Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmpg Structured version   Unicode version

Theorem ptcmpg 18088
 Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The choice principles needed are encoded in the last hypothesis: the base set of the product must be well-orderable and satisfy the ultrafilter lemma. Both these assumptions are satisfied if is well-orderable, so if we assume the Axiom of Choice we can eliminate them (see ptcmp 18089). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmpg.1
ptcmpg.2
Assertion
Ref Expression
ptcmpg UFL

Proof of Theorem ptcmpg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmpg.1 . 2
2 nfcv 2572 . . . 4
3 nfcv 2572 . . . 4
4 nfcv 2572 . . . 4
5 nfcv 2572 . . . 4
6 nfcv 2572 . . . 4
7 nfcv 2572 . . . 4
8 fveq2 5728 . . . 4
9 fveq2 5728 . . . . . . . 8
109mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
1110cnveqd 5048 . . . . . 6
1211imaeq1d 5202 . . . . 5
13 imaeq2 5199 . . . . 5
1412, 13sylan9eq 2488 . . . 4
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14cbvmpt2x 6150 . . 3
16 fveq2 5728 . . . . 5
1716unieqd 4026 . . . 4
1817cbvixpv 7080 . . 3
19 simp1 957 . . 3 UFL
20 simp2 958 . . 3 UFL
21 cmptop 17458 . . . . . . . 8
2221ssriv 3352 . . . . . . 7
23 fss 5599 . . . . . . 7
2420, 22, 23sylancl 644 . . . . . 6 UFL
251ptuni 17626 . . . . . 6
2619, 24, 25syl2anc 643 . . . . 5 UFL
27 ptcmpg.2 . . . . 5
2826, 27syl6eqr 2486 . . . 4 UFL
29 simp3 959 . . . 4 UFL UFL
3028, 29eqeltrd 2510 . . 3 UFL UFL
3115, 18, 19, 20, 30ptcmplem5 18087 . 2 UFL
321, 31syl5eqel 2520 1 UFL
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cin 3319   wss 3320  cuni 4015   cmpt 4266  ccnv 4877   cdm 4878  cima 4881  wf 5450  cfv 5454   cmpt2 6083  cixp 7063  ccrd 7822  cpt 13666  ctop 16958  ccmp 17449  UFLcufl 17932 This theorem is referenced by:  ptcmp  18089  dfac21  27141 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-wdom 7527  df-card 7826  df-acn 7829  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cmp 17450  df-fil 17878  df-ufil 17933  df-ufl 17934  df-flim 17971  df-fcls 17973
 Copyright terms: Public domain W3C validator