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Theorem psss 14323
Description: Any subset of a partially ordered set is partially ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
psss  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )

Proof of Theorem psss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . 3  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
2 psrel 14312 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relss 4775 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  ( Rel  R  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 59 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5 pstr2 14314 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  o.  R )  C_  R
)
6 trinxp 5068 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8 uniin 3847 . . . . . 6  |-  U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A
) )
9 uniss 3848 . . . . . 6  |-  ( U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) )  ->  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) )
11 uniin 3847 . . . . 5  |-  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
1210, 11sstri 3188 . . . 4  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
13 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  e. 
U. U. ( A  X.  A ) ) )
14 unixpid 5207 . . . . . . . . 9  |-  U. U. ( A  X.  A
)  =  A
1514eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. U. ( A  X.  A )  <->  x  e.  A )
16 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
17 psdmrn 14316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
1918eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  U. U. R ) )
2019biimpar 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x  e.  dom  R )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
2221psref 14317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
2320, 22syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x R x )
2423adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x R x )
25 brinxp2 4751 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  A  /\  x R x ) )
2616, 16, 24, 25syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
2726expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e.  A  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2815, 27syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e. 
U. U. ( A  X.  A )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2928expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x  e.  U. U. R  /\  x  e.  U. U. ( A  X.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3013, 29syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3130ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U.
U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
32 ssralv 3237 . . . 4  |-  ( U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  ( A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
3312, 31, 32mpsyl 59 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x )
341ssbri 4065 . . . . 5  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  ->  x R
y )
351ssbri 4065 . . . . 5  |-  ( y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  ->  y R x )
36 psasym 14319 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
37363expib 1154 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3834, 35, 37syl2ani 637 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
3938alrimivv 1618 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. y
( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
40 asymref2 5060 . . 3  |-  ( ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  /\  A. x A. y ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) ) )
4133, 39, 40sylanbrc 645 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
42 inex1g 4157 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
43 isps 14311 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
<->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
4442, 43syl 15 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  <->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
454, 7, 41, 44mpbir3and 1135 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   PosetRelcps 14301
This theorem is referenced by:  tsrss  14332  ordtrest2  16934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ps 14306
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