MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasid Unicode version

Theorem ptbasid 17270
Description: The base set of the product topology is a basic open set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasid  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y, k, z, A    g, F, k, x, y, z    g, V, k, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasid
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . 2  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2 simpl 443 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  A  e.  V )
3 0fin 7087 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
43a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
(/)  e.  Fin )
5 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
65adantll 694 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A
)  ->  ( F `  k )  e.  Top )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
87topopn 16652 . . 3  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
96, 8syl 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  A
)  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
10 eqidd 2284 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  k  e.  ( A  \  (/) ) )  ->  U. ( F `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
111, 2, 4, 9, 10elptr2 17269 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149   (/)c0 3455   U.cuni 3827    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817   Fincfn 6863   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  ptuni2  17271  ptbasfi  17276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ixp 6818  df-en 6864  df-fin 6867  df-top 16636
  Copyright terms: Public domain W3C validator