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Theorem ptcld 17637
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcld.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcld.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptcld.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
ptcld  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem ptcld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcld.c . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
2 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
32cldss 17085 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  C_ 
U. ( F `  k ) )
54ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `
 k ) )
6 boxriin 7096 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
8 ptcld.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 ptcld.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
1110ptuni 17618 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
128, 9, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1312ineq1d 3533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
14 pttop 17606 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
158, 9, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
16 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( C  C_  U. ( F `  k )  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
17 sseq1 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( F `  k )  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( U. ( F `
 k )  C_  U. ( F `  k
)  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k
) )  C_  U. ( F `  k )
) )
18 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  k  =  x
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
19 ssid 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  -.  k  =  x )  ->  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k ) )
2116, 17, 18, 20ifbothda 3761 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  U. ( F `  k )  ->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
2221ralimi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( F `  k )
)
23 ss2ixp 7067 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
245, 22, 233syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2524adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2612adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
2725, 26sseqtrd 3376 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( Xt_ `  F ) )
2812eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
2928difeq1d 3456 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  \  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  =  (
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
3029adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
31 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
325adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `  k )
)
33 boxcutc 7097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k ) )  -> 
( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
3431, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
\  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
35 ixpeq2 7068 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  ->  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C
) ,  U. ( F `  k )
)  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
3736unieqd 4018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  x ) )
38 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  C  =  [_ x  /  k ]_ C )
3937, 38difeq12d 3458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( U. ( F `  k
)  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  A  /\  k  =  x )  ->  ( U. ( F `
 k )  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C
) )
4140ifeq1da 3756 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4235, 41mprg 2767 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4430, 34, 433eqtrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
458adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
469adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F : A --> Top )
471ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) ) )
48 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )
49 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ C
5049nfel1 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x ) )
5136fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( Clsd `  ( F `  k ) )  =  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
5238, 51eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )  <->  [_ x  / 
k ]_ C  e.  (
Clsd `  ( F `  x ) ) ) )
5348, 50, 52cbvral 2920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  <->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5447, 53sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5554r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
56 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  x )  =  U. ( F `  x )
5756cldopn 17087 . . . . . . . . 9  |-  ( [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
)  ->  ( U. ( F `  x ) 
\  [_ x  /  k ]_ C )  e.  ( F `  x ) )
5855, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( F `  x
)  \  [_ x  / 
k ]_ C )  e.  ( F `  x
) )
5945, 46, 58ptopn2 17608 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
6044, 59eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) )
61 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
6261iscld 17083 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Top  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6315, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F ) )  <-> 
( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6463adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6527, 60, 64mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6665ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6761riincld 17100 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  F
)  e.  Top  /\  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )  -> 
( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6815, 66, 67syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6913, 68eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
707, 69eqeltrd 2509 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   [_csb 3243    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ifcif 3731   U.cuni 4007   |^|_ciin 4086   -->wf 5442   ` cfv 5446   X_cixp 7055   Xt_cpt 13658   Topctop 16950   Clsdccld 17072
This theorem is referenced by:  ptcldmpt  17638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ixp 7056  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-cld 17075
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