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Theorem pt1hmeo 17513
Description: The canonical homeomorphism from a topological product on a singleton to the topology of the factor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pt1hmeo.j  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
pt1hmeo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pt1hmeo.r  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
pt1hmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Homeo  K )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, K    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem pt1hmeo
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4748 . . . . 5  |-  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
2 pt1hmeo.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  V )
4 sneq 3664 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
54xpeq1d 4728 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( { k }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
6 opeq1 3812 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  x >.  =  <. A ,  x >. )
76sneqd 3666 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  x >. }  =  { <. A ,  x >. } )
85, 7eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( { k }  X.  { x }
)  =  { <. k ,  x >. }  <->  ( { A }  X.  { x } )  =  { <. A ,  x >. } ) )
9 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  k  e. 
_V
10 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
119, 10xpsn 5716 . . . . . . 7  |-  ( { k }  X.  {
x } )  =  { <. k ,  x >. }
128, 11vtoclg 2856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
133, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
141, 13syl5eqr 2342 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
1514mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  =  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } ) )
16 pt1hmeo.j . . . 4  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
17 pt1hmeo.r . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 snex 4232 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
1918a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
20 f1osng 5530 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
212, 17, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
-1-1-onto-> { J } )
22 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J }  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> { J } )
2321, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J } )
24 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2517, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2625snssd 3776 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { J }  C_  Top )
27 fss 5413 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J }  /\  { J }  C_  Top )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top )
2823, 26, 27syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> Top )
2917cnmptid 17371 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
3029adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
31 elsni 3677 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { A }  ->  k  =  A )
3231fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  ( {
<. A ,  J >. } `
 A ) )
33 fvsng 5730 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A )  =  J )
342, 17, 33syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A
)  =  J )
3532, 34sylan9eqr 2350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  J )
3635oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( J  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  k ) )  =  ( J  Cn  J ) )
3730, 36eleqtrrd 2373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  ( {
<. A ,  J >. } `
 k ) ) )
3816, 17, 19, 28, 37ptcn 17337 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3915, 38eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K ) )
40 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  { <. A ,  x >. } )
4114adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
4240, 41eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  ( k  e.  { A }  |->  x ) )
43 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  e.  X )
4443adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  /\  k  e.  { A } )  ->  x  e.  X )
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { A }  |->  x )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
4644, 45fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x ) : { A } --> X )
47 toponmax 16682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
4817, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  X  e.  J )
50 elmapg 6801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  ( k  e.  { A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5149, 18, 50sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( ( k  e. 
{ A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A }
)  <->  ( k  e. 
{ A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5246, 51mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } ) )
5342, 52eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  e.  ( X  ^m  { A }
) )
5440fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y `  A
)  =  ( {
<. A ,  x >. } `
 A ) )
552adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  A  e.  V )
56 fvsng 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5755, 43, 56syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5854, 57eqtr2d 2329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
5953, 58jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )
60 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
61 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  e.  ( X  ^m  { A } ) )
6248adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  X  e.  J
)
63 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6462, 18, 63sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6561, 64mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y : { A } --> X )
66 snidg 3678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
672, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
6867adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  { A } )
69 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : { A }
--> X  /\  A  e. 
{ A } )  ->  ( y `  A )  e.  X
)
7065, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y `  A )  e.  X
)
7160, 70eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  e.  X
)
722adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  V
)
734feq2d 5396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
y : { k } --> X  <->  y : { A } --> X ) )
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
y `  k )  =  ( y `  A ) )
7574eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
( y `  k
)  e.  X  <->  ( y `  A )  e.  X
) )
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
7776, 74opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  ( y `  k ) >.  =  <. A ,  ( y `  A ) >. )
7877sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } )
7978eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
y  =  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  <->  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
8075, 79anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( y `  k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `
 k ) >. } )  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
819fsn2 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : { k } --> X  <->  ( ( y `
 k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `  k )
>. } ) )
8273, 80, 81vtoclbg 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (
y : { A }
--> X  <->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8372, 82syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y : { A } --> X  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8465, 83mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
8584simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8660opeq2d 3819 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  <. A ,  x >.  =  <. A ,  ( y `  A )
>. )
8786sneqd 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  { <. A ,  x >. }  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8885, 87eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  x >. } )
8971, 88jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )
9059, 89impbida 805 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } )  <->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) ) )
9190opabbidv 4098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) } )
92 df-mpt 4095 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9392cnveqi 4872 . . . . . 6  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
94 cnvopab 5099 . . . . . 6  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9593, 94eqtri 2316 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
96 df-mpt 4095 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `  A ) )  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A }
)  /\  x  =  ( y `  A
) ) }
9791, 95, 963eqtr4g 2353 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) ) )
98 xpsng 5715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
992, 17, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
10099eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. }  =  ( { A }  X.  { J } ) )
101100fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
10216, 101syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
103 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )
104103pttoponconst 17308 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  -> 
( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
10519, 17, 104syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
106102, 105eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
107 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A }
) )  ->  ( X  ^m  { A }
)  =  U. K
)
108106, 107syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^m  { A } )  =  U. K )
109 mpteq1 4116 . . . . 5  |-  ( ( X  ^m  { A } )  =  U. K  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) )  =  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) ) )
110108, 109syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) )  =  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) ) )
11197, 110eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) ) )
112 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
113112, 16ptpjcn 17321 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top  /\  A  e. 
{ A } )  ->  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11419, 28, 67, 113syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11534oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) )  =  ( K  Cn  J ) )
116114, 115eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  J
) )
117111, 116eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) )
118 ishmeo 17466 . 2  |-  ( ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J 
Homeo  K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K )  /\  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) ) )
11939, 117, 118sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Homeo  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   {copab 4092    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Xt_cpt 13359   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    Homeo chmeo 17460
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17516  ptcmpfi  17520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-hmeo 17462
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