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Theorem ptcld 17323
Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcld.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcld.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptcld.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
ptcld  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem ptcld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcld.c . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
) )
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
32cldss 16782 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
41, 3syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  C_ 
U. ( F `  k ) )
54ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `
 k ) )
6 boxriin 6874 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
8 ptcld.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 ptcld.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
1110ptuni 17305 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
128, 9, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1312ineq1d 3382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( U. ( Xt_ `  F
)  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
14 pttop 17293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
158, 9, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
16 sseq1 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( C  C_  U. ( F `  k )  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
17 sseq1 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( F `  k )  =  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  -> 
( U. ( F `
 k )  C_  U. ( F `  k
)  <->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k
) )  C_  U. ( F `  k )
) )
18 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  k  =  x
)  ->  C  C_  U. ( F `  k )
)
19 ssid 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
2019a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  U. ( F `  k )  /\  -.  k  =  x )  ->  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k ) )
2116, 17, 18, 20ifbothda 3608 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  U. ( F `  k )  ->  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
2221ralimi 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( F `  k )
)
23 ss2ixp 6845 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
245, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2524adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )
2612adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
2725, 26sseqtrd 3227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  C_  U. ( Xt_ `  F ) )
2812eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
2928difeq1d 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  \  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  =  (
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
3029adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) ) )
31 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
325adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  A  C  C_  U. ( F `  k )
)
33 boxcutc 6875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  C  C_ 
U. ( F `  k ) )  -> 
( X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
\  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
35 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  ->  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C
) ,  U. ( F `  k )
)  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
3736unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  x ) )
38 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  C  =  [_ x  /  k ]_ C )
3937, 38difeq12d 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( U. ( F `  k
)  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  A  /\  k  =  x )  ->  ( U. ( F `
 k )  \  C )  =  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C
) )
4140ifeq1da 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4235, 41mprg 2625 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )
4342a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 k )  \  C ) ,  U. ( F `  k ) )  =  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
4430, 34, 433eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  ( U. ( F `  x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) ) )
458adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
469adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F : A --> Top )
471ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) ) )
48 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )
49 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ C
5049nfel1 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x ) )
5136fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  ( Clsd `  ( F `  k ) )  =  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
5238, 51eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( C  e.  ( Clsd `  ( F `  k
) )  <->  [_ x  / 
k ]_ C  e.  (
Clsd `  ( F `  x ) ) ) )
5348, 50, 52cbvral 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( F `  k )
)  <->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5447, 53sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x
) ) )
5554r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
) )
56 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  x )  =  U. ( F `  x )
5756cldopn 16784 . . . . . . . . 9  |-  ( [_ x  /  k ]_ C  e.  ( Clsd `  ( F `  x )
)  ->  ( U. ( F `  x ) 
\  [_ x  /  k ]_ C )  e.  ( F `  x ) )
5855, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( F `  x
)  \  [_ x  / 
k ]_ C )  e.  ( F `  x
) )
5945, 46, 58ptopn2 17295 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  ( U. ( F `
 x )  \  [_ x  /  k ]_ C ) ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
6044, 59eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) )
61 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
6261iscld 16780 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Top  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6315, 62syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F ) )  <-> 
( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6463adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) )  <->  ( X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( Xt_ `  F )  /\  ( U. ( Xt_ `  F
)  \  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  ( Xt_ `  F
) ) ) )
6527, 60, 64mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
)  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6665ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
6761riincld 16797 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  F
)  e.  Top  /\  A. x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )  -> 
( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6815, 66, 67syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  F )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if (
k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k )
) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
6913, 68eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  ( X_ k  e.  A  U. ( F `
 k )  i^i  |^|_ x  e.  A  X_ k  e.  A  if ( k  =  x ,  C ,  U. ( F `  k ) ) )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  F ) ) )
707, 69eqeltrd 2370 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  C  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   [_csb 3094    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   U.cuni 3843   |^|_ciin 3922   -->wf 5267   ` cfv 5271   X_cixp 6833   Xt_cpt 13359   Topctop 16647   Clsdccld 16769
This theorem is referenced by:  ptcldmpt  17324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-cld 16772
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