MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Unicode version

Theorem ptcls 17326
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
ptcls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcls.j  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
ptcls.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
ptcls  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Distinct variable groups:    ph, k    A, k
Allowed substitution hints:    R( k)    S( k)    J( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
2 ptcls.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 ptcls.j . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
4 ptcls.c . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
5 toponmax 16682 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  R )
63, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  R )
7 ssexg 4176 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  R )  ->  S  e.  _V )
84, 6, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  _V )
98ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  _V )
10 iunexg 5783 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  S  e.  _V )  ->  U_ k  e.  A  S  e.  _V )
112, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e.  _V )
12 axac3 8106 . . . 4  |- CHOICE
13 acacni 7782 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  A  e.  V )  -> AC  A  =  _V )
1412, 2, 13sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  -> AC  A  =  _V )
1511, 14eleqtrrd 2373 . 2  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
161, 2, 3, 4, 15ptclsg 17325 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   ` cfv 5271   X_cixp 6833  AC wacn 7587  CHOICEwac 7758   Xt_cpt 13359  TopOnctopon 16648   clsccl 16771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
  Copyright terms: Public domain W3C validator