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Theorem ptcn 17321
Description: If every projection of a function is continuous, then the function itself is continuous into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcn.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcn.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcn.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcn.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
ptcn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, I, x    k, J    ph, k, x    k, X, x    x, K    k, V, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    J( x)    K( k)

Proof of Theorem ptcn
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcn.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
21adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 ptcn.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
4 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : I --> Top  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
53, 4sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
6 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
76toptopon 16671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
85, 7sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
9 ptcn.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
10 cnf2 16979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
112, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
12 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1312fmpt 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
1411, 13sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
1514r19.21bi 2641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1615an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1716ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k
) )
18 ptcn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
20 mptelixpg 6853 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2119, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2217, 21mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
)
23 ptcn.2 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
2423ptuni 17289 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F : I --> Top )  -> 
X_ k  e.  I  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2518, 3, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  I  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  =  U. K )
2722, 26eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  U. K
)
28 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
2927, 28fmptd 5684 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K )
301adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3118adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  I  e.  V )
323adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  F : I --> Top )
33 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
349adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
35 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  z  e.  X )
36 toponuni 16665 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
371, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
3837ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  X  =  U. J )
3935, 38eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  z  e.  U. J )
40 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4140cncnpi 17007 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  z  e.  U. J )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 z ) )
4234, 39, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 z ) )
4323, 30, 31, 32, 33, 42ptcnp 17316 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  z )
)
4443ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  z ) )
45 pttop 17277 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F : I --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
4618, 3, 45syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
4723, 46syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
48 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
4948toptopon 16671 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
5047, 49sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
51 cncnp 17009 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K  /\  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  z ) ) ) )
521, 50, 51syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> U. K  /\  A. z  e.  X  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 z ) ) ) )
5329, 44, 52mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817   Xt_cpt 13343   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  pt1hmeo  17497  ptunhmeo  17499  symgtgp  17784  prdstmdd  17806  prdstgpd  17807  ptpcon  23764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958
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