Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcnp Structured version   Unicode version

Theorem ptcnp 17656
 Description: If every projection of a function is continuous at , then the function itself is continuous at into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2
ptcnp.3 TopOn
ptcnp.4
ptcnp.5
ptcnp.6
ptcnp.7
Assertion
Ref Expression
ptcnp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem ptcnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnp.3 . . . . . . . . . 10 TopOn
21adantr 453 . . . . . . . . 9 TopOn
3 ptcnp.5 . . . . . . . . . . 11
43ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . 10
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
65toptopon 17000 . . . . . . . . . 10 TopOn
74, 6sylib 190 . . . . . . . . 9 TopOn
8 ptcnp.7 . . . . . . . . 9
9 cnpf2 17316 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
102, 7, 8, 9syl3anc 1185 . . . . . . . 8
11 eqid 2438 . . . . . . . . 9
1211fmpt 5892 . . . . . . . 8
1310, 12sylibr 205 . . . . . . 7
1413r19.21bi 2806 . . . . . 6
1514an32s 781 . . . . 5
1615ralrimiva 2791 . . . 4
17 ptcnp.4 . . . . . 6
1817adantr 453 . . . . 5
19 mptelixpg 7101 . . . . 5
2018, 19syl 16 . . . 4
2116, 20mpbird 225 . . 3
22 eqid 2438 . . 3
2321, 22fmptd 5895 . 2
24 df-3an 939 . . . . . . . 8
25 ptcnp.2 . . . . . . . . . . . . 13
26 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . . 13
27 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . 14
28 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30 nfmpt1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3129, 30nfmpt 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3331, 32nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . 15
3528, 34nfan 1847 . . . . . . . . . . . . . 14
3627, 35nfan 1847 . . . . . . . . . . . . 13
37 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13
38 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
39 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4139, 40eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14
4338, 42sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13
44 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14
4544simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13
4644simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14
4740unieqd 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4839, 47eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . 14
5046, 49sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13
51 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . 14
5239cbvixpv 7082 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . 13
5425, 1, 17, 3, 26, 8, 36, 37, 43, 45, 50, 53ptcnplem 17655 . . . . . . . . . . . 12
5554anassrs 631 . . . . . . . . . . 11
5655expr 600 . . . . . . . . . 10
5756rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . 9
5857impr 604 . . . . . . . 8
5924, 58sylan2b 463 . . . . . . 7
60 eleq2 2499 . . . . . . . 8
6152eqeq2i 2448 . . . . . . . . . . . 12
6261biimpi 188 . . . . . . . . . . 11
6362sseq2d 3378 . . . . . . . . . 10
6463anbi2d 686 . . . . . . . . 9
6564rexbidv 2728 . . . . . . . 8
6660, 65imbi12d 313 . . . . . . 7
6759, 66syl5ibrcom 215 . . . . . 6
6867expimpd 588 . . . . 5
6968exlimdv 1647 . . . 4
7069alrimiv 1642 . . 3
71 eqeq1 2444 . . . . . 6
7271anbi2d 686 . . . . 5
7372exbidv 1637 . . . 4
7473ralab 3097 . . 3
7570, 74sylibr 205 . 2
76 ffn 5593 . . . . . 6
773, 76syl 16 . . . . 5
78 eqid 2438 . . . . . 6
7978ptval 17604 . . . . 5
8017, 77, 79syl2anc 644 . . . 4
8125, 80syl5eq 2482 . . 3
823feqmptd 5781 . . . . . 6
8382fveq2d 5734 . . . . 5
8425, 83syl5eq 2482 . . . 4
857ralrimiva 2791 . . . . 5 TopOn
86 eqid 2438 . . . . . 6
8786pttopon 17630 . . . . 5 TopOn TopOn
8817, 85, 87syl2anc 644 . . . 4 TopOn
8984, 88eqeltrd 2512 . . 3 TopOn
901, 81, 89, 26tgcnp 17319 . 2
9123, 75, 90mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  wrex 2708   cdif 3319   wss 3322  cuni 4017   cmpt 4268  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cixp 7065  cfn 7111  ctg 13667  cpt 13668  ctop 16960  TopOnctopon 16961   ccnp 17291 This theorem is referenced by:  ptcn  17661 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-fi 7418  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cnp 17294
 Copyright terms: Public domain W3C validator