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Theorem psrridm 16470
Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrridm  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x,  .1.    x, S    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrridm
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
9 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
10 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
11 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
121, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4psr1cl 16468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
131, 4, 5, 6, 7, 12psrmulcl 16454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 16446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5593 . . 3  |-  ( ( X  .x.  U ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( X  .x.  U )  Fn  D )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 7psrelbas 16446 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5593 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
217adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
2212adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
23 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 16452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X  .x.  U
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
258adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
263psrbagf 16434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
278, 26sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
28 nn0re 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
2928leidd 9595 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  <_ 
z )
3029adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  z  <_  z )
3125, 27, 30caofref 6332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  o R  <_  y )
32 breq1 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  y  ->  (
g  o R  <_ 
y  <->  y  o R  <_  y ) )
3332elrab 3094 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  <->  ( y  e.  D  /\  y  o R  <_  y
) )
3423, 31, 33sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
3534snssd 3945 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { y }  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
36 resmpt 5193 . . . . . 6  |-  ( { y }  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  ->  ( ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) ) )  |`  { y } )  =  ( z  e. 
{ y }  |->  ( ( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  z ) ) ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { y } )  =  ( z  e.  { y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
3837oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { y } ) )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) ) )
39 rngcmn 15696 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
406, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
4140adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
42 ovex 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4342rabex 4356 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
443, 43eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
4544rabex 4356 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V )
476ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  R  e.  Ring )
4817ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
49 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
50 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  o R  <_ 
y  <->  z  o R  <_  y ) )
5150elrab 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y
) )
5249, 51sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
5352simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  D )
5448, 53ffvelrnd 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( X `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
551, 2, 3, 4, 22psrelbas 16446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
5655adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  U : D --> ( Base `  R ) )
578ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  I  e.  V )
5823adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
y  e.  D )
593psrbagf 16434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
6057, 53, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
6152simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  o R  <_ 
y )
623psrbagcon 16438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  o R  <_  y
) )  ->  (
( y  o F  -  z )  e.  D  /\  ( y  o F  -  z
)  o R  <_ 
y ) )
6357, 58, 60, 61, 62syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( y  o F  -  z )  e.  D  /\  (
y  o F  -  z )  o R  <_  y ) )
6463simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( y  o F  -  z )  e.  D )
6556, 64ffvelrnd 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( U `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
662, 20rngcl 15679 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( U `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6747, 54, 65, 66syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
68 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )
6967, 68fmptd 5895 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
70 eldifi 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } )  ->  z  e.  { g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
7170, 64sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( y  o F  -  z
)  e.  D )
72 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  o F  -  z )  ->  ( x  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  ( y  o F  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
7372ifbid 3759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  o F  -  z )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
74 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
7510, 74eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
76 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
779, 76eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
7875, 77ifex 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
7973, 11, 78fvmpt 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o F  -  z )  e.  D  ->  ( U `  (
y  o F  -  z ) )  =  if ( ( y  o F  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
8071, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( U `  ( y  o F  -  z ) )  =  if ( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
81 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } )  ->  z  =/=  y )
8281adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  z  =/=  y )
8382necomd 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  y  =/=  z )
84 nn0sscn 10228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN0  C_  CC
85 fss 5601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  y : I --> CC )
8627, 84, 85sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> CC )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
y : I --> CC )
88 fss 5601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  z : I --> CC )
8960, 84, 88sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z : I --> CC )
90 ofsubeq0 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  y : I --> CC  /\  z : I --> CC )  ->  ( ( y  o F  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  z ) )
9157, 87, 89, 90syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } )  <-> 
y  =  z ) )
9270, 91sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( (
y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  z ) )
9392necon3bbid 2637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( -.  ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  y  =/=  z ) )
9483, 93mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  -.  (
y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
95 iffalse 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } )  ->  if ( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  if (
( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
9780, 96eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( U `  ( y  o F  -  z ) )  =  .0.  )
9897oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) )  =  ( ( X `  z ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
992, 20, 9rngrz 15703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
10047, 54, 99syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( X `  z ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
10170, 100sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
10298, 101eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) )  =  .0.  )
103102suppss2 6302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { y } )
104 snfi 7189 . . . . . 6  |-  { y }  e.  Fin
105 ssfi 7331 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { y } )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
106104, 103, 105sylancr 646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1072, 9, 41, 46, 69, 103, 106gsumres 15522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { y } ) )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) ) )
1086adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
109 rngmnd 15675 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
110108, 109syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
111 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  y  =  y
112 ofsubeq0 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  y : I --> CC  /\  y : I --> CC )  ->  ( ( y  o F  -  y
)  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  y ) )
11325, 86, 86, 112syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( y  o F  -  y )  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  y  =  y ) )
114111, 113mpbiri 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  o F  -  y )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
115114fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( y  o F  -  y
) )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
116 0nn0 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
117116fconst6 5635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
119 0fin 7338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
120 nn0supp 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
121118, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
122116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
123 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
124 fvconst2g 5947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
125122, 123, 124syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
126118, 125suppss 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
127121, 126eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
128 ssfi 7331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
129119, 127, 128sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
1303psrbag 16433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
1318, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
132118, 129, 131mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
133132adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
134 iftrue 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
135134, 11, 75fvmpt 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
136133, 135syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
137115, 136eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( y  o F  -  y
) )  =  .1.  )
138137oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) )  =  ( ( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )
)
13917ffvelrnda 5872 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1402, 20, 10rngridm 15690 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  y ) )
141108, 139, 140syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  y ) )
142138, 141eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) )  =  ( X `  y ) )
143142, 139eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
144 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( X `  z )  =  ( X `  y ) )
145 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
y  o F  -  z )  =  ( y  o F  -  y ) )
146145fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( U `  ( y  o F  -  z
) )  =  ( U `  ( y  o F  -  y
) ) )
147144, 146oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  z ) ) )  =  ( ( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) ) )
1482, 147gsumsn 15545 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  y  e.  D  /\  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) ) )
149110, 23, 143, 148syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) ) )
15038, 107, 1493eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) ) )
15124, 150, 1423eqtrd 2474 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X  .x.  U
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15216, 19, 151eqfnfvd 5832 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   `'ccnv 4879    |` cres 4882   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    o Rcofr 6306    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   CCcc 8990   0cc0 8992    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   NN0cn0 10223   Basecbs 13471   .rcmulr 13532   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   Mndcmnd 14686  CMndccmn 15414   Ringcrg 15662   1rcur 15664   mPwSer cmps 16408
This theorem is referenced by:  psrrng  16476  psr1  16477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-psr 16419
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