Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcn Structured version   Unicode version

Theorem ptcn 17651
 Description: If every projection of a function is continuous, then the function itself is continuous into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcn.2
ptcn.3 TopOn
ptcn.4
ptcn.5
ptcn.6
Assertion
Ref Expression
ptcn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ptcn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcn.3 . . . . . . . . . . 11 TopOn
21adantr 452 . . . . . . . . . 10 TopOn
3 ptcn.5 . . . . . . . . . . . 12
43ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11
5 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
65toptopon 16990 . . . . . . . . . . 11 TopOn
74, 6sylib 189 . . . . . . . . . 10 TopOn
8 ptcn.6 . . . . . . . . . 10
9 cnf2 17305 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
102, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
11 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
1211fmpt 5882 . . . . . . . . 9
1310, 12sylibr 204 . . . . . . . 8
1413r19.21bi 2796 . . . . . . 7
1514an32s 780 . . . . . 6
1615ralrimiva 2781 . . . . 5
17 ptcn.4 . . . . . . 7
1817adantr 452 . . . . . 6
19 mptelixpg 7091 . . . . . 6
2018, 19syl 16 . . . . 5
2116, 20mpbird 224 . . . 4
22 ptcn.2 . . . . . . 7
2322ptuni 17618 . . . . . 6
2417, 3, 23syl2anc 643 . . . . 5
2524adantr 452 . . . 4
2621, 25eleqtrd 2511 . . 3
27 eqid 2435 . . 3
2826, 27fmptd 5885 . 2
291adantr 452 . . . 4 TopOn
3017adantr 452 . . . 4
313adantr 452 . . . 4
32 simpr 448 . . . 4
338adantlr 696 . . . . 5
34 simplr 732 . . . . . 6
35 toponuni 16984 . . . . . . . 8 TopOn
361, 35syl 16 . . . . . . 7
3736ad2antrr 707 . . . . . 6
3834, 37eleqtrd 2511 . . . . 5
39 eqid 2435 . . . . . 6
4039cncnpi 17334 . . . . 5
4133, 38, 40syl2anc 643 . . . 4
4222, 29, 30, 31, 32, 41ptcnp 17646 . . 3
4342ralrimiva 2781 . 2
44 pttop 17606 . . . . . 6
4517, 3, 44syl2anc 643 . . . . 5
4622, 45syl5eqel 2519 . . . 4
47 eqid 2435 . . . . 5
4847toptopon 16990 . . . 4 TopOn
4946, 48sylib 189 . . 3 TopOn
50 cncnp 17336 . . 3 TopOn TopOn
511, 49, 50syl2anc 643 . 2
5228, 43, 51mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cuni 4007   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cixp 7055  cpt 13658  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ccnp 17281 This theorem is referenced by:  pt1hmeo  17830  ptunhmeo  17832  symgtgp  18123  prdstmdd  18145  prdstgpd  18146  ptpcon  24912 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-cnp 17284
 Copyright terms: Public domain W3C validator