MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pssinf Structured version   Unicode version

Theorem pssinf 7322
Description: A set equinumerous to a proper subset of itself is infinite. Corollary 6D(a) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
pssinf  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )

Proof of Theorem pssinf
StepHypRef Expression
1 php3 7296 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C.  B )  ->  A  ~<  B )
21ex 425 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A  C.  B  ->  A  ~<  B ) )
3 sdomnen 7139 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  A  ~~  B )
42, 3syl6com 34 . . 3  |-  ( A 
C.  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  -.  A  ~~  B ) )
54con2d 110 . 2  |-  ( A 
C.  B  ->  ( A  ~~  B  ->  -.  B  e.  Fin )
)
65imp 420 1  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    C. wpss 3323   class class class wbr 4215    ~~ cen 7109    ~< csdm 7111   Fincfn 7112
This theorem is referenced by:  fisseneq  7323  ominf  7324  isprm2lem  13091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116
  Copyright terms: Public domain W3C validator