MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmplem5 Unicode version

Theorem ptcmplem5 18044
Description: Lemma for ptcmp 18046. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcmp.1  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
ptcmp.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
ptcmp.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptcmp.4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
ptcmp.5  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
Assertion
Ref Expression
ptcmplem5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Distinct variable groups:    k, n, u, w, A    S, k, n, u    ph, k, n, u    k, V, n, u, w    k, F, n, u, w    k, X, n, u, w
Allowed substitution hints:    ph( w)    S( w)

Proof of Theorem ptcmplem5
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3525 . . 3  |-  (UFL  i^i  dom 
card )  C_ UFL
2 ptcmp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom 
card ) )
31, 2sseldi 3310 . 2  |-  ( ph  ->  X  e. UFL )
4 ptcmp.1 . . . 4  |-  S  =  ( k  e.  A ,  u  e.  ( F `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
5 ptcmp.2 . . . 4  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
6 ptcmp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 ptcmp.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> Comp )
84, 5, 6, 7, 2ptcmplem1 18040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  U. ( ran  S  u.  { X } )  /\  ( Xt_ `  F )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) ) )
98simpld 446 . 2  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( ran  S  u.  { X } ) )
108simprd 450 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( ran  S  u.  { X } ) ) ) )
11 elpwi 3771 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P ran  S  ->  y  C_  ran  S )
126ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  A  e.  V )
137ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  F : A
--> Comp )
142ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  e.  (UFL  i^i  dom  card ) )
15 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  y  C_  ran  S )
16 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  X  =  U. y )
17 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)  ->  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
18 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  =  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
1918eleq1d 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  (
( `' ( w  e.  X  |->  ( w `
 k ) )
" z )  e.  y  <->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) " u )  e.  y ) )
2019cbvrabv 2919 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  ( F `  k )  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k ) ) "
z )  e.  y }  =  { u  e.  ( F `  k
)  |  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  y }
214, 5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20ptcmplem4 18043 . . . . . . . 8  |-  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
22 iman 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )  <->  -.  (
( ph  /\  (
y  C_  ran  S  /\  X  =  U. y
) )  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
) )
2321, 22mpbir 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_ 
ran  S  /\  X  = 
U. y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z )
2423expr 599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2511, 24sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ~P ran  S )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
2625adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  y  e.  ~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
27 vex 2923 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2827elpw 3769 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ( ran 
S  u.  { X } )  <->  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )
29 eldif 3294 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  <->  ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )
)
30 elpwunsn 4720 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P ( ran  S  u.  { X } )  \  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3129, 30sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~P ( ran  S  u.  { X } )  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3228, 31sylanbr 460 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  ( ran  S  u.  { X }
)  /\  -.  y  e.  ~P ran  S )  ->  X  e.  y )
3332adantll 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  X  e.  y )
34 snssi 3906 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  { X }  C_  y )
3534adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  C_  y )
36 snfi 7150 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  Fin
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  Fin )
38 elfpw 7370 . . . . . . . 8  |-  ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { X }  C_  y  /\  { X }  e.  Fin )
)
3935, 37, 38sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
40 unisng 3996 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  y  ->  U. { X }  =  X
)
4140eqcomd 2413 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  y  ->  X  =  U. { X }
)
4241adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  X  =  U. { X } )
43 unieq 3988 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { X }  ->  U. z  =  U. { X } )
4443eqeq2d 2419 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { X }  ->  ( X  =  U. z 
<->  X  =  U. { X } ) )
4544rspcev 3016 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  X  =  U. { X } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z
)
4639, 42, 45syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
4746a1d 23 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  X  e.  y )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z ) )
4833, 47syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  /\  -.  y  e. 
~P ran  S )  ->  ( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
4926, 48pm2.61dan 767 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  C_  ( ran  S  u.  { X } ) )  -> 
( X  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) X  =  U. z ) )
5049impr 603 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  ( ran  S  u.  { X } )  /\  X  =  U. y
) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) X  = 
U. z )
513, 9, 10, 50alexsub 18033 1  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2671   {crab 2674    \ cdif 3281    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   {csn 3778   U.cuni 3979    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   dom cdm 4841   ran crn 4842   "cima 4844   -->wf 5413   ` cfv 5417    e. cmpt2 6046   X_cixp 7026   Fincfn 7072   ficfi 7377   cardccrd 7782   topGenctg 13624   Xt_cpt 13625   Compccmp 17407  UFLcufl 17889
This theorem is referenced by:  ptcmpg  18045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-wdom 7487  df-card 7786  df-acn 7789  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cmp 17408  df-fil 17835  df-ufil 17890  df-ufl 17891  df-flim 17928  df-fcls 17930
  Copyright terms: Public domain W3C validator