MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Unicode version

Theorem psrvscacl 16457
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrvscacl.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrvscacl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrvscacl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrvscacl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrvscacl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
psrvscacl.y  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrvscacl  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 psrvscacl.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
42, 3rngcl 15677 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  K )
543expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  K  /\  y  e.  K )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  K )
61, 5sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  K )
7 psrvscacl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 fconst6g 5632 . . . . 5  |-  ( X  e.  K  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> K )
10 psrvscacl.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
11 eqid 2436 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
12 psrvscacl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
13 psrvscacl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 16444 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
15 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4354 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  e.  _V )
18 inidm 3550 . . . 4  |-  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
196, 9, 14, 17, 17, 18off 6320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) F ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
20 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
212, 20eqeltri 2506 . . . 4  |-  K  e. 
_V
2221, 16elmap 7042 . . 3  |-  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  <->  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X }
)  o F ( .r `  R ) F ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
2319, 22sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
24 psrvscacl.n . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  S )
2510, 24, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 16455 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } )  o F ( .r `  R
) F ) )
26 reldmpsr 16428 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPwSer
2726, 10, 12elbasov 13513 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2813, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2928simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3010, 2, 11, 12, 29psrbas 16443 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
3123, 25, 303eltr4d 2517 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   _Vcvv 2956   {csn 3814    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   .rcmulr 13530   .scvsca 13533   Ringcrg 15660   mPwSer cmps 16406
This theorem is referenced by:  psrlmod  16465  psrass23  16473  mpllsslem  16499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-mnd 14690  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-psr 16417
  Copyright terms: Public domain W3C validator