Theorem psslinpr 5135

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
psslinpr	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A (. B \/ A = B \/ B (. A))

Proof of Theorem psslinpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prub 5098	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ x e. Q.) -> (-. x e. B -> y <Q x))
2		elprpq 5095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> x e. Q.)
3	1, 2	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (-. x e. B -> y <Q x))
4		prcdpq 5097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (y <Q x -> y e. A))
5	4	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (y <Q x -> y e. A))
6	3, 5	syld 27	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. P. /\ y e. B) /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> (-. x e. B -> y e. A))
7	6	exp43 384	. . . . . . . . . 10 |- (B e. P. -> (y e. B -> (A e. P. -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A)))))
8	7	com3r 35	. . . . . . . . 9 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (y e. B -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A)))))
9	8	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> (x e. A -> (-. x e. B -> y e. A))))
10	9	imp4a 364	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> y e. A)))
11	10	com23 32	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> (y e. B -> y e. A)))
12	11	19.21adv 1288	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> A.y(y e. B -> y e. A)))
13	12	19.23adv 1214	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.x(x e. A /\ -. x e. B) -> A.y(y e. B -> y e. A)))
14		sspss 2145	. . . . . 6 |- (A (_ B <-> (A (. B \/ A = B))
15	14	negbii 187	. . . . 5 |- (-. A (_ B <-> -. (A (. B \/ A = B))
16		nss 2113	. . . . 5 |- (-. A (_ B <-> E.x(x e. A /\ -. x e. B))
17	15, 16	bitr3 175	. . . 4 |- (-. (A (. B \/ A = B) <-> E.x(x e. A /\ -. x e. B))
18		sspss 2145	. . . . 5 |- (B (_ A <-> (B (. A \/ B = A))
19		dfss2 2058	. . . . 5 |- (B (_ A <-> A.y(y e. B -> y e. A))
20	18, 19	bitr3 175	. . . 4 |- ((B (. A \/ B = A) <-> A.y(y e. B -> y e. A))
21	13, 17, 20	3imtr4g 553	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (-. (A (. B \/ A = B) -> (B (. A \/ B = A)))
22	21	orrd 233	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)))
23		df-3or 776	. . 3 |- ((A (. B \/ A = B \/ B (. A) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ B (. A))
24		or23 263	. . 3 |- (((A (. B \/ A = B) \/ B (. A) <-> ((A (. B \/ B (. A) \/ A = B))
25		orordir 267	. . . 4 |- (((A (. B \/ B (. A) \/ A = B) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ A = B)))
26		eqcom 1477	. . . . . 6 |- (B = A <-> A = B)
27	26	orbi2i 255	. . . . 5 |- ((B (. A \/ B = A) <-> (B (. A \/ A = B))
28	27	orbi2i 255	. . . 4 |- (((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ A = B)))
29	25, 28	bitr4 176	. . 3 |- (((A (. B \/ B (. A) \/ A = B) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)))
30	23, 24, 29	3bitr 177	. 2 |- ((A (. B \/ A = B \/ B (. A) <-> ((A (. B \/ A = B) \/ (B (. A \/ B = A)))
31	22, 30	sylibr 200	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A (. B \/ A = B \/ B (. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 774  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047   (. wpss 2048   class class class wbr 2619  Q.cnq 4979   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  ltsopr 5136

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-lti 5003  df-enq 5037  df-nq 5038  df-ltq 5042  df-np 5086

Copyright terms: Public domain