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Theorem psubspset 30555
Description: The set of projective subspaces in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
psubspset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
psubspset.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
psubspset.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
psubspset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
psubspset  |-  ( K  e.  B  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
Distinct variable groups:    s, r, A    q, p, r, s, K
Allowed substitution hints:    A( q, p)    B( s, r, q, p)    S( s, r, q, p)    .\/ ( s, r, q, p)    .<_ ( s, r, q, p)

Proof of Theorem psubspset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  K  e.  _V )
2 psubspset.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( Atoms `  k )  =  ( Atoms `  K )
)
4 psubspset.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Atoms `  k )  =  A )
65sseq2d 3219 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
s  C_  ( Atoms `  k )  <->  s  C_  A ) )
7 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  =  ( join `  K
) )
8 psubspset.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  .\/  =  ( join `  K )
97, 8syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  = 
.\/  )
109oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  (
p ( join `  k
) q )  =  ( p  .\/  q
) )
1110breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  <->  r ( le `  k ) ( p  .\/  q ) ) )
12 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
13 psubspset.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
1412, 13syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1514breqd 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p 
.\/  q )  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
1611, 15bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
1716imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( r ( le
`  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <-> 
( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
185, 17raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <->  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
19182ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <->  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
206, 19anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( s  C_  ( Atoms `  k )  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k
) ( p (
join `  k )
q )  ->  r  e.  s ) )  <->  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q
)  ->  r  e.  s ) ) ) )
2120abbidv 2410 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { s  |  ( s  C_  ( Atoms `  k )  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  (
Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s ) ) }  =  {
s  |  ( s 
C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
22 df-psubsp 30314 . . . 4  |-  PSubSp  =  ( k  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ( Atoms `  k
)  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k )
( r ( le
`  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s ) ) } )
23 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  e.  _V
244, 23eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2524pwex 4209 . . . . 5  |-  ~P A  e.  _V
26 df-pw 3640 . . . . . . . . 9  |-  ~P A  =  { s  |  s 
C_  A }
2726abeq2i 2403 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P A  <->  s  C_  A )
2827anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ~P A  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) )  <->  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) )
2928abbii 2408 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s  e. 
~P A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) }
30 ssab2 3270 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s  e. 
~P A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } 
C_  ~P A
3129, 30eqsstr3i 3222 . . . . 5  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  C_  ~P A
3225, 31ssexi 4175 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  e.  _V
3321, 22, 32fvmpt 5618 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( PSubSp `
 K )  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
342, 33syl5eq 2340 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
351, 34syl 15 1  |-  ( K  e.  B  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   lecple 13231   joincjn 14094   Atomscatm 30075   PSubSpcpsubsp 30307
This theorem is referenced by:  ispsubsp  30556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-psubsp 30314
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