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Theorem ptcmpfi 17504
Description: A topological product of finitely many compact spaces is compact. This weak version of Tychonoff's theorem does not require the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )

Proof of Theorem ptcmpfi
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
2 fnresdm 5353 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( F : A --> Comp  ->  ( F  |`  A )  =  F )
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( F  |`  A )  =  F )
54fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  =  ( Xt_ `  F
) )
6 ssid 3197 . . . 4  |-  A  C_  A
7 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
8 reseq2 4950 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  (/) ) )
9 res0 4959 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
108, 9syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( F  |`  x )  =  (/) )
1110fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  =  (
Xt_ `  (/) ) )
1211eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp ) )
1312imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) )
147, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) ) ) )
15 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
16 reseq2 4950 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  y
) )
1716fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) )
1817eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )
1918imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) )
2015, 19imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) ) ) )
21 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
22 reseq2 4950 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  x
) )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
2524imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) )
2621, 25imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e.  Comp ) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
) ) )
27 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
28 reseq2 4950 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  A ) )
2928fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) ) )
3029eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
3130imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp )  <->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) )
3227, 31imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  x ) )  e. 
Comp ) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e. 
Comp ) ) ) )
33 0ex 4150 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
34 f0 5425 . . . . . . . . 9  |-  (/) : (/) --> Top
35 pttop 17277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top )
3633, 34, 35mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Top
37 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  (/) )
3837ptuni 17289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> Top )  ->  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x
)  =  U. ( Xt_ `  (/) ) )
3933, 34, 38mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  U. ( Xt_ `  (/) )
40 ixp0x 6844 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  =  { (/)
}
41 snfi 6941 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
4240, 41eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ x  e.  (/)  U. ( (/) `  x )  e.  Fin
4339, 42eqeltrri 2354 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
44 pwfi 7151 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin 
<->  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin )
4543, 44mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin
46 pwuni 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) )
47 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P U. ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin  /\  ( Xt_ `  (/) )  C_  ~P U. ( Xt_ `  (/) ) )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Fin )
4845, 46, 47mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin
49 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) 
<->  ( ( Xt_ `  (/) )  e. 
Top  /\  ( Xt_ `  (/) )  e.  Fin ) )
5036, 48, 49mpbir2an 886 . . . . . . 7  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )
51 fincmp 17120 . . . . . . 7  |-  ( (
Xt_ `  (/) )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e. 
Comp )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp
5352a1ii 24 . . . . 5  |-  ( (/)  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  Comp ) )
54 ssun1 3338 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
55 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
5654, 55syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  y  C_  A )
5756imim1i 54 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) ) )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  = 
U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )
59 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )
60 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) )  =  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )
61 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
)
6254, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  y )  =  ( F  |`  y )
6362eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  y )  =  ( ( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  y )
6463fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  =  (
Xt_ `  ( ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  |`  y )
)
65 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
66 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  |`  { z } )  =  ( F  |`  { z } )
6867eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  { z } )  =  ( ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  |`  { z } )
6968fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  (
( F  |`  (
y  u.  { z } ) )  |`  { z } ) )
70 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y
) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )
71 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
72 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  e.  _V
7371, 72unex 4518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
7473a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  e.  _V )
75 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Comp )
76 cmptop 17122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
7776ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Comp  C_  Top
78 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
7975, 77, 78sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F : A
--> Top )
80 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } ) 
C_  A )
81 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> Top  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) : ( y  u.  { z } ) --> Top )
8279, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
83 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
84 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  -.  z  e.  y )
85 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
8684, 85sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
8758, 59, 60, 64, 69, 70, 74, 82, 83, 86ptunhmeo 17499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  Homeo  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) ) )
88 hmphi 17468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) ,  v  e.  U. ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  |->  ( u  u.  v ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  Homeo  ( Xt_ `  ( F  |`  (
y  u.  { z } ) ) ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) ) )
901ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  F  Fn  A )
9165, 80syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  { z }  C_  A )
92 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
9392snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
9491, 93sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  A )
95 fnressn 5705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )
9690, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F  |` 
{ z } )  =  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9796fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  =  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )
98 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  =  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
9992a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  z  e.  _V )
100 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  Comp )
10175, 94, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Comp )
10277, 101sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  Top )
103 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. ( F `  z )  =  U. ( F `  z )
104103toptopon 16671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  Top  <->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
105102, 104sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  (TopOn `  U. ( F `  z ) ) )
10698, 99, 105pt1hmeo 17497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `
 z )  Homeo  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) ) )
107 hmphi 17468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  U. ( F `  z )  |->  { <. z ,  x >. } )  e.  ( ( F `  z
)  Homeo  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } ) )  -> 
( F `  z
)  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } ) )
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) )
109 cmphmph 17479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  ~=  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )  ->  (
( F `  z
)  e.  Comp  ->  (
Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )  e.  Comp ) )
110108, 101, 109sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  { <. z ,  ( F `  z )
>. } )  e.  Comp )
11197, 110eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e. 
Comp )
112 txcmp 17337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  /\  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) )  e.  Comp )  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e. 
Comp )
113112expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Xt_ `  ( F  |` 
{ z } ) )  e.  Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp  ->  ( (
Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
114111, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y
) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp ) )
115 cmphmph 17479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) ) 
tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  ~=  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  tX  ( Xt_ `  ( F  |`  { z } ) ) )  e.  Comp  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) ) )  e.  Comp )
)
11689, 114, 115sylsyld 52 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) )
117116expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  (
( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
118117a2d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) )
119118ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( ( A  e. 
Fin  /\  F : A
--> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp )  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
120119a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
12157, 120syl5 28 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
122121adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
y  C_  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  y ) )  e.  Comp ) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) ) )  e.  Comp ) ) ) )
12314, 20, 26, 32, 53, 122findcard2s 7099 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  C_  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) ) )
1246, 123mpi 16 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp ) )
125124anabsi5 790 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Comp )
1265, 125eqeltrrd 2358 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A --> Comp )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   X_cixp 6817   Fincfn 6863   Xt_cpt 13343   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Compccmp 17113    tX ctx 17255    Homeo chmeo 17444    ~= chmph 17445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-hmph 17447
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