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Theorem ptclsg 17652
Description: The closure of a box in the product topology is the box formed from the closures of the factors. The proof uses the axiom of choice; the last hypothesis is the choice assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcls.2  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
ptcls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcls.j  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
ptcls.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
ptclsg.1  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
Assertion
Ref Expression
ptclsg  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Distinct variable groups:    ph, k    A, k
Allowed substitution hints:    R( k)    S( k)    J( k)    V( k)    X( k)

Proof of Theorem ptclsg
Dummy variables  f 
g  u  x  y  z  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcls.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptcls.j . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
3 topontop 16996 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  R  e.  Top )
5 ptcls.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  X )
6 toponuni 16997 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
72, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  =  U. R )
85, 7sseqtrd 3386 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_ 
U. R )
9 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
109clscld 17116 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  S
)  e.  ( Clsd `  R ) )
114, 8, 10syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  R
) )
121, 4, 11ptcldmpt 17651 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) ) ) )
13 ptcls.2 . . . . 5  |-  J  =  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )
1413fveq2i 5734 . . . 4  |-  ( Clsd `  J )  =  (
Clsd `  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) ) )
1512, 14syl6eleqr 2529 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
169sscls 17125 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  S  C_  (
( cls `  R
) `  S )
)
174, 8, 16syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  ( ( cls `  R
) `  S )
)
1817ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  C_  ( ( cls `  R ) `  S
) )
19 ss2ixp 7078 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  C_  ( ( cls `  R
) `  S )  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
21 eqid 2438 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2221clsss2 17141 . . 3  |-  ( (
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R ) `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
2315, 20, 22syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  C_  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
24 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
25 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
2625anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) ) )
2726exbidv 1637 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
2824, 27elab 3084 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
29 nffvmpt1 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )
3029nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )
31 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k )
32 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
g `  y )  =  ( g `  k ) )
33 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k ) )
3432, 33eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  k  ->  (
( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  <-> 
( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k ) ) )
3530, 31, 34cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  <->  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k
) )
36 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
37 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  |->  R )  =  ( k  e.  A  |->  R )
3837fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  A  /\  R  e.  (TopOn `  X
) )  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  =  R )
3936, 2, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  =  R )
4039eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( g `  k
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k )  <-> 
( g `  k
)  e.  R ) )
4140ralbidva 2723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  k
)  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
4235, 41syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  <->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
4342anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) )  <->  ( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R
) ) )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  <-> 
( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) ) )
4544biimpa 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) ) )  -> 
( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R ) )
46 ptclsg.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
4746ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  U_ k  e.  A  S  e. AC  A )
48 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  ph )
49 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  f  e. 
_V
5049elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
5150simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )
5251ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )
539clsndisj 17144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )  /\  ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) ) )  -> 
( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
5453ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  ( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S ) )  ->  ( ( ( g `  k )  e.  R  /\  (
f `  k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )
55543expia 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( f `
 k )  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
564, 8, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( ( cls `  R ) `
 S )  -> 
( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5756ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  ->  A. k  e.  A  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
5848, 52, 57sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/) ) )
59 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( g `  k
)  e.  R )
60 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
6132cbvixpv 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ k  e.  A  (
g `  k )
6260, 61syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  f  e.  X_ k  e.  A  (
g `  k )
)
6349elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( g `  k
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( g `  k ) ) )
6463simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X_ k  e.  A  ( g `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( g `  k ) )
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )
66 r19.26 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  A  (
( g `  k
)  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )  <-> 
( A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R  /\  A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) ) )
6759, 65, 66sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) ) )
68 ralim 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  A  (
( ( g `  k )  e.  R  /\  ( f `  k
)  e.  ( g `
 k ) )  ->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) )  -> 
( A. k  e.  A  ( ( g `
 k )  e.  R  /\  ( f `
 k )  e.  ( g `  k
) )  ->  A. k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =/=  (/) ) )
6958, 67, 68sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
70 rabn0 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { z  e.  U_ k  e.  A  S  | 
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) )
71 dfin5 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ k  e.  A  S  i^i  ( ( g `  k )  i^i  S
) )  =  {
z  e.  U_ k  e.  A  S  | 
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S ) }
72 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  k )  i^i  S )  C_  S
73 ssiun2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  A  ->  S  C_ 
U_ k  e.  A  S )
7472, 73syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  A  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  C_ 
U_ k  e.  A  S )
75 dfss1 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  k
)  i^i  S )  C_ 
U_ k  e.  A  S 
<->  ( U_ k  e.  A  S  i^i  (
( g `  k
)  i^i  S )
)  =  ( ( g `  k )  i^i  S ) )
7674, 75sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  A  ->  ( U_ k  e.  A  S  i^i  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) )  =  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
7771, 76syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  A  ->  { z  e.  U_ k  e.  A  S  |  z  e.  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) }  =  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
7877neeq1d 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  A  ->  ( { z  e.  U_ k  e.  A  S  |  z  e.  (
( g `  k
)  i^i  S ) }  =/=  (/)  <->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
7970, 78syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  A  ->  ( E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) ) )
8079ralbiia 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  =/=  (/) )
8169, 80sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
) )
82 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )
83 nfiu1 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k U_ k  e.  A  S
84 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( g `  y
)
85 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ S
8684, 85nfin 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
)
8786nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k  z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
8883, 87nfrex 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
89 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  (
g `  k )  =  ( g `  y ) )
90 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  S  =  [_ y  /  k ]_ S )
9189, 90ineq12d 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
( g `  k
)  i^i  S )  =  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )
9291eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )  <->  z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) ) )
9392rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  y  ->  ( E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  E. z  e.  U_  k  e.  A  S
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
9482, 88, 93cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )
9581, 94sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )
96 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( h `  y )  ->  (
z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )  <->  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) ) )
9796acni3 7933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  A  S  e. AC  A  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  U_  k  e.  A  S z  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S
) )  ->  E. h
( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
9847, 95, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  E. h ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) ) )
99 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h : A --> U_ k  e.  A  S  ->  h  Fn  A )
100 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y ( h `  k
)  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )
10186nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S )
102 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  y  ->  (
h `  k )  =  ( h `  y ) )
103102, 91eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  y  ->  (
( h `  k
)  e.  ( ( g `  k )  i^i  S )  <->  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) ) )
104100, 101, 103cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  A  (
h `  k )  e.  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( ( g `  y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )
105 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  X_ k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  ->  X_ k  e.  A  ( ( g `
 k )  i^i 
S )  =/=  (/) )
106 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  h  e. 
_V
107106elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  e.  X_ k  e.  A  ( ( g `  k )  i^i  S
)  <->  ( h  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( h `  k )  e.  ( ( g `  k
)  i^i  S )
) )
108 ixpin 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  X_ k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =  (
X_ k  e.  A  ( g `  k
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
10961ineq1i 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  (
X_ k  e.  A  ( g `  k
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
110108, 109eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X_ k  e.  A  ( (
g `  k )  i^i  S )  =  (
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )
111110neeq1i 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X_ k  e.  A  (
( g `  k
)  i^i  S )  =/=  (/)  <->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
112105, 107, 1113imtr3i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( h `  k )  e.  ( ( g `
 k )  i^i 
S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
113104, 112sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
11499, 113sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `
 y )  i^i  [_ y  /  k ]_ S ) )  -> 
( X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
115114exlimiv 1645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. h ( h : A --> U_ k  e.  A  S  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( ( g `  y
)  i^i  [_ y  / 
k ]_ S ) )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
11698, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( (
g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R )  /\  f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )
117116expr 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( g `  k )  e.  R
) )  ->  (
f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
11845, 117syldan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
) ) )  -> 
( f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  ->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
1191183adantr3 1119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) ) )  ->  ( f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
120 eleq2 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( f  e.  u  <->  f  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) )
121 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =  (
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  i^i  X_ k  e.  A  S ) )
122121neeq1d 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) 
<->  ( X_ y  e.  A  ( g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
123120, 122imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
f  e.  u  -> 
( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) )  <->  ( f  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
124119, 123syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) ) )  ->  ( u  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
125124expimpd 588 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( (
( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. (
( k  e.  A  |->  R ) `  y
) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  (
f  e.  u  -> 
( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
126125exlimdv 1647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  u  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
12728, 126syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ->  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
128127ralrimiv 2790 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  A. u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) )
1294, 37fmptd 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top )
130 ffn 5594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top  ->  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A
)
132 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }
133132ptval 17607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  R )  Fn  A
)  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  A  |->  R ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
1341, 131, 133syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  A  |->  R ) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
13513, 134syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } ) )
136135adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  J  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) } ) )
1372ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  R  e.  (TopOn `  X
) )
13813pttopon 17633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  R  e.  (TopOn `  X )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X ) )
1391, 137, 138syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X
) )
140 toponuni 16997 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ k  e.  A  X )  -> 
X_ k  e.  A  X  =  U. J )
141139, 140syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  X  =  U. J )
142141adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  X_ k  e.  A  X  =  U. J )
143132ptbas 17616 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( k  e.  A  |->  R ) : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  e.  TopBases )
1441, 129, 143syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases )
145144adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `
 y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  (
g `  y )
) }  e.  TopBases )
1465ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  C_  X )
147 ss2ixp 7078 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  S  C_  X  ->  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
148146, 147syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
149148adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  X_ k  e.  A  S  C_  X_ k  e.  A  X )
1509clsss3 17128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  S
)  C_  U. R )
1514, 8, 150syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  C_ 
U. R )
152151, 7sseqtr4d 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( cls `  R
) `  S )  C_  X )
153152ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  X )
154 ss2ixp 7078 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  (
( cls `  R
) `  S )  C_  X  ->  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R ) `  S
)  C_  X_ k  e.  A  X )
155153, 154syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  X_ k  e.  A  X )
156155sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  f  e.  X_ k  e.  A  X
)
157136, 142, 145, 149, 156elcls3 17152 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  ( f  e.  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  <->  A. u  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( k  e.  A  |->  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( f  e.  u  ->  ( u  i^i  X_ k  e.  A  S )  =/=  (/) ) ) )
158128, 157mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)  ->  f  e.  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S ) )
159158ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ k  e.  A  (
( cls `  R
) `  S )  ->  f  e.  ( ( cls `  J ) `
 X_ k  e.  A  S ) ) )
160159ssrdv 3356 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )  C_  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S ) )
16123, 160eqssd 3367 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ k  e.  A  S )  = 
X_ k  e.  A  ( ( cls `  R
) `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   [_csb 3253    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   U_ciun 4095    e. cmpt 4269    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457   X_cixp 7066   Fincfn 7112  AC wacn 7830   topGenctg 13670   Xt_cpt 13671   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   TopBasesctb 16967   Clsdccld 17085   clsccl 17087
This theorem is referenced by:  ptcls  17653  dfac14  17655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-acn 7834  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090
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