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Theorem ptclsg 17600
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. The proof uses the axiom of choice; the last hypothesis is the choice assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
ptcls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcls.j  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
ptcls.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
ptclsg.1  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
Assertion
Ref Expression
ptclsg  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Distinct variable groups:    ph, k    A, k
Allowed substitution hints:    R( k)    S( k)    J( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem ptclsg
Dummy variables  f 
g  u  x  y  z  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcls.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptcls.j . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
3 topontop 16946 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  Top )
5 ptcls.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
6 toponuni 16947 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
72, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  =  U. R )
85, 7sseqtrd 3344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_ 
U. R )
9 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
109clscld 17066 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  S
)  e.  ( Clsd `  R ) )
114, 8, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  R
) )
121, 4, 11ptcldmpt 17599 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) ) ) )
13 ptcls.2 . . . . 5  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
1413fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( Clsd `  J )  =  (
Clsd `  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) ) )
1512, 14syl6eleqr 2495 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
169sscls 17075 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  S  C_  (
( cls `  R
) `  S )
)
174, 8, 16syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  ( ( cls `  R
) `  S )
)
1817ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  C_  ( ( cls `  R ) `  S
) )
19 ss2ixp 7034 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  C_  ( ( cls `  R
) `  S )  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
21 eqid 2404 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2221clsss2 17091 . . 3  |-  ( (
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R ) `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
2315, 20, 22syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
24 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
25 eqeq1 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2625anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) ) )
2726exbidv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2824, 27elab 3042 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
29 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )
3029nfel2 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )
31 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k )
32 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
g `  y )  =  ( g `  k ) )
33 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k ) )
3432, 33eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  k  ->  (
( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  <-> 
( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k ) ) )
3530, 31, 34cbvral 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  <->  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k
) )
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
37 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  |->  R )  =  ( k  e.  A  |->  R )
3837fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  A  /\  R  e.  (TopOn `  X
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  =  R )
3936, 2, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  =  R )
4039eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k )  <-> 
( g `  k
)  e.  R ) )
4140ralbidva 2682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
4235, 41syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
4342anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R
) ) )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  <-> 
( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) ) )
4544biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) ) )  -> 
( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
46 ptclsg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
48 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  ph )
49 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  f  e. 
_V
5049elixp 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
5150simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )
5251ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )
539clsndisj 17094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )  /\  ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) ) )  -> 
( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
5453ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )  ->  ( ( ( g `  k )  e.  R  /\  (
f `  k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )
55543expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( f `
 k )  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
564, 8, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S )  -> 
( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5756ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  A. k  e.  A  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5848, 52, 57sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )
59 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R )
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
6132cbvixpv 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ k  e.  A  (
g `  k )
6260, 61syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  f  e.  X_ k  e.  A  (
g `  k )
)
6349elixp 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( g `  k
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( g `  k ) ) )
6463simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( g `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( g `  k ) )
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )
66 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  A  (
( g `  k
)  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R  /\  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) ) )
6759, 65, 66sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) ) )
68 ralim 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  A  (
( ( g `  k )  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )  ->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) )  -> 
( A. k  e.  A  ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  A. k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
6958, 67, 68sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
70 rabn0 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { z  e.  U_ k  e.  A  S  | 
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) )
71 dfin5 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ k  e.  A  S  i^i  ( ( g `  k )  i^i  S
) )  =  {
z  e.  U_ k  e.  A  S  | 
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) }
72 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  k )  i^i  S )  C_  S
73 ssiun2 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  A  ->  S  C_ 
U_ k  e.  A  S )
7472, 73syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  A  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  C_ 
U_ k  e.  A  S )
75 dfss1 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  k
)  i^i  S )  C_ 
U_ k  e.  A  S 
<->  ( U_ k  e.  A  S  i^i  (
( g `  k
)  i^i  S )
)  =  ( ( g `  k )  i^i  S ) )
7674, 75sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  A  ->  ( U_ k  e.  A  S  i^i  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) )  =  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
7771, 76syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  ->  { z  e.  U_ k  e.  A  S  |  z  e.  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) }  =  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
7877neeq1d 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  A  ->  ( { z  e.  U_ k  e.  A  S  |  z  e.  (
( g `  k
)  i^i  S ) }  =/=  (/)  <->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
7970, 78syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  A  ->  ( E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
8079ralbiia 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
8169, 80sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
82 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )
83 nfiu1 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k U_ k  e.  A  S
84 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( g `  y
)
85 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ S
8684, 85nfin 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
)
8786nfel2 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k  z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
8883, 87nfrex 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
89 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
g `  k )  =  ( g `  y ) )
90 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  S  =  [_ y  /  k ]_ S )
9189, 90ineq12d 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )
9291eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )  <->  z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) ) )
9392rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  ( E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
9482, 88, 93cbvral 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )
9581, 94sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )
96 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( h `  y )  ->  (
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )  <->  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) ) )
9796acni3 7884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  A  S  e. AC  A  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )  ->  E. h
( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
9847, 95, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  E. h ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
99 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h : A --> U_ k  e.  A  S  ->  h  Fn  A )
100 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y ( h `  k
)  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )
10186nfel2 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
102 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
h `  k )  =  ( h `  y ) )
103102, 91eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( h `  k
)  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )  <->  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) ) )
104100, 101, 103cbvral 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  A  (
h `  k )  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )
105 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  X_ k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  ->  X_ k  e.  A  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) )
106 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  h  e. 
_V
107106elixp 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  X_ k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  ( h  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( h `  k )  e.  ( ( g `  k
)  i^i  S )
) )
108 ixpin 7046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  X_ k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =  (
X_ k  e.  A  ( g `  k
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
10961ineq1i 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  (
X_ k  e.  A  ( g `  k
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
110108, 109eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =  (
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
111110neeq1i 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X_ k  e.  A  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
112105, 107, 1113imtr3i 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( h `  k )  e.  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
113104, 112sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
11499, 113sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
115114exlimiv 1641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. h ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
11698, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
117116expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R
) )  ->  (
f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
11845, 117syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) ) )  -> 
( f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
1191183adantr3 1118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) ) )  ->  ( f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
120 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( f  e.  u  <->  f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) )
121 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  (
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
122121neeq1d 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) 
<->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
123120, 122imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
f  e.  u  -> 
( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )  <->  ( f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
124119, 123syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) ) )  ->  ( u  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
125124expimpd 587 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( (
( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
( k  e.  A  |->  R ) `  y
) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  (
f  e.  u  -> 
( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
126125exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
12728, 126syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ->  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
128127ralrimiv 2748 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  A. u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
1294, 37fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top )
130 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top  ->  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A
)
132 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }
133132ptval 17555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A
)  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
1341, 131, 133syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
13513, 134syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } ) )
136135adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
1372ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  R  e.  (TopOn `  X
) )
13813pttopon 17581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  R  e.  (TopOn `  X )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X ) )
1391, 137, 138syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X
) )
140 toponuni 16947 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X )  -> 
X_ k  e.  A  X  =  U. J )
141139, 140syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  X  =  U. J )
142141adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  X_ k  e.  A  X  =  U. J )
143132ptbas 17564 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  e.  TopBases )
1441, 129, 143syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases )
145144adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  e.  TopBases )
1465ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  C_  X )
147 ss2ixp 7034 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  S  C_  X  ->  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
148146, 147syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
149148adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
1509clsss3 17078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  S
)  C_  U. R )
1514, 8, 150syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  C_ 
U. R )
152151, 7sseqtr4d 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  C_  X )
153152ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  X )
154 ss2ixp 7034 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  (
( cls `  R
) `  S )  C_  X  ->  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R ) `  S
)  C_  X_ k  e.  A  X )
155153, 154syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  X_ k  e.  A  X )
156155sselda 3308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  f  e.  X_ k  e.  A  X
)
157136, 142, 145, 149, 156elcls3 17102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( f  e.  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  <->  A. u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
158128, 157mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  f  e.  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S ) )
159158ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ k  e.  A  (
( cls `  R
) `  S )  ->  f  e.  ( ( cls `  J ) `
 X_ k  e.  A  S ) ) )
160159ssrdv 3314 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S ) )
16123, 160eqssd 3325 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   [_csb 3211    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   U_ciun 4053    e. cmpt 4226    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   X_cixp 7022   Fincfn 7068  AC wacn 7781   topGenctg 13620   Xt_cpt 13621   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   TopBasesctb 16917   Clsdccld 17035   clsccl 17037
This theorem is referenced by:  ptcls  17601  dfac14  17603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-acn 7785  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040
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