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Theorem ptcnp 17332
Description: If every projection of a function is continuous at  D, then the function itself is continuous at  D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcnp.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcnp.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcnp.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcnp.6  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
ptcnp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
Assertion
Ref Expression
ptcnp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D ) )
Distinct variable groups:    x, k, D    k, I, x    k, J    ph, k, x    k, F, x    k, V, x   
k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    J( x)    K( x, k)

Proof of Theorem ptcnp
Dummy variables  f 
g  w  z  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnp.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
21adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 ptcnp.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
4 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : I --> Top  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
53, 4sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
6 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
76toptopon 16687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
85, 7sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
9 ptcnp.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
10 cnpf2 16996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
112, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
12 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1312fmpt 5697 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
1411, 13sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
1514r19.21bi 2654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1615an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
1716ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k
) )
18 ptcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1918adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
20 mptelixpg 6869 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  U. ( F `  k )
) )
2217, 21mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
)
23 eqid 2296 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
2422, 23fmptd 5700 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> X_ k  e.  I  U. ( F `  k
) )
25 df-3an 936 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )
26 ptcnp.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
27 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
28 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )
29 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( w  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)
30 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k X
31 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( k  e.  I  |->  A )
3230, 31nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
33 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k D
3432, 33nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
3534nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)
3629, 35nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )
3728, 36nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I 
\  w ) ( g `  n )  =  U. ( F `
 n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )
38 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
39 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )
40 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
g `  n )  =  ( g `  k ) )
41 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
4240, 41eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( g `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
4342rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  k  e.  I )  ->  ( g `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
4439, 43sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( g `  k )  e.  ( F `  k ) )
45 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )
4645simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  w  e.  Fin )
4745simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )
4841unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  k ) )
4940, 48eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
( g `  n
)  =  U. ( F `  n )  <->  ( g `  k )  =  U. ( F `
 k ) ) )
5049rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )  /\  k  e.  (
I  \  w )
)  ->  ( g `  k )  =  U. ( F `  k ) )
5147, 50sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )  /\  k  e.  ( I  \  w ) )  ->  ( g `  k )  =  U. ( F `  k ) )
52 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )
5340cbvixpv 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X_ n  e.  I  ( g `  n )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
5452, 53syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )
5526, 1, 18, 3, 27, 9, 37, 38, 44, 46, 51, 54ptcnplem 17331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  ( ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
5655anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  /\  ( ( w  e.  Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
5756expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  /\  ( w  e. 
Fin  /\  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) ) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
5857expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  /\  w  e.  Fin )  ->  ( A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
5958rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) )  ->  ( E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I 
\  w ) ( g `  n )  =  U. ( F `
 n )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
6059impr 602 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
)  e.  X_ n  e.  I  ( g `  n )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
6125, 60sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
62 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  <-> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) )
6353eqeq2i 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  <->  f  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
)
6463biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  f  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )
6564sseq2d 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) )
6665anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f )  <->  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
6766rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f )  <->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
6862, 67imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( f  =  X_ n  e.  I 
( g `  n
)  ->  ( (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) )  <->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  X_ n  e.  I  (
g `  n )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
6961, 68syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
) )  ->  (
f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7069expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7170exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7271alrimiv 1621 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
73 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( a  =  f  ->  (
a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n )  <->  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) )
7473anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( a  =  f  ->  (
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  f  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) ) )
7574exbidv 1616 . . . 4  |-  ( a  =  f  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) ) )
7675ralab 2939 . . 3  |-  ( A. f  e.  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) )  <->  A. f
( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  f  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) )
7772, 76sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  {
a  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e. 
Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `  n
)  =  U. ( F `  n )
)  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) }  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  f ) ) )
78 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( F : I --> Top  ->  F  Fn  I )
793, 78syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  I )
80 eqid 2296 . . . . . 6  |-  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I 
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w ) ( g `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )  /\  a  =  X_ n  e.  I  ( g `  n ) ) }  =  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  ( g `  n )  e.  ( F `  n )  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }
8180ptval 17281 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
8218, 79, 81syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
8326, 82syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  { a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) } ) )
843feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  I  |->  ( F `
 k ) ) )
8584fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) ) )
8626, 85syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) ) )
878ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  I 
( F `  k
)  e.  (TopOn `  U. ( F `  k
) ) )
88 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k
) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )
8988pttopon 17307 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A. k  e.  I  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )  ->  ( Xt_ `  ( k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k )
) )
9018, 87, 89syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
k  e.  I  |->  ( F `  k ) ) )  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k
) ) )
9186, 90eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X_ k  e.  I  U. ( F `  k ) ) )
921, 83, 91, 27tgcnp 16999 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) : X --> X_ k  e.  I  U. ( F `  k )  /\  A. f  e. 
{ a  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. n  e.  I  (
g `  n )  e.  ( F `  n
)  /\  E. w  e.  Fin  A. n  e.  ( I  \  w
) ( g `  n )  =  U. ( F `  n ) )  /\  a  = 
X_ n  e.  I 
( g `  n
) ) }  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  f  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  f
) ) ) ) )
9324, 77, 92mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Fincfn 6879   topGenctg 13358   Xt_cpt 13359   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971
This theorem is referenced by:  ptcn  17337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cnp 16974
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