MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvalstr Unicode version

Theorem psrvalstr 16127
Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psrvalstr  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  J >. } ) Struct  <. 1 ,  9 >.

Proof of Theorem psrvalstr
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }
21rngstr 13271 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >.
3 5nn 9896 . . 3  |-  5  e.  NN
4 scandx 13284 . . 3  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
5 5lt6 9912 . . 3  |-  5  <  6
6 6nn 9897 . . 3  |-  6  e.  NN
7 vscandx 13286 . . 3  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
8 6lt9 9932 . . 3  |-  6  <  9
9 9nn 9900 . . 3  |-  9  e.  NN
10 tsetndx 13309 . . 3  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10strle3 13257 . 2  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. } Struct  <. 5 ,  9
>.
12 3lt5 9909 . 2  |-  3  <  5
132, 11, 12strleun 13254 1  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  J >. } ) Struct  <. 1 ,  9 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    u. cun 3163   {ctp 3655   <.cop 3656   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   1c1 8754   3c3 9812   5c5 9814   6c6 9815   9c9 9818   Struct cstr 13160   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228  TopSetcts 13230
This theorem is referenced by:  psrbas  16140  psrplusg  16142  psrmulr  16145  psrsca  16150  psrvscafval  16151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243
  Copyright terms: Public domain W3C validator