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Theorem ptcmplem2 17763
 Description: Lemma for ptcmp 17768. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1
ptcmp.2
ptcmp.3
ptcmp.4
ptcmp.5 UFL
ptcmplem2.5
ptcmplem2.6
ptcmplem2.7
Assertion
Ref Expression
ptcmplem2
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem ptcmplem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmplem2.7 . . . 4
2 0ss 3496 . . . . . . 7
3 0fin 7103 . . . . . . 7
4 elfpw 7173 . . . . . . 7
52, 3, 4mpbir2an 886 . . . . . 6
6 unieq 3852 . . . . . . . . 9
7 uni0 3870 . . . . . . . . 9
86, 7syl6eq 2344 . . . . . . . 8
98eqeq2d 2307 . . . . . . 7
109rspcev 2897 . . . . . 6
115, 10mpan 651 . . . . 5
1211necon3bi 2500 . . . 4
131, 12syl 15 . . 3
14 n0 3477 . . 3
1513, 14sylib 188 . 2
16 ptcmp.2 . . . . . . . . 9
17 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
1817unieqd 3854 . . . . . . . . . 10
1918cbvixpv 6850 . . . . . . . . 9
2016, 19eqtri 2316 . . . . . . . 8
21 inss2 3403 . . . . . . . . . 10 UFL
22 ptcmp.5 . . . . . . . . . 10 UFL
2321, 22sseldi 3191 . . . . . . . . 9
2423adantr 451 . . . . . . . 8
2520, 24syl5eqelr 2381 . . . . . . 7
26 ssrab2 3271 . . . . . . . 8
2713adantr 451 . . . . . . . . 9
2820, 27syl5eqner 2484 . . . . . . . 8
29 eqid 2296 . . . . . . . . 9
3029resixpfo 6870 . . . . . . . 8
3126, 28, 30sylancr 644 . . . . . . 7
32 fonum 7701 . . . . . . 7
3325, 31, 32syl2anc 642 . . . . . 6
34 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13
35 difexg 4178 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12
37 dmexg 4955 . . . . . . . . . . . 12
38 uniexg 4533 . . . . . . . . . . . 12
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11
4039ralrimivw 2640 . . . . . . . . . 10
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
4241fnmpt 5386 . . . . . . . . . 10
4340, 42syl 15 . . . . . . . . 9
44 dffn4 5473 . . . . . . . . 9
4543, 44sylib 188 . . . . . . . 8
46 fonum 7701 . . . . . . . 8
4724, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . 7
48 ssdif0 3526 . . . . . . . . . . . . . 14
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5150, 20syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5352elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5453simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5551, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5655r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5756snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5949, 58eqssd 3209 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160ensn1 6941 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6259, 61syl6eqbr 4076 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14
6448, 63syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . 13
6564con3d 125 . . . . . . . . . . . 12
66 neq0 3478 . . . . . . . . . . . 12
6765, 66syl6ib 217 . . . . . . . . . . 11
68 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
70 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7170, 18eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7269, 71syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7350, 16syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7452elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7574simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7673, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7776ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7877r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8079eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8178, 80syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8272, 81pm2.61d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
84 ptcmp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8584ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86 mptelixpg 6869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8883, 87mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988, 16syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15
9068, 89sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14
91 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291unisn 3859 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
94 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9593, 94syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9695pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97 equequ1 1667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
98 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9997, 98ifbieq2d 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
100 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
101 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
102 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
103101, 102ifex 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10499, 100, 103fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
105104neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
107 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108107necon1ai 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
110109ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
111 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
112 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
113111, 112neeq12d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
114110, 113syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115108, 114impbid2 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116106, 115bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117116pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11896, 117bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119118abbidv 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 df-sn 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121 df-rab 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122119, 120, 1213eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
124101, 123ifex 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125124rgenw 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126100fnmpt 5386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127125, 126mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12973, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130129ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131 fndmdif 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132127, 130, 131syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133122, 132eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134133unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . . 15
13592, 134syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . 14
136 difeq1 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137136dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138137unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15
140139rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . 14
14190, 135, 140syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
142141ex 423 . . . . . . . . . . . 12
143142exlimdv 1626 . . . . . . . . . . 11
14467, 143syld 40 . . . . . . . . . 10
145144expimpd 586 . . . . . . . . 9
14618breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11
147146notbid 285 . . . . . . . . . 10
148147elrab 2936 . . . . . . . . 9
14941elrnmpt 4942 . . . . . . . . . 10
15091, 149ax-mp 8 . . . . . . . . 9
151145, 148, 1503imtr4g 261 . . . . . . . 8
152151ssrdv 3198 . . . . . . 7
153 ssnum 7682 . . . . . . 7
15447, 152, 153syl2anc 642 . . . . . 6
155 xpnum 7600 . . . . . 6
15633, 154, 155syl2anc 642 . . . . 5
15784adantr 451 . . . . . . 7
158 rabexg 4180 . . . . . . 7
159157, 158syl 15 . . . . . 6
160 fvex 5555 . . . . . . . . 9
161160uniex 4532 . . . . . . . 8
162161rgenw 2623 . . . . . . 7
163 iunexg 5783 . . . . . . 7
164159, 162, 163sylancl 643 . . . . . 6
165 resixp 6867 . . . . . . . 8
16626, 51, 165sylancr 644 . . . . . . 7
167 ne0i 3474 . . . . . . 7
168166, 167syl 15 . . . . . 6
169 ixpiunwdom 7321 . . . . . 6 *
170159, 164, 168, 169syl3anc 1182 . . . . 5 *
171 numwdom 7702 . . . . 5 *
172156, 170, 171syl2anc 642 . . . 4
173172ex 423 . . 3
174173exlimdv 1626 . 2
17515, 174mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cif 3578  cpw 3638  csn 3653  cuni 3843  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271   cmpt2 5876  c1o 6488  cixp 6833   cen 6876  cfn 6879   * cwdom 7287  ccrd 7584  ccmp 17129  UFLcufl 17611 This theorem is referenced by:  ptcmplem3  17764 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-wdom 7289  df-card 7588  df-acn 7591
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