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Theorem ptcmplem1 18044
Description: Lemma for ptcmp 18050. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem1
Dummy variables  g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptcmp.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
3 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> Comp  ->  F  Fn  A )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
5 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
65ptval 17563 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
71, 4, 6syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
8 cmptop 17420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Comp  ->  x  e. 
Top )
98ssriv 3320 . . . . . . . . . 10  |-  Comp  C_  Top
10 fss 5566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  Comp  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
112, 9, 10sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
12 ptcmp.2 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
135, 12ptbasfi 17574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
141, 11, 13syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
15 uncom 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  S )
16 ptcmp.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
1716rneqi 5063 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  S  =  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
1817uneq2i 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( { X }  u.  ran  S )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
1915, 18eqtri 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
S  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
2019fveq2i 5698 . . . . . . . 8  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  =  ( fi
`  ( { X }  u.  ran  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
2114, 20syl6eqr 2462 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2221fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
237, 22eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
2423unieqd 3994 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
25 fibas 17005 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )  e.  TopBases
26 unitg 16995 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) )  e.  TopBases 
->  U. ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi `  ( ran 
S  u.  { X } ) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . 4  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) )
2824, 27syl6eq 2460 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  F
)  =  U. ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
29 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
3029ptuni 17587 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
311, 11, 30syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
3212, 31syl5eq 2456 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( Xt_ `  F ) )
33 ptcmp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
34 pwexg 4351 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ~P X  e.  _V )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  _V )
36 eqid 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
3736mptpreima 5330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }
38 ssrab2 3396 . . . . . . . . . . 11  |-  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }  C_  X
3937, 38eqsstri 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X
4033adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
41 elpw2g 4331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  (UFL  i^i  dom  card )  ->  ( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  ~P X 
<->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  C_  X ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  ~P X  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  C_  X )
)
4339, 42mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  u  e.  ( F `  k
) ) )  -> 
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4443ralrimivva 2766 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k )
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e. 
~P X )
4516fmpt2x 6384 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  A. u  e.  ( F `  k ) ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ~P X  <->  S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X )
4644, 45sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : U_ k  e.  A  ( {
k }  X.  ( F `  k )
) --> ~P X )
47 frn 5564 . . . . . . 7  |-  ( S : U_ k  e.  A  ( { k }  X.  ( F `
 k ) ) --> ~P X  ->  ran  S 
C_  ~P X )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  ~P X )
4935, 48ssexd 4318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  e.  _V )
50 snex 4373 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
51 unexg 4677 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  e.  _V  /\ 
{ X }  e.  _V )  ->  ( ran 
S  u.  { X } )  e.  _V )
5249, 50, 51sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  S  u.  { X } )  e. 
_V )
53 fiuni 7399 . . . 4  |-  ( ( ran  S  u.  { X } )  e.  _V  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5452, 53syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ran  S  u.  { X } )  =  U. ( fi
`  ( ran  S  u.  { X } ) ) )
5528, 32, 543eqtr4d 2454 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
5655, 23jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2398   A.wral 2674   E.wrex 2675   {crab 2678   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   {csn 3782   U.cuni 3983   U_ciun 4061    e. cmpt 4234    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421    e. cmpt2 6050   X_cixp 7030   Fincfn 7076   ficfi 7381   cardccrd 7786   topGenctg 13628   Xt_cpt 13629   Topctop 16921   TopBasesctb 16925   Compccmp 17411  UFLcufl 17893
This theorem is referenced by:  ptcmplem5  18048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-fin 7080  df-fi 7382  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-top 16926  df-bases 16928  df-cmp 17412
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