MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptbasin2 Structured version   Unicode version

Theorem ptbasin2 17610
Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
ptbasin2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, A    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2
Dummy variables  k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbasin 17609 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  B )
32ralrimivva 2798 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B )
41ptuni2 17608 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. B
)
5 ixpexg 7086 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V )
6 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
76uniex 4705 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  ->  U. ( F `  k )  e.  _V )
95, 8mprg 2775 . . . . 5  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  e.  _V
104, 9syl6eqelr 2525 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. B  e.  _V )
11 uniexb 4752 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1210, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  B  e.  _V )
13 inficl 7430 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v
)  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  i^i  v )  e.  B  <->  ( fi `  B )  =  B ) )
153, 14mpbid 202 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( fi `  B
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319   U.cuni 4015    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454   X_cixp 7063   Fincfn 7109   ficfi 7415   Topctop 16958
This theorem is referenced by:  ptbas  17611  ptbasfi  17613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ixp 7064  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-top 16963
  Copyright terms: Public domain W3C validator