MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Unicode version

Theorem ptcmp 17768
Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  F )  e.  _V
21uniex 4532 . . . 4  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
_V
3 axac3 8106 . . . . 5  |- CHOICE
4 acufl 17628 . . . . 5  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |- UFL  =  _V
62, 5eleqtrri 2369 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. UFL
7 cardeqv 8112 . . . 4  |-  dom  card  =  _V
82, 7eleqtrri 2369 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  e. 
dom  card
9 elin 3371 . . 3  |-  ( U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )  <->  ( U. ( Xt_ `  F )  e. UFL  /\  U. ( Xt_ `  F
)  e.  dom  card ) )
106, 8, 9mpbir2an 886 . 2  |-  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
11 eqid 2296 . . 3  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
12 eqid 2296 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
1311, 12ptcmpg 17767 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  F )  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Comp )
1410, 13mp3an3 1266 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164   U.cuni 3843   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271   cardccrd 7584  CHOICEwac 7758   Xt_cpt 13359   Compccmp 17129  UFLcufl 17611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-wdom 7289  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759  df-cda 7810  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cmp 17130  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-ufil 17612  df-ufl 17613  df-flim 17650  df-fcls 17652
  Copyright terms: Public domain W3C validator