MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcls Structured version   Unicode version

Theorem ptcls 17640
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. This theorem is an AC equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
ptcls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcls.j  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
ptcls.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
ptcls  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Distinct variable groups:    ph, k    A, k
Allowed substitution hints:    R( k)    S( k)    J( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem ptcls
StepHypRef Expression
1 ptcls.2 . 2  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
2 ptcls.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 ptcls.j . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
4 ptcls.c . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
5 toponmax 16985 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  R )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  R )
76, 4ssexd 4342 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  _V )
87ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  _V )
9 iunexg 5979 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  S  e.  _V )  ->  U_ k  e.  A  S  e.  _V )
102, 8, 9syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e.  _V )
11 axac3 8336 . . . 4  |- CHOICE
12 acacni 8012 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  A  e.  V )  -> AC  A  =  _V )
1311, 2, 12sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  -> AC  A  =  _V )
1410, 13eleqtrrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
151, 2, 3, 4, 14ptclsg 17639 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U_ciun 4085    e. cmpt 4258   ` cfv 5446   X_cixp 7055  AC wacn 7817  CHOICEwac 7988   Xt_cpt 13658  TopOnctopon 16951   clsccl 17074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-ac2 8335
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-card 7818  df-acn 7821  df-ac 7989  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077
  Copyright terms: Public domain W3C validator