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Theorem ptcmplem3 17764
 Description: Lemma for ptcmp 17768. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1
ptcmp.2
ptcmp.3
ptcmp.4
ptcmp.5 UFL
ptcmplem2.5
ptcmplem2.6
ptcmplem2.7
ptcmplem3.8
Assertion
Ref Expression
ptcmplem3
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem ptcmplem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . 4
2 rabexg 4180 . . . 4
31, 2syl 15 . . 3
4 ptcmp.1 . . . . 5
5 ptcmp.2 . . . . 5
6 ptcmp.4 . . . . 5
7 ptcmp.5 . . . . 5 UFL
8 ptcmplem2.5 . . . . 5
9 ptcmplem2.6 . . . . 5
10 ptcmplem2.7 . . . . 5
114, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ptcmplem2 17763 . . . 4
12 eldifi 3311 . . . . . . . 8
13123ad2ant3 978 . . . . . . 7
1413rabssdv 3266 . . . . . 6
1514ralrimivw 2640 . . . . 5
16 ss2iun 3936 . . . . 5
1715, 16syl 15 . . . 4
18 ssnum 7682 . . . 4
1911, 17, 18syl2anc 642 . . 3
20 ssrab2 3271 . . . . . 6
2120sseli 3189 . . . . 5
2210adantr 451 . . . . . . . 8
23 ssdif0 3526 . . . . . . . . 9
24 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
256, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
2625adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
27 ptcmplem3.8 . . . . . . . . . . . . . 14
28 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . 13
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
31 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
32 uniss 3864 . . . . . . . . . . . . . 14
3329, 32mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 33eqssd 3209 . . . . . . . . . . . 12
35 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
3635cmpcov 17132 . . . . . . . . . . . 12
3726, 30, 34, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
38 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3938simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4443, 27elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4544simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4641, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4846, 47fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5048, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
5138simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5347rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 abrexfi 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5553, 54syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5652, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . . . . 15
5850, 56, 57sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14
59 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6261, 5syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
63 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6463elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6564simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6662, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
68 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6968unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7067, 69eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7170rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7260, 66, 71sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
73 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7472, 73eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75 eluni2 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7674, 75sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7877eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8079mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8178, 80elrab2 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8281baib 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8382ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8483rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8576, 84mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
86 eliun 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8785, 86sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988ssrdv 3198 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9046ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 dfiun2g 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9353unieqi 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9492, 93syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9589, 94sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 uniss 3864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9750, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
989ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9997, 98sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15
10095, 99eqssd 3209 . . . . . . . . . . . . . 14
101 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . 14
10458, 100, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
105104expr 598 . . . . . . . . . . . 12
106105rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . 11
10737, 106mpd 14 . . . . . . . . . 10
108107ex 423 . . . . . . . . 9
10923, 108syl5bir 209 . . . . . . . 8
11022, 109mtod 168 . . . . . . 7
111 neq0 3478 . . . . . . 7
112110, 111sylib 188 . . . . . 6
113 rexv 2815 . . . . . 6
114112, 113sylibr 203 . . . . 5
11521, 114sylan2 460 . . . 4
116115ralrimiva 2639 . . 3
117 eleq1 2356 . . . 4
118117ac6num 8122 . . 3
1193, 19, 116, 118syl3anc 1182 . 2
1201adantr 451 . . . . . 6
121 mptexg 5761 . . . . . 6
122120, 121syl 15 . . . . 5
123 fvex 5555 . . . . . . . . . 10
124123uniex 4532 . . . . . . . . 9
125124uniex 4532 . . . . . . . 8
126 fvex 5555 . . . . . . . 8
127125, 126ifex 3636 . . . . . . 7
128127rgenw 2623 . . . . . 6
129 eqid 2296 . . . . . . 7
130129fnmpt 5386 . . . . . 6
131128, 130mp1i 11 . . . . 5
13269breq1d 4049 . . . . . . . . 9
133132notbid 285 . . . . . . . 8
134133ralrab 2940 . . . . . . 7
135 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13
136135ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12
137112adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14
13812adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140 en1b 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141139, 140sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142138, 141eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143 elsni 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146144, 145eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147146ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14
149137, 148mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13
150149adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12
151136, 150eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11
152151a1d 22 . . . . . . . . . 10
153152expr 598 . . . . . . . . 9
154 pm2.27 35 . . . . . . . . . 10
155 iffalse 3585 . . . . . . . . . . 11
156155eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10
157154, 156sylibrd 225 . . . . . . . . 9
158153, 157pm2.61d1 151 . . . . . . . 8
159158ralimdva 2634 . . . . . . 7
160134, 159syl5bi 208 . . . . . 6
161160impr 602 . . . . 5
162 fneq1 5349 . . . . . . . 8
163 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11
164 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
165164unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . 14
166165breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13
167165unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . 13
168 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
169166, 167, 168ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . . . 12
170 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15
171170uniex 4532 . . . . . . . . . . . . . 14
172171uniex 4532 . . . . . . . . . . . . 13
173 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13
174172, 173ifex 3636 . . . . . . . . . . . 12
175169, 129, 174fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
176163, 175sylan9eq 2348 . . . . . . . . . 10
177176eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
178177ralbidva 2572 . . . . . . . 8
179162, 178anbi12d 691 . . . . . . 7
180179spcegv 2882 . . . . . 6
1811803impib 1149 . . . . 5
182122, 131, 161, 181syl3anc 1182 . . . 4
183182ex 423 . . 3
184183exlimdv 1626 . 2
185119, 184mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cif 3578  cpw 3638  csn 3653  cuni 3843  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271   cmpt2 5876  c1o 6488  cixp 6833   cen 6876  cfn 6879  ccrd 7584  ccmp 17129  UFLcufl 17611 This theorem is referenced by:  ptcmplem4  17765 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-wdom 7289  df-card 7588  df-acn 7591  df-cmp 17130
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