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Theorem ptcmplem3 17748
Description: Lemma for ptcmp 17752. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
ptcmplem2.5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
ptcmplem2.6  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
ptcmplem2.7  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
ptcmplem3.8  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
Assertion
Ref Expression
ptcmplem3  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, n, u, w, z, A   
f, K, u    S, k, n, u, z    ph, f,
k, n, u    U, k, u, z    k, V, n, u, w, z   
f, F, k, n, u, w, z    f, X, k, n, u, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    S( w, f)    U( w, f, n)    K( z, w, k, n)    V( f)

Proof of Theorem ptcmplem3
Dummy variables  g  m  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 rabexg 4164 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  e.  _V )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V )
4 ptcmp.1 . . . . 5  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
5 ptcmp.2 . . . . 5  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
6 ptcmp.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
7 ptcmp.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
8 ptcmplem2.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
9 ptcmplem2.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
10 ptcmplem2.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
114, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ptcmplem2 17747 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card )
12 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
13123ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  _V  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
1413rabssdv 3253 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U. ( F `  k )
)
1514ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U. ( F `  k )
)
16 ss2iun 3920 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  {
y  e.  _V  | 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) } 
C_  U. ( F `  k )  ->  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  { y  e. 
_V  |  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) }  C_  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } U. ( F `  k ) )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k ) )
18 ssnum 7666 . . . 4  |-  ( (
U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } U. ( F `  k )  e.  dom  card  /\  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  C_  U_ k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } U. ( F `
 k ) )  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  e.  dom  card )
1911, 17, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o }  { y  e.  _V  |  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) }  e.  dom  card )
20 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  C_  A
2120sseli 3176 . . . . 5  |-  ( k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o }  ->  k  e.  A )
2210adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
23 ssdif0 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( F `  k ) 
C_  U. K  <->  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  =  (/) )
24 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> Comp  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Comp )
256, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Comp )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  -> 
( F `  k
)  e.  Comp )
27 ptcmplem3.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
28 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  U }  C_  ( F `  k
)
2927, 28eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  C_  ( F `  k )
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  K  C_  ( F `  k ) )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. ( F `  k
)  C_  U. K )
32 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K 
C_  ( F `  k )  ->  U. K  C_ 
U. ( F `  k ) )
3329, 32mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. K  C_  U. ( F `  k )
)
3431, 33eqssd 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
3635cmpcov 17116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Comp  /\  K  C_  ( F `  k
)  /\  U. ( F `  k )  =  U. K )  ->  E. t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) U. ( F `  k
)  =  U. t
)
3726, 30, 34, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  E. t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) U. ( F `  k
)  =  U. t
)
38 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  <->  ( t  C_  K  /\  t  e. 
Fin ) )
3938simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  ->  t  C_  K )
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  t  C_  K
)
4140sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  x  e.  t )  ->  x  e.  K )
42 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  =  x  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )
4342eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  x  ->  (
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  U  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  e.  U ) )
4443, 27elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  K  <->  ( x  e.  ( F `  k
)  /\  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  e.  U ) )
4544simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  K  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  e.  U
)
4641, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  x  e.  t )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  e.  U )
47 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  =  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )
4846, 47fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) ) : t --> U )
49 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) : t --> U  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  U
)
5138simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  ->  t  e.  Fin )
5251ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  t  e.  Fin )
5347rnmpt 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) )  =  { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) }
54 abrexfi 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  Fin  ->  { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) }  e.  Fin )
5553, 54syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  Fin )
5652, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  e.  Fin )
57 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U  /\  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  e.  Fin ) )
5850, 56, 57sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
59 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  -> 
k  e.  A )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  k  e.  A )
61 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X )
6261, 5syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )
)
63 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  f  e. 
_V
6463elixp 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
6564simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
6662, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )
)
67 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
68 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
6968unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
7067, 69eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  <->  ( f `  k )  e.  U. ( F `
 k ) ) )
7170rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  ->  ( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
) )
7260, 66, 71sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
73 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  U. ( F `  k )  =  U. t )
7472, 73eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( f `  k
)  e.  U. t
)
75 eluni2 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  k )  e.  U. t  <->  E. x  e.  t  ( f `  k )  e.  x
)
7674, 75sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  E. x  e.  t  ( f `  k
)  e.  x )
77 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
7877eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  f  ->  (
( w `  k
)  e.  x  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
79 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
8079mptpreima 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  x }
8178, 80elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  <-> 
( f  e.  X  /\  ( f `  k
)  e.  x ) )
8281baib 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  X  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
8382ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `
 k )  = 
U. t ) )  /\  f  e.  X
)  /\  x  e.  t )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
)  <->  ( f `  k )  e.  x
) )
8483rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  ( E. x  e.  t  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  <->  E. x  e.  t  ( f `  k )  e.  x
) )
8576, 84mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  E. x  e.  t  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
86 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x )  <->  E. x  e.  t 
f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8785, 86sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `
 k )  C_  U. K )  /\  (
t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  /\  f  e.  X )  ->  f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
8887ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  ( f  e.  X  ->  f  e.  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) )
8988ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  C_  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )
9046ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  A. x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  e.  U )
91 dfiun2g 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x )  e.  U  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) } )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) } )
9353unieqi 3837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) )  =  U. { f  |  E. x  e.  t  f  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) }
9492, 93syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U_ x  e.  t  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x )  = 
U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) ) )
9589, 94sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  C_  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )
96 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U  ->  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) 
C_  U. U )
9750, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  U. U
)
989ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  =  U. U )
9997, 98sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  C_  X
)
10095, 99eqssd 3196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  X  =  U. ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )
101 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  ->  U. z  =  U. ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) ) )
102101eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " x
) )  ->  ( X  =  U. z  <->  X  =  U. ran  (
x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
x ) ) ) )
103102rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( x  e.  t  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " x ) )  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  X  =  U. ran  ( x  e.  t 
|->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" x ) ) )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
10458, 100, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  ( t  e.  ( ~P K  i^i  Fin )  /\  U. ( F `  k )  =  U. t ) )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
105104expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k )  C_  U. K
)  /\  t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) )  ->  ( U. ( F `  k
)  =  U. t  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
106105rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  -> 
( E. t  e.  ( ~P K  i^i  Fin ) U. ( F `
 k )  = 
U. t  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
10737, 106mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  U. ( F `  k ) 
C_  U. K )  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
108107ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `  k
)  C_  U. K  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z
) )
10923, 108syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( U. ( F `
 k )  \  U. K )  =  (/)  ->  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
11022, 109mtod 168 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  =  (/) )
111 neq0 3465 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  =  (/)  <->  E. y  y  e.  ( U. ( F `  k
)  \  U. K ) )
112110, 111sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. y 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
113 rexv 2802 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  E. y 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
114112, 113sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
11521, 114sylan2 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } )  ->  E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
116115ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n )  ~~  1o } E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
117 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( y  =  ( g `  k )  ->  (
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  <->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
118117ac6num 8106 . . 3  |-  ( ( { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  e.  _V  /\  U_ k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  {
y  e.  _V  | 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) }  e.  dom  card  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } E. y  e.  _V  y  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  E. g ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
1193, 19, 116, 118syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n ) 
~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  (
g `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
1201adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A  e.  V
)
121 mptexg 5745 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V )
122120, 121syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  e.  _V )
123 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
124123uniex 4516 . . . . . . . . 9  |-  U. ( F `  m )  e.  _V
125124uniex 4516 . . . . . . . 8  |-  U. U. ( F `  m )  e.  _V
126 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( g `
 m )  e. 
_V
127125, 126ifex 3623 . . . . . . 7  |-  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  e.  _V
128127rgenw 2610 . . . . . 6  |-  A. m  e.  A  if ( U. ( F `  m
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) )  e.  _V
129 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )
130129fnmpt 5370 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  A  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  e.  _V  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  Fn  A )
131128, 130mp1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A )
13269breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( U. ( F `  n
)  ~~  1o  <->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
133132notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( -.  U. ( F `  n )  ~~  1o  <->  -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
134133ralrab 2927 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  (
g `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  A. k  e.  A  ( -.  U. ( F `  k
)  ~~  1o  ->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
135 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  =  U. U. ( F `  k
) )
136135ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  =  U. U. ( F `  k
) )
137112adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  E. y  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
13812adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  U. ( F `  k )
)
139 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
140 en1b 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U. ( F `  k ) 
~~  1o  <->  U. ( F `  k )  =  { U. U. ( F `  k ) } )
141139, 140sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. ( F `  k
)  =  { U. U. ( F `  k
) } )
142138, 141eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  { U. U. ( F `  k
) } )
143 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { U. U. ( F `  k ) }  ->  y  =  U. U. ( F `  k ) )
144142, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  =  U. U. ( F `  k ) )
145 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  -> 
y  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )
146144, 145eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  A  /\  U. ( F `  k
)  ~~  1o )
)  /\  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
147146ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  -> 
( y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
148147exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  -> 
( E. y  y  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
149137, 148mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
150149adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  U. U. ( F `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
151136, 150eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )
152151a1d 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  ( k  e.  A  /\  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )  ->  (
( -.  U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
153152expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  k  e.  A )  ->  ( U. ( F `
 k )  ~~  1o  ->  ( ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( g `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `  k ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  k
) ,  ( g `
 k ) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
154 pm2.27 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  -> 
( g `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
155 iffalse 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  =  ( g `  k
) )
156155eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( if ( U. ( F `  k ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  k
) ,  ( g `
 k ) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  <->  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
157154, 156sylibrd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. ( F `  k )  ~~  1o  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
158153, 157pm2.61d1 151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
159158ralimdva 2621 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  -> 
( A. k  e.  A  ( -.  U. ( F `  k ) 
~~  1o  ->  ( g `
 k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
160134, 159syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V )  -> 
( A. k  e. 
{ n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
161160impr 602 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )
162 fneq1 5333 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( f  Fn  A  <->  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A ) )
163 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( f `  k )  =  ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) ) `
 k ) )
164 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
165164unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  U. ( F `  m )  =  U. ( F `  k ) )
166165breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  ( U. ( F `  m
)  ~~  1o  <->  U. ( F `  k )  ~~  1o ) )
167165unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  U. U. ( F `  m )  =  U. U. ( F `  k )
)
168 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
g `  m )  =  ( g `  k ) )
169166, 167, 168ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) )  =  if ( U. ( F `
 k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) ) )
170 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
171170uniex 4516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( F `  k )  e.  _V
172171uniex 4516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. U. ( F `  k )  e.  _V
173 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g `
 k )  e. 
_V
174172, 173ifex 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  _V
175169, 129, 174fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) ) `
 k )  =  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) ) )
176163, 175sylan9eq 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( f `  k
)  =  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) ) )
177176eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 m ) ,  ( g `  m
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  <->  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
178177ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  <->  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k
)  ~~  1o ,  U. U. ( F `  k ) ,  ( g `  k ) )  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )
179162, 178anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  ->  ( (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  <-> 
( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
180179spcegv 2869 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V  ->  (
( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m ) 
~~  1o ,  U. U. ( F `  m
) ,  ( g `
 m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
1811803impib 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( m  e.  A  |->  if ( U. ( F `  m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  e.  _V  /\  (
m  e.  A  |->  if ( U. ( F `
 m )  ~~  1o ,  U. U. ( F `  m ) ,  ( g `  m ) ) )  Fn  A  /\  A. k  e.  A  if ( U. ( F `  k )  ~~  1o ,  U. U. ( F `
 k ) ,  ( g `  k
) )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
182122, 131, 161, 181syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
183182ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `
 n )  ~~  1o }  ( g `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
184183exlimdv 1664 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o } --> _V  /\  A. k  e.  { n  e.  A  |  -.  U. ( F `  n
)  ~~  1o }  (
g `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) )  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) ) )
185119, 184mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   X_cixp 6817    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   cardccrd 7568   Compccmp 17113  UFLcufl 17595
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-wdom 7273  df-card 7572  df-acn 7575  df-cmp 17114
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