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Theorem ptcmplem4 17749
Description: Lemma for ptcmp 17752. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
ptcmplem2.5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
ptcmplem2.6  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
ptcmplem2.7  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
ptcmplem3.8  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
Assertion
Ref Expression
ptcmplem4  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    k, n, u, w, z, A    u, K    S, k, n, u, z    ph, k, n, u    U, k, u, z    k, V, n, u, w, z   
k, F, n, u, w, z    k, X, n, u, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    S( w)    U( w, n)    K( z, w, k, n)

Proof of Theorem ptcmplem4
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.1 . . 3  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
2 ptcmp.2 . . 3  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
3 ptcmp.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 ptcmp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
5 ptcmp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
6 ptcmplem2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
7 ptcmplem2.6 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
8 ptcmplem2.7 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
9 ptcmplem3.8 . . 3  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ptcmplem3 17748 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
11 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  Fn  A
)
12 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  -> 
( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
1312ralimi 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
1615unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
1714, 16eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  <->  ( f `  k )  e.  U. ( F `
 k ) ) )
1817cbvralv 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  A  (
f `  n )  e.  U. ( F `  n )  <->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
1913, 18sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
2019ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )
)
21 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
2221elixp 6823 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
2311, 20, 22sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n ) )
2423, 2syl6eleqr 2374 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  X
)
257adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  X  =  U. U )
2624, 25eleqtrd 2359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  U. U )
27 eluni2 3831 . . . . . 6  |-  ( f  e.  U. U  <->  E. v  e.  U  f  e.  v )
2826, 27sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. v  e.  U  f  e.  v )
29 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  f  e.  v )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  f  e.  v )
31 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
3230, 31eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
33 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
3433eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  f  ->  (
( w `  k
)  e.  u  <->  ( f `  k )  e.  u
) )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
3635mptpreima 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }
3734, 36elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  <-> 
( f  e.  X  /\  ( f `  k
)  e.  u ) )
3837simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( f `  k )  e.  u
)
3932, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  (
f `  k )  e.  u )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
41 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  v  e.  U )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  v  e.  U )
4331, 42eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  U
)
44 rabid 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  U }  <->  ( u  e.  ( F `
 k )  /\  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  U
) )
4540, 43, 44sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U } )
4645, 9syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  K )
47 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f `  k
)  e.  u  /\  u  e.  K )  ->  ( f `  k
)  e.  U. K
)
4839, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  (
f `  k )  e.  U. K )
4948expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  u  e.  ( F `  k
) )  ->  (
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  ( f `  k )  e.  U. K ) )
5049rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) )
5150expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  -> 
( E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  ->  (
f `  k )  e.  U. K ) ) )
5251ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  (
v  e.  U  /\  f  e.  v )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) )
5352ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  A )  ->  (
( v  e.  U  /\  f  e.  v
)  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) ) )
5453com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  A )  ->  ( A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  -> 
( ( v  e.  U  /\  f  e.  v )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) ) )
5554impr 602 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( ( v  e.  U  /\  f  e.  v )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) )
5655imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  ( f `  k )  e.  U. K ) )
576adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  U  C_  ran  S )
5857sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  ran  S )
5958adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  -> 
v  e.  ran  S
)
601rnmpt2 5954 . . . . . . . . . 10  |-  ran  S  =  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) }
6159, 60syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  -> 
v  e.  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) } )
62 abid 2271 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) }  <->  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
6361, 62sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
64 rexim 2647 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  ( f `  k )  e.  U. K )  ->  ( E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  E. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. K ) )
6556, 63, 64sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
6665expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  v  e.  U )  ->  (
f  e.  v  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
) )
6766rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( E. v  e.  U  f  e.  v  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
) )
6828, 67mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
69 eldifn 3299 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  -.  ( f `  k
)  e.  U. K
)
7069ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  -.  (
f `  k )  e.  U. K )
7170ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. k  e.  A  -.  ( f `  k
)  e.  U. K
)
72 ralnex 2553 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  A  -.  ( f `  k
)  e.  U. K  <->  -. 
E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
7371, 72sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  -.  E. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. K )
7468, 73pm2.65da 559 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
7574nexdv 1857 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
7610, 75pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255    e. cmpt2 5860   X_cixp 6817   Fincfn 6863   cardccrd 7568   Compccmp 17113  UFLcufl 17595
This theorem is referenced by:  ptcmplem5  17750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-wdom 7273  df-card 7572  df-acn 7575  df-cmp 17114
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