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Theorem psrridm 16149
Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrridm  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x,  .1.    x, S    x,  .x.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrridm
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
9 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
10 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
11 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
121, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4psr1cl 16147 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
131, 4, 5, 6, 7, 12psrmulcl 16133 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 16125 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5389 . . 3  |-  ( ( X  .x.  U ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( X  .x.  U )  Fn  D )
1614, 15syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 7psrelbas 16125 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5389 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
217adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
2212adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 16131 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X  .x.  U
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) ) ) ) )
258adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
263psrbagf 16113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
278, 26sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
28 nn0re 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
2928leidd 9339 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  <_ 
z )
3029adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  z  <_  z )
3125, 27, 30caofref 6103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  o R  <_  y )
32 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  y  ->  (
g  o R  <_ 
y  <->  y  o R  <_  y ) )
3332elrab 2923 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  <->  ( y  e.  D  /\  y  o R  <_  y
) )
3423, 31, 33sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
3534snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { y }  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
36 resmpt 5000 . . . . . 6  |-  ( { y }  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  ->  ( ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) ) )  |`  { y } )  =  ( z  e. 
{ y }  |->  ( ( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  z ) ) ) ) )
3735, 36syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { y } )  =  ( z  e.  { y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) )
3837oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { y } ) )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) ) )
39 rngcmn 15371 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
406, 39syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
4140adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
42 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4342rabex 4165 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
443, 43eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
4544rabex 4165 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V
4645a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  e.  _V )
476ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  R  e.  Ring )
4817ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
49 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )
50 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  o R  <_ 
y  <->  z  o R  <_  y ) )
5150elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y
) )
5249, 51sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  o R  <_  y ) )
5352simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  e.  D )
54 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  z  e.  D )  ->  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )
5548, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( X `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
561, 2, 3, 4, 22psrelbas 16125 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
5756adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  U : D --> ( Base `  R ) )
588ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  ->  I  e.  V )
5923adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
y  e.  D )
603psrbagf 16113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
6158, 53, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
6252simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z  o R  <_ 
y )
633psrbagcon 16117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  o R  <_  y
) )  ->  (
( y  o F  -  z )  e.  D  /\  ( y  o F  -  z
)  o R  <_ 
y ) )
6458, 59, 61, 62, 63syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( y  o F  -  z )  e.  D  /\  (
y  o F  -  z )  o R  <_  y ) )
6564simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( y  o F  -  z )  e.  D )
66 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( U : D --> ( Base `  R )  /\  (
y  o F  -  z )  e.  D
)  ->  ( U `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
6757, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( U `  (
y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
682, 20rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( U `  ( y  o F  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6947, 55, 67, 68syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
70 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )
7169, 70fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
72 eldifi 3298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } )  ->  z  e.  { g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y } )
7372, 65sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( y  o F  -  z
)  e.  D )
74 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  o F  -  z )  ->  ( x  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  ( y  o F  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
7574ifbid 3583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  o F  -  z )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
76 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
7710, 76eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
78 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
799, 78eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
8077, 79ifex 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
8175, 11, 80fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o F  -  z )  e.  D  ->  ( U `  (
y  o F  -  z ) )  =  if ( ( y  o F  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
8273, 81syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( U `  ( y  o F  -  z ) )  =  if ( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
83 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } )  ->  z  =/=  y )
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  z  =/=  y )
8584necomd 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  y  =/=  z )
86 nn0sscn 9970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN0  C_  CC
87 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  y : I --> CC )
8827, 86, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> CC )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
y : I --> CC )
90 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  z : I --> CC )
9161, 86, 90sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
z : I --> CC )
92 ofsubeq0 9743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  y : I --> CC  /\  z : I --> CC )  ->  ( ( y  o F  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  z ) )
9358, 89, 91, 92syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } )  <-> 
y  =  z ) )
9472, 93sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( (
y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  z ) )
9594necon3bbid 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( -.  ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  y  =/=  z ) )
9685, 95mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  -.  (
y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
97 iffalse 3572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } )  ->  if ( ( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  if (
( y  o F  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
9982, 98eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( U `  ( y  o F  -  z ) )  =  .0.  )
10099oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) )  =  ( ( X `  z ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
1012, 20, 9rngrz 15378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
10247, 55, 101syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y } )  -> 
( ( X `  z ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
10372, 102sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
104100, 103eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) )  =  .0.  )
105104suppss2 6073 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { y } )
106 snfi 6941 . . . . . 6  |-  { y }  e.  Fin
107 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { y } )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
108106, 105, 107sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1092, 9, 41, 46, 71, 105, 108gsumres 15197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) )  |`  { y } ) )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) ) )
1106adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
111 rngmnd 15350 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
112110, 111syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
113 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  y  =  y
114 ofsubeq0 9743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  y : I --> CC  /\  y : I --> CC )  ->  ( ( y  o F  -  y
)  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  y ) )
11525, 88, 88, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( y  o F  -  y )  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  y  =  y ) )
116113, 115mpbiri 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  o F  -  y )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
117116fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( y  o F  -  y
) )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
118 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
119118fconst6 5431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
120119a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
121 0fin 7087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
122 nn0supp 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
123120, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
124118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
125 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
126 fvconst2g 5727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
127124, 125, 126syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
128120, 127suppss 5658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
129123, 128eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
130 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
131121, 129, 130sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
1323psrbag 16112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
1338, 132syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
134120, 131, 133mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
135134adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
136 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
137136, 11, 77fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
138135, 137syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
139117, 138eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( y  o F  -  y
) )  =  .1.  )
140139oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) )  =  ( ( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )
)
141 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : D --> ( Base `  R )  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
14217, 141sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1432, 20, 10rngridm 15365 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  y ) )
144110, 142, 143syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  y ) )
145140, 144eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) )  =  ( X `  y ) )
146145, 142eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
147 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( X `  z )  =  ( X `  y ) )
148 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
y  o F  -  z )  =  ( y  o F  -  y ) )
149148fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( U `  ( y  o F  -  z
) )  =  ( U `  ( y  o F  -  y
) ) )
150147, 149oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  z ) ) )  =  ( ( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  o F  -  y ) ) ) )
1512, 150gsumsn 15220 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  y  e.  D  /\  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) ) )
152112, 23, 146, 151syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) ) )
15338, 109, 1523eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  o F  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  o F  -  y
) ) ) )
15424, 153, 1453eqtrd 2319 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X  .x.  U
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15516, 19, 154eqfnfvd 5625 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   1rcur 15339   mPwSer cmps 16087
This theorem is referenced by:  psrrng  16155  psr1  16156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-psr 16098
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