MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Unicode version

Theorem psrvscacl 16412
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrvscacl.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrvscacl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrvscacl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrvscacl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrvscacl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
psrvscacl.y  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrvscacl  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 psrvscacl.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
42, 3rngcl 15632 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  K )
543expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  K  /\  y  e.  K )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  K )
61, 5sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  K )
7 psrvscacl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 fconst6g 5591 . . . . 5  |-  ( X  e.  K  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> K )
10 psrvscacl.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
11 eqid 2404 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
12 psrvscacl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
13 psrvscacl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 16399 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
15 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4314 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  e.  _V )
18 inidm 3510 . . . 4  |-  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
196, 9, 14, 17, 17, 18off 6279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) F ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
20 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
212, 20eqeltri 2474 . . . 4  |-  K  e. 
_V
2221, 16elmap 7001 . . 3  |-  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  <->  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X }
)  o F ( .r `  R ) F ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
2319, 22sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
24 psrvscacl.n . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  S )
2510, 24, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 16410 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R
) F ) )
26 reldmpsr 16383 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPwSer
2726, 10, 12elbasov 13468 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2813, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2928simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3010, 2, 11, 12, 29psrbas 16398 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
3123, 25, 303eltr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   {csn 3774    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   .scvsca 13488   Ringcrg 15615   mPwSer cmps 16361
This theorem is referenced by:  psrlmod  16420  psrass23  16428  mpllsslem  16454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-mnd 14645  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-psr 16372
  Copyright terms: Public domain W3C validator