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Theorem ptcmplem1 18088
Description: Lemma for ptcmp 18094. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem1
Dummy variables  g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptcmp.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
3 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
5 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
65ptval 17607 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
71, 4, 6syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
8 cmptop 17463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
98ssriv 3354 . . . . . . . . . 10  |-  Comp  C_  Top
10 fss 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
112, 9, 10sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
12 ptcmp.2 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
135, 12ptbasfi 17618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
141, 11, 13syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
15 uncom 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  S )
16 ptcmp.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
1716rneqi 5099 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  S  =  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
1817uneq2i 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( { X }  u.  ran  S )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
1915, 18eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
2019fveq2i 5734 . . . . . . . 8  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  =  ( fi
`  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
2114, 20syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2221fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
237, 22eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
2423unieqd 4028 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
25 fibas 17047 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  e.  TopBases
26 unitg 17037 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) )  e.  TopBases 
->  U. ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )
2824, 27syl6eq 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
29 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
3029ptuni 17631 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
311, 11, 30syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
3212, 31syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( Xt_ `  F ) )
33 ptcmp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
34 pwexg 4386 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ~P X  e.  _V )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  _V )
36 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
3736mptpreima 5366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }
38 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }  C_  X
3937, 38eqsstri 3380 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X
4033adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
41 elpw2g 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  ~P X 
<->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  C_  X ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  ~P X  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X )
)
4339, 42mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4443ralrimivva 2800 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k )
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4516fmpt2x 6420 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k ) ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ~P X  <->  S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X )
4644, 45sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : U_ k  e.  A  ( {
k }  X.  ( F `  k )
) --> ~P X )
47 frn 5600 . . . . . . 7  |-  ( S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X  ->  ran  S 
C_  ~P X )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  ~P X )
4935, 48ssexd 4353 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  e.  _V )
50 snex 4408 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
51 unexg 4713 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  e.  _V  /\ 
{ X }  e.  _V )  ->  ( ran 
S  u.  { X } )  e.  _V )
5249, 50, 51sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  S  u.  { X } )  e. 
_V )
53 fiuni 7436 . . . 4  |-  ( ( ran  S  u.  { X } )  e.  _V  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5452, 53syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5528, 32, 543eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
5655, 23jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   U_ciun 4095    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457    e. cmpt2 6086   X_cixp 7066   Fincfn 7112   ficfi 7418   cardccrd 7827   topGenctg 13670   Xt_cpt 13671   Topctop 16963   TopBasesctb 16967   Compccmp 17454  UFLcufl 17937
This theorem is referenced by:  ptcmplem5  18092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116  df-fi 7419  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-top 16968  df-bases 16970  df-cmp 17455
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