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Theorem ptcmpfi 17520
Description: A topological product of finitely many compact spaces is compact. This weak version of Tychonoff's theorem does not require the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmpfi
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
2 fnresdm 5369 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( F : A --> Comp  ->  ( F  |`  A )  =  F )
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( F  |`  A )  =  F )
54fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  =  ( Xt_ `  F
) )
6 ssid 3210 . . . 4  |-  A  C_  A
7 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
8 reseq2 4966 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 4975 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  (/) )
1110fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  =  (
Xt_ `  (/) ) )
1211eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp ) )
1312imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) )
147, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) ) )
15 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
16 reseq2 4966 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  y
) )
1716fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) )
1817eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )
1918imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) )
2015, 19imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) ) )
21 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
22 reseq2 4966 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
2423eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
2524imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) )
2621, 25imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) ) )
27 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
28 reseq2 4966 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  A ) )
2928fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) ) )
3029eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
3130imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) )
3227, 31imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) ) )
33 0ex 4166 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
34 f0 5441 . . . . . . . . 9  |-  (/) : (/) --> Top
35 pttop 17293 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top )
3633, 34, 35mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top
37 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  (/) )
3837ptuni 17305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x
)  =  U. ( Xt_ `  (/) ) )
3933, 34, 38mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  U. ( Xt_ `  (/) )
40 ixp0x 6860 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  { (/)
}
41 snfi 6957 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
4240, 41eqeltri 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  e.  Fin
4339, 42eqeltrri 2367 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
44 pwfi 7167 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin 
<->  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin )
4543, 44mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin
46 pwuni 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) )
47 ssfi 7099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin  /\  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) ) )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin )
4845, 46, 47mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
49 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) 
<->  ( ( Xt_ `  (/) )  e. 
Top  /\  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin ) )
5036, 48, 49mpbir2an 886 . . . . . . 7  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )
51 fincmp 17136 . . . . . . 7  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp
5352a1ii 24 . . . . 5  |-  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) )
54 ssun1 3351 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
55 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
5654, 55syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
5756imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) ) )
58 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  = 
U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )
59 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )
60 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
61 resabs1 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
)
6254, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
6362eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  y )  =  ( ( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  y )
6463fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  =  (
Xt_ `  ( ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  |`  y )
)
65 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
66 resabs1 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } )
6867eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  { z } )  =  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  { z } )
6968fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } ) )
70 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )
71 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
72 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  e.  _V
7371, 72unex 4534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
7473a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  e.  _V )
75 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Comp )
76 cmptop 17138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
7776ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Comp  C_  Top
78 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
7975, 77, 78sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Top )
80 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )
81 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> Top  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) : ( y  u.  { z } ) --> Top )
8279, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
83 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
84 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  -.  z  e.  y )
85 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
8684, 85sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
8758, 59, 60, 64, 69, 70, 74, 82, 83, 86ptunhmeo 17515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  Homeo  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) ) )
88 hmphi 17484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  Homeo  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
901ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F  Fn  A )
9165, 80syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  { z }  C_  A )
92 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
9392snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9491, 93sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  A )
95 fnressn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )
9690, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |` 
{ z } )  =  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9796fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )
98 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  =  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9992a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  _V )
100 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  Comp )
10175, 94, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Comp )
10277, 101sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Top )
103 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ( F `  z )  =  U. ( F `  z )
104103toptopon 16687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  Top  <->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
105102, 104sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
10698, 99, 105pt1hmeo 17513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `
 z )  Homeo  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) ) )
107 hmphi 17484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `  z
)  Homeo  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )  -> 
( F `  z
)  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } ) )
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) )
109 cmphmph 17495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )  ->  (
( F `  z
)  e.  Comp  ->  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )  e.  Comp ) )
110108, 101, 109sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  e.  Comp )
11197, 110eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e. 
Comp )
112 txcmp 17353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  /\  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e.  Comp )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e. 
Comp )
113112expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Xt_ `  ( F  |` 
{ z } ) )  e.  Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
114111, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
115 cmphmph 17495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
11689, 114, 115sylsyld 52 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) )
117116expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
118117a2d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
119118ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
120119a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
12157, 120syl5 28 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
122121adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
12314, 20, 26, 32, 53, 122findcard2s 7115 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) ) )
1246, 123mpi 16 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
125124anabsi5 790 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp )
1265, 125eqeltrrd 2371 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   X_cixp 6833   Fincfn 6879   Xt_cpt 13359   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Compccmp 17129    tX ctx 17271    Homeo chmeo 17460    ~= chmph 17461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-hmph 17463
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