MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscaval Unicode version

Theorem psrvscaval 16384
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrvsca.n  |-  .xb  =  ( .s `  S )
psrvsca.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrvsca.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrvsca.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrvsca.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrvsca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
psrvsca.y  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrvscaval.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
psrvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Distinct variable group:    h, I
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    D( h)    R( h)    S( h)    .xb ( h)    .x. ( h)    F( h)    K( h)    X( h)    Y( h)

Proof of Theorem psrvscaval
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrvsca.n . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  S )
3 psrvsca.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 psrvsca.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrvsca.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 psrvsca.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 psrvsca.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 psrvsca.y . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psrvsca 16383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  F
)  =  ( ( D  X.  { X } )  o F 
.x.  F ) )
109fveq1d 5671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( ( ( D  X.  { X } )  o F 
.x.  F ) `  Y ) )
11 psrvscaval.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1312rabex 4296 . . . . . 6  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
146, 13eqeltri 2458 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
161, 3, 6, 4, 8psrelbas 16372 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : D --> K )
17 ffn 5532 . . . . 5  |-  ( F : D --> K  ->  F  Fn  D )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
19 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  ( F `  Y )  =  ( F `  Y ) )
2015, 7, 18, 19ofc1 6267 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  D )  ->  (
( ( D  X.  { X } )  o F  .x.  F ) `
 Y )  =  ( X  .x.  ( F `  Y )
) )
2111, 20mpdan 650 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  X.  { X }
)  o F  .x.  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
2210, 21eqtrd 2420 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  F ) `  Y
)  =  ( X 
.x.  ( F `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654   _Vcvv 2900   {csn 3758    X. cxp 4817   `'ccnv 4818   "cima 4822    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243    ^m cmap 6955   Fincfn 7046   NNcn 9933   NN0cn0 10154   Basecbs 13397   .rcmulr 13458   .scvsca 13461   mPwSer cmps 16334
This theorem is referenced by:  psrass23  16401  mpllsslem  16427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-psr 16345
  Copyright terms: Public domain W3C validator