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Theorem psubspset 30603
Description: The set of projective subspaces in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
psubspset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
psubspset.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
psubspset.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
psubspset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
psubspset  |-  ( K  e.  B  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
Distinct variable groups:    s, r, A    q, p, r, s, K
Allowed substitution hints:    A( q, p)    B( s, r, q, p)    S( s, r, q, p)    .\/ ( s, r, q, p)    .<_ ( s, r, q, p)

Proof of Theorem psubspset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  K  e.  _V )
2 psubspset.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( Atoms `  k )  =  ( Atoms `  K )
)
4 psubspset.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( Atoms `  k )  =  A )
65sseq2d 3378 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
s  C_  ( Atoms `  k )  <->  s  C_  A ) )
7 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  =  ( join `  K
) )
8 psubspset.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  .\/  =  ( join `  K )
97, 8syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  = 
.\/  )
109oveqd 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  (
p ( join `  k
) q )  =  ( p  .\/  q
) )
1110breq2d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  <->  r ( le `  k ) ( p  .\/  q ) ) )
12 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
13 psubspset.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
1412, 13syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1514breqd 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p 
.\/  q )  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
1611, 15bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
1716imbi1d 310 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( r ( le
`  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <-> 
( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
185, 17raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <->  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
19182ralbidv 2749 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s )  <->  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) )
206, 19anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( s  C_  ( Atoms `  k )  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k ) ( r ( le `  k
) ( p (
join `  k )
q )  ->  r  e.  s ) )  <->  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q
)  ->  r  e.  s ) ) ) )
2120abbidv 2552 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { s  |  ( s  C_  ( Atoms `  k )  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  (
Atoms `  k ) ( r ( le `  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s ) ) }  =  {
s  |  ( s 
C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
22 df-psubsp 30362 . . . 4  |-  PSubSp  =  ( k  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ( Atoms `  k
)  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  ( Atoms `  k )
( r ( le
`  k ) ( p ( join `  k
) q )  -> 
r  e.  s ) ) } )
23 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  e.  _V
244, 23eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2524pwex 4384 . . . . 5  |-  ~P A  e.  _V
26 df-pw 3803 . . . . . . . . 9  |-  ~P A  =  { s  |  s 
C_  A }
2726abeq2i 2545 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P A  <->  s  C_  A )
2827anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ~P A  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) )  <->  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) )
2928abbii 2550 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s  e. 
~P A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s 
A. q  e.  s 
A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p 
.\/  q )  -> 
r  e.  s ) ) }
30 ssab2 3429 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s  e. 
~P A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } 
C_  ~P A
3129, 30eqsstr3i 3381 . . . . 5  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  C_  ~P A
3225, 31ssexi 4350 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  ( r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) }  e.  _V
3321, 22, 32fvmpt 5808 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( PSubSp `
 K )  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
342, 33syl5eq 2482 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
351, 34syl 16 1  |-  ( K  e.  B  ->  S  =  { s  |  ( s  C_  A  /\  A. p  e.  s  A. q  e.  s  A. r  e.  A  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  ->  r  e.  s ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   lecple 13538   joincjn 14403   Atomscatm 30123   PSubSpcpsubsp 30355
This theorem is referenced by:  ispsubsp  30604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-psubsp 30362
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