Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psss Unicode version

Theorem psss 14339
 Description: Any subset of a partially ordered set is partially ordered. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
psss

Proof of Theorem psss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . 3
2 psrel 14328 . . 3
3 relss 4791 . . 3
41, 2, 3mpsyl 59 . 2
5 pstr2 14330 . . 3
6 trinxp 5084 . . 3
75, 6syl 15 . 2
8 uniin 3863 . . . . . 6
9 uniss 3864 . . . . . 6
108, 9ax-mp 8 . . . . 5
11 uniin 3863 . . . . 5
1210, 11sstri 3201 . . . 4
13 elin 3371 . . . . . 6
14 unixpid 5223 . . . . . . . . 9
1514eleq2i 2360 . . . . . . . 8
16 simprr 733 . . . . . . . . . 10
17 psdmrn 14332 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14
1918eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13
2019biimpar 471 . . . . . . . . . . . 12
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
2221psref 14333 . . . . . . . . . . . 12
2320, 22syldan 456 . . . . . . . . . . 11
2423adantrr 697 . . . . . . . . . 10
25 brinxp2 4767 . . . . . . . . . 10
2616, 16, 24, 25syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9
2726expr 598 . . . . . . . 8
2815, 27syl5bi 208 . . . . . . 7
2928expimpd 586 . . . . . 6
3013, 29syl5bi 208 . . . . 5
3130ralrimiv 2638 . . . 4
32 ssralv 3250 . . . 4
3312, 31, 32mpsyl 59 . . 3
341ssbri 4081 . . . . 5
351ssbri 4081 . . . . 5
36 psasym 14335 . . . . . 6
37363expib 1154 . . . . 5
3834, 35, 37syl2ani 637 . . . 4
3938alrimivv 1622 . . 3
40 asymref2 5076 . . 3
4133, 39, 40sylanbrc 645 . 2
42 inex1g 4173 . . 3
43 isps 14327 . . 3
4442, 43syl 15 . 2
454, 7, 41, 44mpbir3and 1135 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1530   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  cuni 3843   class class class wbr 4039   cid 4320   cxp 4703  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706   cres 4707   ccom 4709   wrel 4710  cps 14317 This theorem is referenced by:  tsrss  14348  ordtrest2  16950 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ps 14322
 Copyright terms: Public domain W3C validator