MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Unicode version

Theorem ptbasin2 17273
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasin 17272 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  B )
32ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B )
41ptuni2 17271 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
5 ixpexg 6840 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V )
6 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
76uniex 4516 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  ->  U. ( F `  k )  e.  _V )
95, 8mprg 2612 . . . . 5  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V
104, 9syl6eqelr 2372 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  e.  _V )
11 uniexb 4563 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1210, 11sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  e.  _V )
13 inficl 7178 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v )  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
153, 14mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151   U.cuni 3827    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817   Fincfn 6863   ficfi 7164   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  ptbas  17274  ptbasfi  17276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ixp 6818  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-top 16636
  Copyright terms: Public domain W3C validator