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Theorem ptcn 17337
Description: If every projection of a function is continuous, then the function itself is continuous into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcn.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcn.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcn.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcn.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
ptcn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, I, x    k, J    ph, k, x    k, X, x    x, K    k, V, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    J( x)    K( k)

Proof of Theorem ptcn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcn.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
21adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 ptcn.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
4 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : I --> Top  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
53, 4sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
6 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
76toptopon 16687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
85, 7sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
9 ptcn.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
10 cnf2 16995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
112, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
12 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1312fmpt 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
1411, 13sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
1514r19.21bi 2654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1615an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1716ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k
) )
18 ptcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
20 mptelixpg 6869 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2119, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2217, 21mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
)
23 ptcn.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
2423ptuni 17305 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F : I --> Top )  -> 
X_ k  e.  I  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2518, 3, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  I  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  =  U. K )
2722, 26eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  U. K
)
28 eqid 2296 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
2927, 28fmptd 5700 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K )
301adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3118adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  I  e.  V )
323adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  F : I --> Top )
33 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
349adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
35 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  z  e.  X )
36 toponuni 16681 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
371, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3837ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  X  =  U. J )
3935, 38eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  z  e.  U. J )
40 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4140cncnpi 17023 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  z  e.  U. J )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 z ) )
4234, 39, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 z ) )
4323, 30, 31, 32, 33, 42ptcnp 17332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  z )
)
4443ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  z ) )
45 pttop 17293 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F : I --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
4618, 3, 45syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
4723, 46syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
48 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
4948toptopon 16687 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
5047, 49sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
51 cncnp 17025 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K  /\  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  z ) ) ) )
521, 50, 51syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K  /\  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 z ) ) ) )
5329, 44, 52mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Xt_cpt 13359   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971
This theorem is referenced by:  pt1hmeo  17513  ptunhmeo  17515  symgtgp  17800  prdstmdd  17822  prdstgpd  17823  ptpcon  23779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cnp 16974
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