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Theorem ptclsg 17652
 Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. The proof uses the axiom of choice; the last hypothesis is the choice assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2
ptcls.a
ptcls.j TopOn
ptcls.c
ptclsg.1 AC
Assertion
Ref Expression
ptclsg
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem ptclsg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcls.a . . . . 5
2 ptcls.j . . . . . 6 TopOn
3 topontop 16996 . . . . . 6 TopOn
42, 3syl 16 . . . . 5
5 ptcls.c . . . . . . 7
6 toponuni 16997 . . . . . . . 8 TopOn
72, 6syl 16 . . . . . . 7
85, 7sseqtrd 3386 . . . . . 6
9 eqid 2438 . . . . . . 7
109clscld 17116 . . . . . 6
114, 8, 10syl2anc 644 . . . . 5
121, 4, 11ptcldmpt 17651 . . . 4
13 ptcls.2 . . . . 5
1413fveq2i 5734 . . . 4
1512, 14syl6eleqr 2529 . . 3
169sscls 17125 . . . . . 6
174, 8, 16syl2anc 644 . . . . 5
1817ralrimiva 2791 . . . 4
19 ss2ixp 7078 . . . 4
2018, 19syl 16 . . 3
21 eqid 2438 . . . 4
2221clsss2 17141 . . 3
2315, 20, 22syl2anc 644 . 2
24 vex 2961 . . . . . . . 8
25 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10
2625anbi2d 686 . . . . . . . . 9
2726exbidv 1637 . . . . . . . 8
2824, 27elab 3084 . . . . . . 7
29 nffvmpt1 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3432, 33eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3530, 31, 34cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
3936, 2, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140ralbidva 2723 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4235, 41syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
4544biimpa 472 . . . . . . . . . . . 12
46 ptclsg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AC
4746ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 AC
48 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5049elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5150simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5251ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
539clsndisj 17144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5453ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55543expia 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
564, 8, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5848, 52, 57sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6132cbvixpv 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6260, 61syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6349elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6463simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 r19.26 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6759, 65, 66sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68 ralim 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6958, 67, 68sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 rabn0 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71 dfin5 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
72 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
73 ssiun2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7472, 73syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
75 dfss1 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7674, 75sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7771, 76syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7877neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7970, 78syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8079ralbiia 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8169, 80sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 nfiu1 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8684, 85nfin 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8883, 87nfrex 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
89 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9189, 90ineq12d 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9392rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9482, 88, 93cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9581, 94sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796acni3 7933 . . . . . . . . . . . . . . 15 AC
9847, 95, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
99 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10186nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103102, 91eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104100, 101, 103cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107106elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108 ixpin 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10961ineq1i 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110108, 109eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110neeq1i 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112105, 107, 1113imtr3i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113104, 112sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11499, 113sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114exlimiv 1645 . . . . . . . . . . . . . 14
11698, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
117116expr 600 . . . . . . . . . . . 12
11845, 117syldan 458 . . . . . . . . . . 11
1191183adantr3 1119 . . . . . . . . . 10
120 eleq2 2499 . . . . . . . . . . 11
121 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . 12
122121neeq1d 2616 . . . . . . . . . . 11
123120, 122imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
124119, 123syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9
125124expimpd 588 . . . . . . . 8
126125exlimdv 1647 . . . . . . 7
12728, 126syl5bi 210 . . . . . 6
128127ralrimiv 2790 . . . . 5
1294, 37fmptd 5896 . . . . . . . . . 10
130 ffn 5594 . . . . . . . . . 10
131129, 130syl 16 . . . . . . . . 9
132 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
133132ptval 17607 . . . . . . . . 9
1341, 131, 133syl2anc 644 . . . . . . . 8
13513, 134syl5eq 2482 . . . . . . 7
136135adantr 453 . . . . . 6
1372ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9 TopOn
13813pttopon 17633 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
1391, 137, 138syl2anc 644 . . . . . . . 8 TopOn
140 toponuni 16997 . . . . . . . 8 TopOn
141139, 140syl 16 . . . . . . 7
142141adantr 453 . . . . . 6
143132ptbas 17616 . . . . . . . 8
1441, 129, 143syl2anc 644 . . . . . . 7
145144adantr 453 . . . . . 6
1465ralrimiva 2791 . . . . . . . 8
147 ss2ixp 7078 . . . . . . . 8
148146, 147syl 16 . . . . . . 7
149148adantr 453 . . . . . 6
1509clsss3 17128 . . . . . . . . . . 11
1514, 8, 150syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
152151, 7sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9
153152ralrimiva 2791 . . . . . . . 8
154 ss2ixp 7078 . . . . . . . 8
155153, 154syl 16 . . . . . . 7
156155sselda 3350 . . . . . 6
157136, 142, 145, 149, 156elcls3 17152 . . . . 5
158128, 157mpbird 225 . . . 4
159158ex 425 . . 3
160159ssrdv 3356 . 2
16123, 160eqssd 3367 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  csb 3253   cdif 3319   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cuni 4017  ciun 4095   cmpt 4269   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  cixp 7066  cfn 7112  AC wacn 7830  ctg 13670  cpt 13671  ctop 16963  TopOnctopon 16964  ctb 16967  ccld 17085  ccl 17087 This theorem is referenced by:  ptcls  17653  dfac14  17655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-acn 7834  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090
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