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Theorem ptcmplem4 18091
Description: Lemma for ptcmp 18094. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
ptcmplem2.5  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
ptcmplem2.6  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
ptcmplem2.7  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
ptcmplem3.8  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
Assertion
Ref Expression
ptcmplem4  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    k, n, u, w, z, A    u, K    S, k, n, u, z    ph, k, n, u    U, k, u, z    k, V, n, u, w, z   
k, F, n, u, w, z    k, X, n, u, w, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    S( w)    U( w, n)    K( z, w, k, n)

Proof of Theorem ptcmplem4
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcmp.1 . . 3  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
2 ptcmp.2 . . 3  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
3 ptcmp.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 ptcmp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
5 ptcmp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
6 ptcmplem2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ran  S )
7 ptcmplem2.6 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
8 ptcmplem2.7 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  =  U. z )
9 ptcmplem3.8 . . 3  |-  K  =  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U }
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ptcmplem3 18090 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K ) ) )
11 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  Fn  A
)
12 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  -> 
( f `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
1312ralimi 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
14 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
15 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
1615unieqd 4028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
1714, 16eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )  <->  ( f `  k )  e.  U. ( F `
 k ) ) )
1817cbvralv 2934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  A  (
f `  n )  e.  U. ( F `  n )  <->  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
1913, 18sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) )
2019ad2antll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. n  e.  A  ( f `  n
)  e.  U. ( F `  n )
)
21 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
2221elixp 7072 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  <->  ( f  Fn  A  /\  A. n  e.  A  ( f `  n )  e.  U. ( F `  n ) ) )
2311, 20, 22sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n ) )
2423, 2syl6eleqr 2529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  X
)
257adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  X  =  U. U )
2624, 25eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  f  e.  U. U )
27 eluni2 4021 . . . . . 6  |-  ( f  e.  U. U  <->  E. v  e.  U  f  e.  v )
2826, 27sylib 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. v  e.  U  f  e.  v )
29 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  f  e.  v )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  f  e.  v )
31 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
3230, 31eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
33 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
3433eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  f  ->  (
( w `  k
)  e.  u  <->  ( f `  k )  e.  u
) )
35 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) )
3635mptpreima 5366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  X  |  (
w `  k )  e.  u }
3734, 36elrab2 3096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  <-> 
( f  e.  X  /\  ( f `  k
)  e.  u ) )
3837simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( f `  k )  e.  u
)
3932, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  (
f `  k )  e.  u )
40 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
41 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  v  e.  U )
4241adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  v  e.  U )
4331, 42eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  U
)
44 rabid 2886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  U }  <->  ( u  e.  ( F `
 k )  /\  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  U
) )
4540, 43, 44sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  { u  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  U } )
4645, 9syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  u  e.  K )
47 elunii 4022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  k
)  e.  u  /\  u  e.  K )  ->  ( f `  k
)  e.  U. K
)
4839, 46, 47syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  /\  ( k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  /\  ( u  e.  ( F `  k )  /\  v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )  ->  (
f `  k )  e.  U. K )
4948rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  (
k  e.  A  /\  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) )
5049expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v
) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  -> 
( E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u )  ->  (
f `  k )  e.  U. K ) ) )
5150ralimdva 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  A )  /\  (
v  e.  U  /\  f  e.  v )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) )
5251ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  A )  ->  (
( v  e.  U  /\  f  e.  v
)  ->  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) ) )
5352com23 75 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  A )  ->  ( A. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  ( U. ( F `  k ) 
\  U. K )  -> 
( ( v  e.  U  /\  f  e.  v )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) ) )
5453impr 604 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  ( ( v  e.  U  /\  f  e.  v )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( f `  k
)  e.  U. K
) ) )
5554imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  ( f `  k )  e.  U. K ) )
566adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  U  C_  ran  S )
5756sselda 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  ran  S )
5857adantrr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  -> 
v  e.  ran  S
)
591rnmpt2 6183 . . . . . . . 8  |-  ran  S  =  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k ) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) }
6058, 59syl6eleq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  -> 
v  e.  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) } )
61 abid 2426 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { v  |  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) }  <->  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
6260, 61sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
63 rexim 2812 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  ( E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  ( f `  k )  e.  U. K )  ->  ( E. k  e.  A  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  E. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. K ) )
6455, 62, 63sylc 59 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  /\  ( v  e.  U  /\  f  e.  v ) )  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
6528, 64rexlimddv 2836 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
66 eldifn 3472 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K )  ->  -.  ( f `  k
)  e.  U. K
)
6766ralimi 2783 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  (
f `  k )  e.  ( U. ( F `
 k )  \  U. K )  ->  A. k  e.  A  -.  (
f `  k )  e.  U. K )
6867ad2antll 711 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  A. k  e.  A  -.  ( f `  k
)  e.  U. K
)
69 ralnex 2717 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  A  -.  ( f `  k
)  e.  U. K  <->  -. 
E. k  e.  A  ( f `  k
)  e.  U. K
)
7068, 69sylib 190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )  ->  -.  E. k  e.  A  ( f `  k )  e.  U. K )
7165, 70pm2.65da 561 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
7271nexdv 1942 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. f ( f  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( f `  k )  e.  ( U. ( F `  k )  \  U. K ) ) )
7310, 72pm2.65i 168 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457    e. cmpt2 6086   X_cixp 7066   Fincfn 7112   cardccrd 7827   Compccmp 17454  UFLcufl 17937
This theorem is referenced by:  ptcmplem5  18092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116  df-wdom 7530  df-card 7831  df-acn 7834  df-cmp 17455
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