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Theorem ptbasin 17601
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, Y, x    g, F, x, y, z    g, X, x, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)    X( y)    Y( y, z)

Proof of Theorem ptbasin
Dummy variables  a 
b  c  d  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . . . 6  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21elpt 17596 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  <->  E. a
( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) ) )
31elpt 17596 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  <->  E. b
( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )
42, 3anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  ( E. a ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  E. b ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
5 eeanv 1937 . . . 4  |-  ( E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  <->  ( E. a ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  E. b ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
64, 5bitr4i 244 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) ) )
7 an4 798 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y ) )  /\  ( ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  Y  = 
X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  <->  ( (
( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  /\  ( X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) ) )
8 an6 1263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) ) )
9 df-3an 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  <->  ( (
( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) ) )
108, 9bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
11 reeanv 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. c  e.  Fin  E. d  e.  Fin  ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `
 y )  = 
U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )
12 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  k  ->  (
a `  y )  =  ( a `  k ) )
13 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  k  ->  (
b `  y )  =  ( b `  k ) )
1412, 13ineq12d 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  =  ( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
) )
1514cbvixpv 7072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X_ y  e.  A  ( (
a `  y )  i^i  ( b `  y
) )  =  X_ k  e.  A  (
( a `  k
)  i^i  ( b `  k ) )
16 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
17 unfi 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  ->  ( c  u.  d
)  e.  Fin )
1817ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  -> 
( c  u.  d
)  e.  Fin )
19 simpl1r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  F : A --> Top )
2019ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
21 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
22 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
2312, 22eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( a `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2423rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  k  e.  A )  ->  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2521, 24sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
26 simpl3r 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y ) )
2713, 22eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( b `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2827rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  k  e.  A )  ->  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2926, 28sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
30 inopn 16964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Top  /\  ( a `  k
)  e.  ( F `
 k )  /\  ( b `  k
)  e.  ( F `
 k ) )  ->  ( ( a `
 k )  i^i  ( b `  k
) )  e.  ( F `  k ) )
3120, 25, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  e.  ( F `
 k ) )
32 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
33 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  c  C_  ( c  u.  d
)
34 sscon 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c 
C_  ( c  u.  d )  ->  ( A  \  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  c
) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
\  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  c
)
3635sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( c  u.  d
) )  ->  k  e.  ( A  \  c
) )
3722unieqd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
3812, 37eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  (
( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( a `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
3938rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  k  e.  ( A  \  c ) )  ->  ( a `  k )  =  U. ( F `  k ) )
4032, 36, 39syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( a `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
41 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
42 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  d  C_  ( c  u.  d
)
43 sscon 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d 
C_  ( c  u.  d )  ->  ( A  \  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  d
) )
4442, 43ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
\  ( c  u.  d ) )  C_  ( A  \  d
)
4544sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( A  \ 
( c  u.  d
) )  ->  k  e.  ( A  \  d
) )
4613, 37eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  k  ->  (
( b `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( b `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
4746rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  k  e.  ( A  \  d ) )  ->  ( b `  k )  =  U. ( F `  k ) )
4841, 45, 47syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( b `  k
)  =  U. ( F `  k )
)
4940, 48ineq12d 3535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  =  ( U. ( F `  k )  i^i  U. ( F `
 k ) ) )
50 inidm 3542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. ( F `  k )  i^i  U. ( F `
 k ) )  =  U. ( F `
 k )
5149, 50syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  /\  k  e.  ( A  \  ( c  u.  d
) ) )  -> 
( ( a `  k )  i^i  (
b `  k )
)  =  U. ( F `  k )
)
521, 16, 18, 31, 51elptr2 17598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  X_ k  e.  A  ( ( a `  k
)  i^i  ( b `  k ) )  e.  B )
5315, 52syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
( c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )  /\  ( A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
5453expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  (
c  e.  Fin  /\  d  e.  Fin )
)  ->  ( ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
5554rexlimdvva 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. c  e.  Fin  E. d  e.  Fin  ( A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
5611, 55syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A
)  /\  ( A. y  e.  A  (
a `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  ->  (
( E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  d ) ( b `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
)  e.  B ) )
57563expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  c ) ( a `  y )  =  U. ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B ) )
5857impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  /\  ( A. y  e.  A  ( a `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y ) ) )  /\  ( E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
5910, 58sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( ( a `  y
)  i^i  ( b `  y ) )  e.  B )
60 ineq12 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  ( X_ y  e.  A  ( a `  y )  i^i  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )
61 ixpin 7079 . . . . . . . . 9  |-  X_ y  e.  A  ( (
a `  y )  i^i  ( b `  y
) )  =  (
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  i^i  X_ y  e.  A  ( b `  y ) )
6260, 61syl6eqr 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  ( X  i^i  Y )  = 
X_ y  e.  A  ( ( a `  y )  i^i  (
b `  y )
) )
6362eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) )  ->  (
( X  i^i  Y
)  e.  B  <->  X_ y  e.  A  ( ( a `
 y )  i^i  ( b `  y
) )  e.  B
) )
6459, 63syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  c ) ( a `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. d  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )  -> 
( ( X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
)  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B
) )
6564expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  ( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
b `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d
) ( b `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  /\  ( X  =  X_ y  e.  A  ( a `  y )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y
) ) )  -> 
( X  i^i  Y
)  e.  B ) )
667, 65syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  (
( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
6766exlimdvv 1647 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( E. a E. b ( ( ( a  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( a `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. c  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  c
) ( a `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X  = 
X_ y  e.  A  ( a `  y
) )  /\  (
( b  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( b `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. d  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  d ) ( b `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  Y  =  X_ y  e.  A  ( b `  y ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
686, 67syl5bi 209 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B ) )
6968imp 419 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   X_cixp 7055   Fincfn 7101   Topctop 16950
This theorem is referenced by:  ptbasin2  17602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ixp 7056  df-en 7102  df-fin 7105  df-top 16955
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