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Theorem psss 14339
Description: Any subset of a partially ordered set is partially ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
psss  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )

Proof of Theorem psss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . 3  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  R
2 psrel 14328 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relss 4791 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  R  ->  ( Rel  R  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
41, 2, 3mpsyl 59 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5 pstr2 14330 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  o.  R )  C_  R
)
6 trinxp 5084 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8 uniin 3863 . . . . . 6  |-  U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A
) )
9 uniss 3864 . . . . . 6  |-  ( U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) )  ->  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) )
11 uniin 3863 . . . . 5  |-  U. ( U. R  i^i  U. ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
1210, 11sstri 3201 . . . 4  |-  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )
13 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  <-> 
( x  e.  U. U. R  /\  x  e. 
U. U. ( A  X.  A ) ) )
14 unixpid 5223 . . . . . . . . 9  |-  U. U. ( A  X.  A
)  =  A
1514eleq2i 2360 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. U. ( A  X.  A )  <->  x  e.  A )
16 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
17 psdmrn 14332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( dom  R  =  U. U. R  /\  ran  R  =  U. U. R ) )
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. U. R )
1918eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e. 
dom  R  <->  x  e.  U. U. R ) )
2019biimpar 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x  e.  dom  R )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
2221psref 14333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
2320, 22syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  x R x )
2423adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x R x )
25 brinxp2 4767 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  A  /\  x R x ) )
2616, 16, 24, 25syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  (
x  e.  U. U. R  /\  x  e.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
2726expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e.  A  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2815, 27syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  U. U. R )  ->  ( x  e. 
U. U. ( A  X.  A )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
2928expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x  e.  U. U. R  /\  x  e.  U. U. ( A  X.  A
) )  ->  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3013, 29syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3130ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U.
U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )
32 ssralv 3250 . . . 4  |-  ( U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) )  ->  ( A. x  e.  ( U. U. R  i^i  U. U. ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
3312, 31, 32mpsyl 59 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x )
341ssbri 4081 . . . . 5  |-  ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  ->  x R
y )
351ssbri 4081 . . . . 5  |-  ( y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  ->  y R x )
36 psasym 14335 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
37363expib 1154 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
)
3834, 35, 37syl2ani 637 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
3938alrimivv 1622 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x A. y
( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) )
40 asymref2 5076 . . 3  |-  ( ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. x  e.  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x  /\  A. x A. y ( ( x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y  /\  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x )  ->  x  =  y ) ) )
4133, 39, 40sylanbrc 645 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
42 inex1g 4173 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
43 isps 14327 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel 
<->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
4442, 43syl 15 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  <->  ( Rel  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  U. U. ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) ) )
454, 7, 41, 44mpbir3and 1135 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   PosetRelcps 14317
This theorem is referenced by:  tsrss  14348  ordtrest2  16950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ps 14322
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