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Theorem ptcnplem 17315
Description: Lemma for ptcnp 17316. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2  |-  K  =  ( Xt_ `  F
)
ptcnp.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
ptcnp.4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ptcnp.5  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
ptcnp.6  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
ptcnp.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
ptcnplem.1  |-  F/ k ps
ptcnplem.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G  Fn  I )
ptcnplem.3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  ( F `  k ) )
ptcnplem.4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  Fin )
ptcnplem.5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( G `  k )  =  U. ( F `  k ) )
ptcnplem.6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
Assertion
Ref Expression
ptcnplem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    x, k, z, D    k, I, x, z    x, G, z    k, J, z   
z, K    ph, k, x, z    k, F, x, z    k, V, x   
k, W, z    k, X, x, z
Allowed substitution hints:    ps( x, z, k)    A( x, k)    G( k)    J( x)    K( x, k)    V( z)    W( x)

Proof of Theorem ptcnplem
Dummy variables  f 
t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnplem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  W  e.  Fin )
2 inss2 3390 . . . 4  |-  ( I  i^i  W )  C_  W
3 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  ( I  i^i  W ) 
C_  W )  -> 
( I  i^i  W
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( I  i^i  W
)  e.  Fin )
5 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ k
ph
6 ptcnplem.1 . . . . 5  |-  F/ k ps
75, 6nfan 1771 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  ps )
8 inss1 3389 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  W )  C_  I
98sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( I  i^i 
W )  ->  k  e.  I )
10 ptcnp.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `
 k ) ) `
 D ) )
1110adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )
12 ptcnplem.3 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( G `  k )  e.  ( F `  k ) )
13 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  X )
15 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
16 ptcnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
18 ptcnp.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : I --> Top )
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : I --> Top  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
2018, 19sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
2221toptopon 16671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  <->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `  k ) ) )
2320, 22sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) ) )
24 cnpf2 16980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F `  k )  e.  (TopOn `  U. ( F `
 k ) )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k ) ) `  D ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
2517, 23, 10, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
26 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
2726fmpt 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. ( F `  k )
)
2825, 27sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
2928r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. ( F `  k ) )
3026fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  U. ( F `  k )
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
3115, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
3231an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
3332mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
35 ptcnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  I  e.  V )
37 mptexg 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  V  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
39 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
4039fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
4134, 38, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
4233, 41eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x ) )
4342ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x ) )
4443adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x ) )
45 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x I
46 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  A )
47 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x D
4846, 47nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )
4945, 48nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
50 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
5150, 47nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
5249, 51nfeq 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )
53 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
5453mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D
) ) )
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D ) )
5654, 55eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  <->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  D
) ) )
5752, 56rspc 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  -> 
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D ) ) )
5814, 44, 57sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D ) )
59 ptcnplem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 D )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
6058, 59eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) )
6135adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I  e.  V )
62 mptelixpg 6853 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( k  e.  I  |->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) ) )
6460, 63mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  I 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )
6564r19.21bi 2641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )
66 cnpimaex 16986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  ( F `  k )
) `  D )  /\  ( G `  k
)  e.  ( F `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  ( G `  k ) )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
6711, 12, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  I
)  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
689, 67sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  C_  ( G `  k ) ) )
6968ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  ( I  i^i  W )  ->  E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) ) )
707, 69ralrimi 2624 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W ) E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) )
71 eleq2 2344 . . . . 5  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  ( D  e.  u  <->  D  e.  ( f `  k
) ) )
72 imaeq2 5008 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) " u
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) )
7372sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )  <->  ( ( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) )
7471, 73anbi12d 691 . . . 4  |-  ( u  =  ( f `  k )  ->  (
( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
)  <->  ( D  e.  ( f `  k
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) 
C_  ( G `  k ) ) ) )
7574ac6sfi 7101 . . 3  |-  ( ( ( I  i^i  W
)  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) E. u  e.  J  ( D  e.  u  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
u )  C_  ( G `  k )
) )  ->  E. f
( f : ( I  i^i  W ) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W
) ( D  e.  ( f `  k
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) 
C_  ( G `  k ) ) ) )
764, 70, 75syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. f ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )
) ) )
7716ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
78 toponuni 16665 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7977, 78syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  X  =  U. J )
8079ineq1d 3369 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f )  =  ( U. J  i^i  |^| ran  f ) )
81 topontop 16664 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
8216, 81syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8382ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
84 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  ->  ran  f  C_  J )
8584ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ran  f  C_  J )
864adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( I  i^i  W )  e.  Fin )
87 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( I  i^i 
W ) --> J  -> 
f  Fn  ( I  i^i  W ) )
8887ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  f  Fn  ( I  i^i  W ) )
89 dffn4 5457 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  ( I  i^i 
W )  <->  f :
( I  i^i  W
) -onto-> ran  f )
9088, 89sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  f :
( I  i^i  W
) -onto-> ran  f )
91 fofi 7142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  i^i  W
)  e.  Fin  /\  f : ( I  i^i 
W ) -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
9286, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ran  f  e. 
Fin )
93 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
9493rintopn 16655 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  f  C_  J  /\  ran  f  e.  Fin )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9583, 85, 92, 94syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9680, 95eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f )  e.  J )
9713ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  D  e.  X )
98 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( f `
 k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )
)  ->  D  e.  ( f `  k
) )
9998ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) )  ->  A. k  e.  (
I  i^i  W ) D  e.  ( f `  k ) )
10099ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) D  e.  ( f `  k ) )
101 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( f `  k )  ->  ( D  e.  z  <->  D  e.  ( f `  k
) ) )
102101ralrn 5668 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  ( I  i^i 
W )  ->  ( A. z  e.  ran  f  D  e.  z  <->  A. k  e.  ( I  i^i  W ) D  e.  ( f `  k ) ) )
10388, 102syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ran  f  D  e.  z  <->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) D  e.  ( f `  k ) ) )
104100, 103mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  f  D  e.  z )
105 elrint 3903 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  <->  ( D  e.  X  /\  A. z  e.  ran  f  D  e.  z ) )
10697, 104, 105sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )
107 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  f : ( I  i^i  W ) --> J
1087, 107nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )
109 funmpt 5290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Fun  (
x  e.  X  |->  A )
110 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i  W ) --> J )  ->  ph )
111110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ph )
112111, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
113 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  f : ( I  i^i 
W ) --> J )
114 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  k  e.  ( I  i^i  W
) )
115 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( I  i^i  W ) --> J  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  ->  ( f `  k )  e.  J
)
116113, 114, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  e.  J )
117 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
f `  k )  e.  J )  ->  (
f `  k )  C_  X )
118112, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  C_  X )
1198, 114sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  k  e.  I )
120111, 119, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k
) )
121 dmmptg 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
122120, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
123118, 122sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
124 funimass4 5573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  A )  /\  ( f `  k
)  C_  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t )  e.  ( G `  k
) ) )
125109, 123, 124sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( f `
 k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  e.  ( G `
 k ) ) )
126 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
t
12746, 126nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )
128127nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )
129 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ t ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )
130 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )
131130eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )  <-> 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
132128, 129, 131cbvral 2760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. t  e.  ( f `  k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( G `  k )  <->  A. x  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )
133125, 132syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  <->  A. x  e.  ( f `
 k ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k ) ) )
134 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  X
135 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  i^i  |^| ran  f )  C_  X  ->  ( A. x  e.  X  A  e.  U. ( F `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
136134, 120, 135mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
137 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  |^| ran  f
138113, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  f  Fn  ( I  i^i  W
) )
139 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  Fn  ( I  i^i  W )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  -> 
( f `  k
)  e.  ran  f
)
140138, 114, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
f `  k )  e.  ran  f )
141 intss1 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  k )  e.  ran  f  ->  |^| ran  f  C_  (
f `  k )
)
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  |^| ran  f  C_  ( f `  k ) )
143137, 142syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  ( f `  k ) )
144 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  k )  ->  ( A. x  e.  ( f `  k
) ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
)  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
145143, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( A. x  e.  (
f `  k )
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
146 r19.26 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( A  e.  U. ( F `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )  <->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  U. ( F `  k )  /\  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) ) )
147134sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  ->  x  e.  X )
148147, 30sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
149148eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k )  <->  A  e.  ( G `  k ) ) )
150149biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  A  e.  U. ( F `  k ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k )  ->  A  e.  ( G `  k ) ) )
151150expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( A  e. 
U. ( F `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  e.  ( G `
 k ) )  ->  A  e.  ( G `  k ) ) )
152151ralimia 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( A  e.  U. ( F `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  e.  ( G `  k
) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
153146, 152sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k )  /\  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
154136, 145, 153ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  ( A. x  e.  (
f `  k )
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  e.  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
155133, 154sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  /\  D  e.  ( f `  k
) )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
( f `  k
) )  C_  ( G `  k )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
156155expimpd 586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i 
W ) --> J )  /\  k  e.  ( I  i^i  W ) )  ->  ( ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k ) ) )
157108, 156ralimdaa 2620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  f : ( I  i^i  W ) --> J )  ->  ( A. k  e.  (
I  i^i  W )
( D  e.  ( f `  k )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" ( f `  k ) )  C_  ( G `  k ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
158157impr 602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
159 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ph )
160 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( I  \  W )  ->  k  e.  I )
161147, 29sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  A  e.  U. ( F `  k )
)
162161ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
163159, 160, 162syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) )
164 ptcnplem.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( G `  k )  =  U. ( F `  k ) )
165 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  k )  =  U. ( F `
 k )  -> 
( A  e.  ( G `  k )  <-> 
A  e.  U. ( F `  k )
) )
166165ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  k )  =  U. ( F `
 k )  -> 
( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
167164, 166syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k )  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e. 
U. ( F `  k ) ) )
168163, 167mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  k  e.  ( I  \  W ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
169168ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( k  e.  ( I  \  W )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
1707, 169ralrimi 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. k  e.  ( I  \  W ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
171170adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
172 inundif 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  i^i  W )  u.  ( I  \  W ) )  =  I
173172raleqi 2740 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( (
I  i^i  W )  u.  ( I  \  W
) ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k ) )
174 ralunb 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( (
I  i^i  W )  u.  ( I  \  W
) ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  <->  ( A. k  e.  ( I  i^i  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  /\  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
175173, 174bitr3i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `
 k )  <->  ( A. k  e.  ( I  i^i  W ) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
)  /\  A. k  e.  ( I  \  W
) A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) ) )
176158, 171, 175sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
177 ralcom 2700 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A  e.  ( G `  k
) )
178176, 177sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) )
17935ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  I  e.  V )
18050, 126nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )
181180nfel1 2429 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)
182 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)
183 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x ) )
184183eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) ) )
185181, 182, 184cbvral 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
186147, 37, 40syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x
)  =  ( k  e.  I  |->  A ) )
187186eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  ( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
188 mptelixpg 6853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  V  ->  (
( k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
189188adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
k  e.  I  |->  A )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
190187, 189bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  x )  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
191190ralbidva 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 x )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
192185, 191syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
193179, 192syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  A. x  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) A. k  e.  I  A  e.  ( G `  k ) ) )
194178, 193mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
195 funmpt 5290 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
19635, 37syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
197196ralrimivw 2627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
198197ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( k  e.  I  |->  A )  e.  _V )
199 dmmptg 5170 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
k  e.  I  |->  A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  X )
200198, 199syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  =  X )
201134, 200syl5sseqr 3227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( X  i^i  |^| ran  f ) 
C_  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) )
202 funimass4 5573 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )  /\  ( X  i^i  |^|
ran  f )  C_  dom  ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `  t
)  e.  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
203195, 201, 202sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k )  <->  A. t  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) `
 t )  e.  X_ k  e.  I 
( G `  k
) ) )
204194, 203mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )
205 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( D  e.  z  <-> 
D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f ) ) )
206 imaeq2 5008 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" ( X  i^i  |^|
ran  f ) ) )
207206sseq1d 3205 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " z ) 
C_  X_ k  e.  I 
( G `  k
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " ( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
208205, 207anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( X  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) " z
)  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) )  <->  ( D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) ) )
209208rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( X  i^i  |^| ran  f )  e.  J  /\  ( D  e.  ( X  i^i  |^| ran  f )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
( X  i^i  |^| ran  f ) )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
21096, 106, 204, 209syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) ) "
z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
211210ex 423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( f : ( I  i^i  W
) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W ) ( D  e.  ( f `  k )  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " (
f `  k )
)  C_  ( G `  k ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) ) )
212211exlimdv 1664 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( E. f ( f : ( I  i^i  W ) --> J  /\  A. k  e.  ( I  i^i  W
) ( D  e.  ( f `  k
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  A ) " ( f `
 k ) ) 
C_  ( G `  k ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) ) )
21376, 212mpd 14 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( k  e.  I  |->  A ) )
" z )  C_  X_ k  e.  I  ( G `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   |^|cint 3862    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817   Fincfn 6863   Xt_cpt 13343   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955
This theorem is referenced by:  ptcnp  17316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-top 16636  df-topon 16639  df-cnp 16958
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