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Theorem ptcmplem3 18086
Description: Lemma for ptcmp 18090. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
ptcmplem2.5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
ptcmplem2.6  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
ptcmplem2.7  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
ptcmplem3.8  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
Assertion
Ref Expression
ptcmplem3  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, u, w, z, A   
f, K, u    S, k, n, u, z    ph, f,
k, n, u    U, k, u, z    k, V, n, u, w, z   
f, F, k, n, u, w, z    f, X, k, n, u, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    S( w, f)    U( w, f, n)    K( z, w, k, n)    V( f)

Proof of Theorem ptcmplem3
Dummy variables  g  m  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 rabexg 4354 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  e.  _V )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V )
4 ptcmp.1 . . . . 5  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
5 ptcmp.2 . . . . 5  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
6 ptcmp.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
7 ptcmp.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
8 ptcmplem2.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
9 ptcmplem2.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
10 ptcmplem2.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
114, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ptcmplem2 18085 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card )
12 eldifi 3470 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
13123ad2ant3 981 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  _V  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
1413rabssdv 3424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U. ( F `  k )
)
1514ralrimivw 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U. ( F `  k )
)
16 ss2iun 4109 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  {
y  e.  _V  | 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) } 
C_  U. ( F `  k )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  { y  e. 
_V  |  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) }  C_  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k ) )
18 ssnum 7921 . . . 4  |-  ( (
U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card  /\  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k ) )  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  e.  dom  card )
1911, 17, 18syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  e.  dom  card )
20 elrabi 3091 . . . . 5  |-  ( k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o }  ->  k  e.  A )
2110adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
22 ssdif0 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( F `  k ) 
C_  U. K  <->  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  =  (/) )
236ffvelrnda 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Comp )
2423adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  -> 
( F `  k
)  e.  Comp )
25 ptcmplem3.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
26 ssrab2 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  U }  C_  ( F `  k
)
2725, 26eqsstri 3379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  C_  ( F `  k )
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  K  C_  ( F `  k ) )
29 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. ( F `  k
)  C_  U. K )
30 uniss 4037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K 
C_  ( F `  k )  ->  U. K  C_ 
U. ( F `  k ) )
3127, 30mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. K  C_  U. ( F `  k )
)
3229, 31eqssd 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
33 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
3433cmpcov 17453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Comp  /\  K  C_  ( F `  k
)  /\  U. ( F `  k )  =  U. K )  ->  E. t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) U. ( F `  k
)  =  U. t
)
3524, 28, 32, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  E. t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) U. ( F `  k
)  =  U. t
)
36 elfpw 7409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  K  /\  t  e. 
Fin ) )
3736simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  ->  t  C_  K )
3837ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  t  C_  K
)
3938sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  x  e.  t )  ->  x  e.  K )
40 imaeq2 5200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  x  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )
4140eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  x  ->  (
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  U  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  e.  U ) )
4241, 25elrab2 3095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( F `  k
)  /\  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  e.  U ) )
4342simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  K  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  e.  U
)
4439, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  x  e.  t )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  e.  U )
45 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  =  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )
4644, 45fmptd 5894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) ) : t --> U )
47 frn 5598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) : t --> U  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  U
)
4936simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  ->  t  e.  Fin )
5049ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  t  e.  Fin )
5145rnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )  =  { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) }
52 abrexfi 7408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  Fin  ->  { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) }  e.  Fin )
5351, 52syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  Fin )
5450, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  e.  Fin )
55 elfpw 7409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U  /\  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  Fin ) )
5648, 54, 55sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
57 simp-4r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  k  e.  A )
58 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X )
5958, 5syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )
)
60 vex 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  f  e. 
_V
6160elixp 7070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
6261simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )
)
64 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
65 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
6665unieqd 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
6764, 66eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  <->  ( f `  k )  e.  U. ( F `
 k ) ) )
6867rspcv 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  ->  ( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
) )
6957, 63, 68sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
70 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  U. ( F `  k )  =  U. t )
7169, 70eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( f `  k
)  e.  U. t
)
72 eluni2 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k )  e.  U. t  <->  E. x  e.  t  ( f `  k )  e.  x
)
7371, 72sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  E. x  e.  t  ( f `  k
)  e.  x )
74 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
7574eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  f  ->  (
( w `  k
)  e.  x  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
76 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
7776mptpreima 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  x }
7875, 77elrab2 3095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  <-> 
( f  e.  X  /\  ( f `  k
)  e.  x ) )
7978baib 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  X  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
8079ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `
 k )  = 
U. t ) )  /\  f  e.  X
)  /\  x  e.  t )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
8180rexbidva 2723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( E. x  e.  t  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  <->  E. x  e.  t  ( f `  k )  e.  x
) )
8273, 81mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  E. x  e.  t  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
83 eliun 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  <->  E. x  e.  t 
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8482, 83sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8584ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ( f  e.  X  ->  f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) )
8685ssrdv 3355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  C_  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8744ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  A. x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  e.  U )
88 dfiun2g 4124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  e.  U  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) } )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) } )
9051unieqi 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  =  U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) }
9189, 90syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) ) )
9286, 91sseqtrd 3385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  C_  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )
9348unissd 4040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  U. U
)
949ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  =  U. U )
9593, 94sseqtr4d 3386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  X
)
9692, 95eqssd 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  =  U. ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )
97 unieq 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  ->  U. z  =  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) ) )
9897eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  ->  ( X  =  U. z  <->  X  =  U. ran  (
x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) ) )
9998rspcev 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
10056, 96, 99syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
10135, 100rexlimddv 2835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
102101ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  C_  U. K  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
) )
10322, 102syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( U. ( F `
 k )  \  U. K )  =  (/)  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
10421, 103mtod 171 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  =  (/) )
105 neq0 3639 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  =  (/)  <->  E. y  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) )
106104, 105sylib 190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. y 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
107 rexv 2971 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  E. y 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
108106, 107sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
10920, 108sylan2 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } )  ->  E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
110109ralrimiva 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
111 eleq1 2497 . . . 4  |-  ( y  =  ( g `  k )  ->  (
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  <->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
112111ac6num 8360 . . 3  |-  ( ( { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V  /\  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  {
y  e.  _V  | 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) }  e.  dom  card  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  E. g ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
1133, 19, 110, 112syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  (
g `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
1141adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A  e.  V
)
115 mptexg 5966 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V )
116114, 115syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  e.  _V )
117 fvex 5743 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
118117uniex 4706 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  m )  e.  _V
119118uniex 4706 . . . . . 6  |-  U. U. ( F `  m )  e.  _V
120 fvex 5743 . . . . . 6  |-  ( g `
 m )  e. 
_V
121119, 120ifex 3798 . . . . 5  |-  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  e.  _V
122121rgenw 2774 . . . 4  |-  A. m  e.  A  if ( U. ( F `  m
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) )  e.  _V
123 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )
124123fnmpt 5572 . . . 4  |-  ( A. m  e.  A  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  e.  _V  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  Fn  A )
125122, 124mp1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A )
12666breq1d 4223 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( U. ( F `  n
)  ~~  1o  <->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
127126notbid 287 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  U. ( F `  n )  ~~  1o  <->  -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
128127ralrab 3097 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  (
g `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  A. k  e.  A  ( -.  U. ( F `  k
)  ~~  1o  ->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
129 iftrue 3746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  =  U. U. ( F `  k
) )
130129ad2antll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  =  U. U. ( F `  k
) )
131106adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  E. y  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
13212adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
133 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
134 en1b 7176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. ( F `  k ) 
~~  1o  <->  U. ( F `  k )  =  { U. U. ( F `  k ) } )
135133, 134sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. ( F `  k
)  =  { U. U. ( F `  k
) } )
136132, 135eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  { U. U. ( F `  k
) } )
137 elsni 3839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { U. U. ( F `  k ) }  ->  y  =  U. U. ( F `  k ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  =  U. U. ( F `  k ) )
139 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
140138, 139eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
141131, 140exlimddv 1649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
142141adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
143130, 142eqeltrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
144143a1d 24 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  (
( -.  U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
145144expr 600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `
 k )  ~~  1o  ->  ( ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( g `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `  k ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  k
) ,  ( g `
 k ) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
146 pm2.27 38 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  -> 
( g `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
147 iffalse 3747 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  =  ( g `  k
) )
148147eleq1d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( if ( U. ( F `  k ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  k
) ,  ( g `
 k ) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  <->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
149146, 148sylibrd 227 . . . . . . 7  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
150145, 149pm2.61d1 154 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
151150ralimdva 2785 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  -> 
( A. k  e.  A  ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
152128, 151syl5bi 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  -> 
( A. k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
153152impr 604 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )
154 fneq1 5535 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( f  Fn  A  <->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A ) )
155 fveq1 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( f `  k )  =  ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) ) `
 k ) )
156 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
157156unieqd 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  U. ( F `  m )  =  U. ( F `  k ) )
158157breq1d 4223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  ( U. ( F `  m
)  ~~  1o  <->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
159157unieqd 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  U. U. ( F `  m )  =  U. U. ( F `  k )
)
160 fveq2 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
g `  m )  =  ( g `  k ) )
161158, 159, 160ifbieq12d 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  =  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) ) )
162 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
163162uniex 4706 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
164163uniex 4706 . . . . . . . . . . 11  |-  U. U. ( F `  k )  e.  _V
165 fvex 5743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 k )  e. 
_V
166164, 165ifex 3798 . . . . . . . . . 10  |-  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  _V
167161, 123, 166fvmpt 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  (
( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) ) `
 k )  =  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) ) )
168155, 167sylan9eq 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( f `  k
)  =  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) ) )
169168eleq1d 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  <->  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
170169ralbidva 2722 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
171154, 170anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  <-> 
( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
172171spcegv 3038 . . . 4  |-  ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V  ->  (
( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
1731723impib 1152 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V  /\  (
m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
174116, 125, 153, 173syl3anc 1185 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
175113, 174exlimddv 1649 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423   A.wral 2706   E.wrex 2707   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ifcif 3740   ~Pcpw 3800   {csn 3815   U.cuni 4016   U_ciun 4094   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   ran crn 4880   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455    e. cmpt2 6084   1oc1o 6718   X_cixp 7064    ~~ cen 7107   Fincfn 7110   cardccrd 7823   Compccmp 17450  UFLcufl 17933
This theorem is referenced by:  ptcmplem4  18087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-wdom 7528  df-card 7827  df-acn 7830  df-cmp 17451
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