  _V )
10 simpll1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  R  e.  Ring )
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
12 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  Y
)
14 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 16371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
17 elrabi 3033 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  ->  e  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
18 ffvelrn 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  /\  e  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
) )
1916, 17, 18syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( G `  e )  e.  (
Base `  R )
)
20 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 16371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  F : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
23 ssrab2 3371 . . . . . . . . 9  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  C_  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }
24 reldmpsr 16355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 16558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  B  ->  I  e.  _V )
26253ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  I  e.  _V )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
28 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
29 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
30 eqid 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  =  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }
3112, 30psrbagconcl 16365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  e
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
3227, 28, 29, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  e )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )
3323, 32sseldi 3289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  e )  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
3422, 33ffvelrnd 5810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  o F  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 15604 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  ( b  o F  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3710, 19, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  e ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )  =  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) )
3937, 38fmptd 5832 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } --> ( Base `  R ) )
4012psrbaglefi 16364 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  Fin )
4126, 40sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  Fin )
42 cnvimass 5164 . . . . . . 7  |-  ( `' ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) )
4338dmmptss 5306 . . . . . . 7  |-  dom  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }
4442, 43sstri 3300 . . . . . 6  |-  ( `' ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }
45 ssfi 7265 . . . . . 6  |-  ( ( { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  Fin  /\  ( `' ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )  -> 
( `' ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
4641, 44, 45sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( `' ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
4712, 30psrbagconf1o 16366 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )
4826, 47sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )
491, 2, 5, 9, 39, 46, 48gsumf1o 15449 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) )  o.  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( b  o F  -  c
) ) ) ) )
5026ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
51 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
52 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
5312, 30psrbagconcl 16365 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  c
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  c )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )
55 eqidd 2388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( b  o F  -  c
) ) )
56 eqidd 2388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) )  =  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) )
57 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( G `  e )  =  ( G `  ( b  o F  -  c
) ) )
58 oveq2 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( b  o F  -  e )  =  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) )
5958fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( F `  ( b  o F  -  e ) )  =  ( F `  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) ) )
6057, 59oveq12d 6038 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  e ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) ) ) )
6154, 55, 56, 60fmptco 5840 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
6212psrbagf 16359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
6326, 62sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  b : I --> NN0 )
6526adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  I  e.  _V )
66 elrabi 3033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  ->  c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
6712psrbagf 16359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  c : I --> NN0 )
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  c : I --> NN0 )
69 nn0cn 10163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  NN0  ->  e  e.  CC )
70 nn0cn 10163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  NN0  ->  f  e.  CC )
71 nncan 9262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  e.  CC  /\  f  e.  CC )  ->  ( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
7269, 70, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  e.  NN0  /\  f  e.  NN0 )  -> 
( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
7372adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  /\  c  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  /\  ( e  e. 
NN0  /\  f  e.  NN0 ) )  ->  (
e  -  ( e  -  f ) )  =  f )
7450, 64, 68, 73caonncan 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) )  =  c )
7574fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( F `  c ) )
7675oveq2d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 c ) ) )
77 psropprmul.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (oppr
`  R )
78 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
791, 35, 77, 78opprmul 15658 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ( .r
`  R ) ( F `  c ) )
8076, 79syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) ) )  =  ( ( F `
 c ) ( .r `  S ) ( G `  (
b  o F  -  c ) ) ) )
8180mpteq2dva 4236 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )
8261, 81eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( F `  c
) ( .r `  S ) ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ) ) )
8382oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) )  o.  (
c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( b  o F  -  c
) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) ) ) )
848mptex 5905 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) )  e.  _V
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) )  e.  _V )
86 id 20 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
87 fvex 5682 . . . . . . . . 9  |-  (oppr `  R
)  e.  _V
8877, 87eqeltri 2457 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  e. 
_V )
9077, 1opprbas 15661 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
9190a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
)
92 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
9377, 92oppradd 15662 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S )
9493a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S ) )
9585, 86, 89, 91, 94gsumpropd 14703 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
96953ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
9796adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
9849, 83, 973eqtrd 2423 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
9998mpteq2dva 4236 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) ) )  =  ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
100 psropprmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
10111, 13, 35, 100, 12, 14, 20psrmulfval 16376 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .x.  F )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) ) ) )
102 psropprmul.z . . 3  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
103 eqid 2387 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
104 psropprmul.u . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
10590a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  S
) )
106105psrbaspropd 16555 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R
) )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
10711fveq2i 5671 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )
10813, 107eqtri 2407 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )
109102fveq2i 5671 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) )
110106, 108, 1093eqtr4g 2444 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  Z
) )
11120, 110eleqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  Z
) )
11214, 110eleqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( Base `  Z
) )
113102, 103, 78, 104, 12, 111, 112psrmulfval 16376 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
11499, 101, 1133eqtr4rd 2430 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   "cima 4821    o. ccom 4822   -->wf 5390   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    o Fcof 6242    o Rcofr 6243    ^m cmap 6954   Fincfn 7045   CCcc 8921    <_ cle 9054    - cmin 9223   NNcn 9932   NN0cn0 10153   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   .rcmulr 13457   0gc0g 13650    gsumg cgsu 13651  CMndccmn 15339   Ringcrg 15587  opprcoppr 15654   mPwSer cmps 16333
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  16560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-psr 16344
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