MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pt1hmeo Structured version   Unicode version

Theorem pt1hmeo 17839
Description: The canonical homeomorphism from a topological product on a singleton to the topology of the factor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pt1hmeo.j  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
pt1hmeo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pt1hmeo.r  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
pt1hmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Homeo  K )
)
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, K    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem pt1hmeo
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4922 . . . . 5  |-  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
2 pt1hmeo.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
32adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  V )
4 sneq 3826 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  { k }  =  { A } )
54xpeq1d 4902 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  ( { k }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
6 opeq1 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  x >.  =  <. A ,  x >. )
76sneqd 3828 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  x >. }  =  { <. A ,  x >. } )
85, 7eqeq12d 2451 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
( { k }  X.  { x }
)  =  { <. k ,  x >. }  <->  ( { A }  X.  { x } )  =  { <. A ,  x >. } ) )
9 vex 2960 . . . . . . . 8  |-  k  e. 
_V
10 vex 2960 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
119, 10xpsn 5911 . . . . . . 7  |-  ( { k }  X.  {
x } )  =  { <. k ,  x >. }
128, 11vtoclg 3012 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
133, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  { <. A ,  x >. } )
141, 13syl5eqr 2483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
1514mpteq2dva 4296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  =  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } ) )
16 pt1hmeo.j . . . 4  |-  K  =  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )
17 pt1hmeo.r . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 snex 4406 . . . . 5  |-  { A }  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  e.  _V )
20 f1osng 5717 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J } )
212, 17, 20syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
-1-1-onto-> { J } )
22 f1of 5675 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  J >. } : { A } -1-1-onto-> { J }  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> { J } )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J } )
24 topontop 16992 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2517, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2625snssd 3944 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { J }  C_  Top )
27 fss 5600 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  J >. } : { A }
--> { J }  /\  { J }  C_  Top )  ->  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top )
2823, 26, 27syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. } : { A }
--> Top )
2917cnmptid 17694 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
3029adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
31 elsni 3839 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { A }  ->  k  =  A )
3231fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { A }  ->  ( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  ( {
<. A ,  J >. } `
 A ) )
33 fvsng 5928 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A )  =  J )
342, 17, 33syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  J >. } `  A
)  =  J )
3532, 34sylan9eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( { <. A ,  J >. } `  k
)  =  J )
3635oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( J  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  k ) )  =  ( J  Cn  J ) )
3730, 36eleqtrrd 2514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A } )  -> 
( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  ( {
<. A ,  J >. } `
 k ) ) )
3816, 17, 19, 28, 37ptcn 17660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  { A }  |->  x ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3915, 38eqeltrrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K ) )
40 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  { <. A ,  x >. } )
4114adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  =  { <. A ,  x >. } )
4240, 41eqtr4d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  =  ( k  e.  { A }  |->  x ) )
43 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  e.  X )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  /\  k  e.  { A } )  ->  x  e.  X )
45 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { A }  |->  x )  =  ( k  e.  { A }  |->  x )
4644, 45fmptd 5894 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x ) : { A } --> X )
47 toponmax 16994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
4817, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
4948adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  X  e.  J )
50 elmapg 7032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  ( k  e.  { A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5149, 18, 50sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( ( k  e. 
{ A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A }
)  <->  ( k  e. 
{ A }  |->  x ) : { A }
--> X ) )
5246, 51mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( k  e.  { A }  |->  x )  e.  ( X  ^m  { A } ) )
5342, 52eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
y  e.  ( X  ^m  { A }
) )
5440fveq1d 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y `  A
)  =  ( {
<. A ,  x >. } `
 A ) )
552adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  A  e.  V )
56 fvsng 5928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5755, 43, 56syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( { <. A ,  x >. } `  A
)  =  x )
5854, 57eqtr2d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
5953, 58jca 520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )  -> 
( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )
60 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  =  ( y `  A ) )
61 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  e.  ( X  ^m  { A } ) )
6248adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  X  e.  J
)
63 elmapg 7032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  J  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6462, 18, 63sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  <->  y : { A } --> X ) )
6561, 64mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y : { A } --> X )
66 snidg 3840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
672, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
6867adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  { A } )
6965, 68ffvelrnd 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y `  A )  e.  X
)
7060, 69eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  x  e.  X
)
712adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  A  e.  V
)
724feq2d 5582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
y : { k } --> X  <->  y : { A } --> X ) )
73 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
y `  k )  =  ( y `  A ) )
7473eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
( y `  k
)  e.  X  <->  ( y `  A )  e.  X
) )
75 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  k  =  A )
7675, 73opeq12d 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  <. k ,  ( y `  k ) >.  =  <. A ,  ( y `  A ) >. )
7776sneqd 3828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } )
7877eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  A  ->  (
y  =  { <. k ,  ( y `  k ) >. }  <->  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
7974, 78anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( y `  k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `
 k ) >. } )  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
809fsn2 5909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : { k } --> X  <->  ( ( y `
 k )  e.  X  /\  y  =  { <. k ,  ( y `  k )
>. } ) )
8172, 79, 80vtoclbg 3013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  (
y : { A }
--> X  <->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8271, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( y : { A } --> X  <->  ( (
y `  A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) ) )
8365, 82mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( ( y `
 A )  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  ( y `  A )
>. } ) )
8483simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8560opeq2d 3992 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  <. A ,  x >.  =  <. A ,  ( y `  A )
>. )
8685sneqd 3828 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  { <. A ,  x >. }  =  { <. A ,  ( y `
 A ) >. } )
8784, 86eqtr4d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  y  =  { <. A ,  x >. } )
8870, 87jca 520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) )
8959, 88impbida 807 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } )  <->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) ) )
9089opabbidv 4272 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  /\  x  =  ( y `  A ) ) } )
91 df-mpt 4269 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9291cnveqi 5048 . . . . . 6  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
93 cnvopab 5275 . . . . . 6  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
9492, 93eqtri 2457 . . . . 5  |-  `' ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  X  /\  y  =  { <. A ,  x >. } ) }
95 df-mpt 4269 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `  A ) )  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  ( X  ^m  { A }
)  /\  x  =  ( y `  A
) ) }
9690, 94, 953eqtr4g 2494 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) ) )
97 xpsng 5910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
982, 17, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { A }  X.  { J } )  =  { <. A ,  J >. } )
9998eqcomd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { <. A ,  J >. }  =  ( { A }  X.  { J } ) )
10099fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  { <. A ,  J >. } )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
10116, 100syl5eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) ) )
102 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )
103102pttoponconst 17630 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  X ) )  -> 
( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
10419, 17, 103syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( { A }  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
105101, 104eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A } ) ) )
106 toponuni 16993 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  ( X  ^m  { A }
) )  ->  ( X  ^m  { A }
)  =  U. K
)
107105, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  ^m  { A } )  =  U. K )
108107mpteq1d 4291 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  ^m  { A } )  |->  ( y `
 A ) )  =  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) ) )
10996, 108eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  =  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) ) )
110 eqid 2437 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
111110, 16ptpjcn 17644 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { <. A ,  J >. } : { A } --> Top  /\  A  e. 
{ A } )  ->  ( y  e. 
U. K  |->  ( y `
 A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11219, 28, 67, 111syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) ) )
11334oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  Cn  ( { <. A ,  J >. } `  A ) )  =  ( K  Cn  J ) )
114112, 113eleqtrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  U. K  |->  ( y `  A ) )  e.  ( K  Cn  J
) )
115109, 114eqeltrd 2511 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) )
116 ishmeo 17792 . 2  |-  ( ( x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J 
Homeo  K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  {
<. A ,  x >. } )  e.  ( J  Cn  K )  /\  `' ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( K  Cn  J
) ) )
11739, 115, 116sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  { <. A ,  x >. } )  e.  ( J  Homeo  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   {csn 3815   <.cop 3818   U.cuni 4016   {copab 4266    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^m cmap 7019   Xt_cpt 13667   Topctop 16959  TopOnctopon 16960    Cn ccn 17289    Homeo chmeo 17786
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17842  ptcmpfi  17846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-fi 7417  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-hmeo 17788
  Copyright terms: Public domain W3C validator