MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasid Structured version   Unicode version

Theorem ptbasid 17609
Description: The base set of the product topology is a basic open set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasid  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y, k, z, A    g, F, k, x, y, z    g, V, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasid
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . 2  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2 simpl 445 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  A  e.  V )
3 0fin 7338 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
(/)  e.  Fin )
5 ffvelrn 5870 . . . 4  |-  ( ( F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
65adantll 696 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A
)  ->  ( F `  k )  e.  Top )
7 eqid 2438 . . . 4  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
87topopn 16981 . . 3  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
96, 8syl 16 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A
)  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
10 eqidd 2439 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  ( A  \  (/) ) )  ->  U. ( F `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
111, 2, 4, 9, 10elptr2 17608 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319   (/)c0 3630   U.cuni 4017    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456   X_cixp 7065   Fincfn 7111   Topctop 16960
This theorem is referenced by:  ptuni2  17610  ptbasfi  17615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ixp 7066  df-en 7112  df-fin 7115  df-top 16965
  Copyright terms: Public domain W3C validator