Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcnp Unicode version

Theorem ptcnp 17316
 Description: If every projection of a function is continuous at , then the function itself is continuous at into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2
ptcnp.3 TopOn
ptcnp.4
ptcnp.5
ptcnp.6
ptcnp.7
Assertion
Ref Expression
ptcnp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem ptcnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnp.3 . . . . . . . . . 10 TopOn
21adantr 451 . . . . . . . . 9 TopOn
3 ptcnp.5 . . . . . . . . . . 11
4 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
53, 4sylan 457 . . . . . . . . . 10
6 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
76toptopon 16671 . . . . . . . . . 10 TopOn
85, 7sylib 188 . . . . . . . . 9 TopOn
9 ptcnp.7 . . . . . . . . 9
10 cnpf2 16980 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
112, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . 8
12 eqid 2283 . . . . . . . . 9
1312fmpt 5681 . . . . . . . 8
1411, 13sylibr 203 . . . . . . 7
1514r19.21bi 2641 . . . . . 6
1615an32s 779 . . . . 5
1716ralrimiva 2626 . . . 4
18 ptcnp.4 . . . . . 6
1918adantr 451 . . . . 5
20 mptelixpg 6853 . . . . 5
2119, 20syl 15 . . . 4
2217, 21mpbird 223 . . 3
23 eqid 2283 . . 3
2422, 23fmptd 5684 . 2
25 df-3an 936 . . . . . . . 8
26 ptcnp.2 . . . . . . . . . . . . . 14
27 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . . . 14
28 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3230, 31nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3432, 33nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3629, 35nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15
3728, 36nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . 14
38 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14
39 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4240, 41eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . 15
4439, 43sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
45 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14
4745simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
4841unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4940, 48eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . 15
5147, 50sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
52 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
5340cbvixpv 6834 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . 14
5526, 1, 18, 3, 27, 9, 37, 38, 44, 46, 51, 54ptcnplem 17315 . . . . . . . . . . . . 13
5655anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12
5756expr 598 . . . . . . . . . . 11
5857expr 598 . . . . . . . . . 10
5958rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9
6059impr 602 . . . . . . . 8
6125, 60sylan2b 461 . . . . . . 7
62 eleq2 2344 . . . . . . . 8
6353eqeq2i 2293 . . . . . . . . . . . 12
6463biimpi 186 . . . . . . . . . . 11
6564sseq2d 3206 . . . . . . . . . 10
6665anbi2d 684 . . . . . . . . 9
6766rexbidv 2564 . . . . . . . 8
6862, 67imbi12d 311 . . . . . . 7
6961, 68syl5ibrcom 213 . . . . . 6
7069expimpd 586 . . . . 5
7170exlimdv 1664 . . . 4
7271alrimiv 1617 . . 3
73 eqeq1 2289 . . . . . 6
7473anbi2d 684 . . . . 5
7574exbidv 1612 . . . 4
7675ralab 2926 . . 3
7772, 76sylibr 203 . 2
78 ffn 5389 . . . . . 6
793, 78syl 15 . . . . 5
80 eqid 2283 . . . . . 6
8180ptval 17265 . . . . 5
8218, 79, 81syl2anc 642 . . . 4
8326, 82syl5eq 2327 . . 3
843feqmptd 5575 . . . . . 6
8584fveq2d 5529 . . . . 5
8626, 85syl5eq 2327 . . . 4
878ralrimiva 2626 . . . . 5 TopOn
88 eqid 2283 . . . . . 6
8988pttopon 17291 . . . . 5 TopOn TopOn
9018, 87, 89syl2anc 642 . . . 4 TopOn
9186, 90eqeltrd 2357 . . 3 TopOn
921, 83, 91, 27tgcnp 16983 . 2
9324, 77, 92mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1527  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269  wral 2543  wrex 2544   cdif 3149   wss 3152  cuni 3827   cmpt 4077  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cixp 6817  cfn 6863  ctg 13342  cpt 13343  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccnp 16955 This theorem is referenced by:  ptcn  17321 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958
 Copyright terms: Public domain W3C validator