MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pssinf Unicode version

Theorem pssinf 7286
Description: A set equinumerous to a proper subset of itself is infinite. Corollary 6D(a) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
pssinf  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )

Proof of Theorem pssinf
StepHypRef Expression
1 php3 7260 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C.  B )  ->  A  ~<  B )
21ex 424 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( A  C.  B  ->  A  ~<  B ) )
3 sdomnen 7103 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  ->  -.  A  ~~  B )
42, 3syl6com 33 . . 3  |-  ( A 
C.  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  -.  A  ~~  B ) )
54con2d 109 . 2  |-  ( A 
C.  B  ->  ( A  ~~  B  ->  -.  B  e.  Fin )
)
65imp 419 1  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    C. wpss 3289   class class class wbr 4180    ~~ cen 7073    ~< csdm 7075   Fincfn 7076
This theorem is referenced by:  fisseneq  7287  ominf  7288  isprm2lem  13049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080
  Copyright terms: Public domain W3C validator