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Theorem ptcmplem5 18092
Description: Lemma for ptcmp 18094. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem5
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3563 . . 3  |-  (UFL  i^i  dom 
card )  C_ UFL
2 ptcmp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
31, 2sseldi 3348 . 2  |-  ( ph  ->  X  e. UFL )
4 ptcmp.1 . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
5 ptcmp.2 . . . 4  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
6 ptcmp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 ptcmp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
84, 5, 6, 7, 2ptcmplem1 18088 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
98simpld 447 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
108simprd 451 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
11 elpwi 3809 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P ran  S  ->  y  C_  ran  S )
126ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  A  e.  V )
137ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  F : A
--> Comp )
142ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )
15 simplrl 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  y  C_  ran  S )
16 simplrr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  =  U. y )
17 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
18 imaeq2 5202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
1918eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  (
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" z )  e.  y  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  y ) )
2019cbvrabv 2957 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  e.  y }  =  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  y }
214, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20ptcmplem4 18091 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
22 iman 415 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  <->  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) )
2321, 22mpbir 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_ 
ran  S  /\  X  = 
U. y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )
2423expr 600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2511, 24sylan2 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ran  S )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2625adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  y  e.  ~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
27 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2827elpw 3807 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( ran 
S  u.  { X } )  <->  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )
29 eldif 3332 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  <->  ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )
)
30 elpwunsn 4760 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3129, 30sylbir 206 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3228, 31sylanbr 461 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  ( ran  S  u.  { X }
)  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3332adantll 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  X  e.  y )
34 snssi 3944 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  { X }  C_  y )
3534adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  C_  y )
36 snfi 7190 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  Fin
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  Fin )
38 elfpw 7411 . . . . . . . 8  |-  ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { X }  C_  y  /\  { X }  e.  Fin )
)
3935, 37, 38sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
40 unisng 4034 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  U. { X }  =  X
)
4140eqcomd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  y  ->  X  =  U. { X }
)
4241adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  X  =  U. { X } )
43 unieq 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { X }  ->  U. z  =  U. { X } )
4443eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { X }  ->  ( X  =  U. z 
<->  X  =  U. { X } ) )
4544rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  X  =  U. { X } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
4639, 42, 45syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
4746a1d 24 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) )
4833, 47syldan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
4926, 48pm2.61dan 768 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
5049impr 604 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  ( ran  S  u.  { X } )  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
513, 9, 10, 50alexsub 18081 1  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457    e. cmpt2 6086   X_cixp 7066   Fincfn 7112   ficfi 7418   cardccrd 7827   topGenctg 13670   Xt_cpt 13671   Compccmp 17454  UFLcufl 17937
This theorem is referenced by:  ptcmpg  18093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-wdom 7530  df-card 7831  df-acn 7834  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cmp 17455  df-fil 17883  df-ufil 17938  df-ufl 17939  df-flim 17976  df-fcls 17978
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