MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrrng Structured version   Unicode version

Theorem psrrng 16474
Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
psrrng  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )

Proof of Theorem psrrng
Dummy variables  x  f  y  z  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
3 eqidd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  S ) )
4 psrrng.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
5 psrrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 psrrng.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 rnggrp 15669 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
94, 5, 8psrgrp 16462 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
10 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
11 eqid 2436 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
1263ad2ant1 978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
13 simp2 958 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  x  e.  (
Base `  S )
)
14 simp3 959 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
154, 10, 11, 12, 13, 14psrmulcl 16452 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  ( x ( .r `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
165adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  I  e.  V )
176adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
18 eqid 2436 . . 3  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
19 simpr1 963 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
20 simpr2 964 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
21 simpr3 965 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
224, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21psrass1 16469 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  S ) y ) ( .r `  S
) z )  =  ( x ( .r
`  S ) ( y ( .r `  S ) z ) ) )
23 eqid 2436 . . 3  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
244, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdi 16470 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .r `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  S ) y ) ( +g  `  S ) ( x ( .r `  S
) z ) ) )
254, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdir 16471 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  S
) y ) ( .r `  S ) z )  =  ( ( x ( .r
`  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .r `  S ) z ) ) )
26 eqid 2436 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
27 eqid 2436 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
28 eqid 2436 . . 3  |-  ( r  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( r  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( r  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( r  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )
294, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 10psr1cl 16466 . 2  |-  ( ph  ->  ( r  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( r  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  ( Base `  S ) )
305adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  I  e.  V )
316adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
32 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
334, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrlidm 16467 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( (
r  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( r  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ( .r `  S
) x )  =  x )
344, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrridm 16468 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( x
( .r `  S
) ( r  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( r  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )  =  x )
351, 2, 3, 9, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34isrngd 15698 1  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   ifcif 3739   {csn 3814    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   "cima 4881   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   0cc0 8990   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   Ringcrg 15660   1rcur 15662   mPwSer cmps 16406
This theorem is referenced by:  psr1  16475  psrcrng  16476  psrassa  16477  subrgpsr  16482  mplsubrg  16503  opsrrng  16639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-psr 16417
  Copyright terms: Public domain W3C validator