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Theorem ptcnplem 17315
 Description: Lemma for ptcnp 17316. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2
ptcnp.3 TopOn
ptcnp.4
ptcnp.5
ptcnp.6
ptcnp.7
ptcnplem.1
ptcnplem.2
ptcnplem.3
ptcnplem.4
ptcnplem.5
ptcnplem.6
Assertion
Ref Expression
ptcnplem
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   ()   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ptcnplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnplem.4 . . . 4
2 inss2 3390 . . . 4
3 ssfi 7083 . . . 4
41, 2, 3sylancl 643 . . 3
5 nfv 1605 . . . . 5
6 ptcnplem.1 . . . . 5
75, 6nfan 1771 . . . 4
8 inss1 3389 . . . . . . 7
98sseli 3176 . . . . . 6
10 ptcnp.7 . . . . . . . 8
1110adantlr 695 . . . . . . 7
12 ptcnplem.3 . . . . . . 7
13 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . 12
1413adantr 451 . . . . . . . . . . 11
15 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 ptcnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
18 ptcnp.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2018, 19sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2221toptopon 16671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
2320, 22sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
24 cnpf2 16980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn TopOn
2517, 23, 10, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2726fmpt 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2825, 27sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3026fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3115, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . 14
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 ptcnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 mptexg 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15
4134, 38, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
4233, 41eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13
4342ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12
4443adantr 451 . . . . . . . . . . 11
45 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14
46 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14
4945, 48nfmpt 4108 . . . . . . . . . . . . 13
50 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14
5150, 47nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13
5249, 51nfeq 2426 . . . . . . . . . . . 12
53 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
5453mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12
5752, 56rspc 2878 . . . . . . . . . . 11
5814, 44, 57sylc 56 . . . . . . . . . 10
59 ptcnplem.6 . . . . . . . . . 10
6058, 59eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9
6135adantr 451 . . . . . . . . . 10
62 mptelixpg 6853 . . . . . . . . . 10
6361, 62syl 15 . . . . . . . . 9
6460, 63mpbid 201 . . . . . . . 8
6564r19.21bi 2641 . . . . . . 7
66 cnpimaex 16986 . . . . . . 7
6711, 12, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . 6
689, 67sylan2 460 . . . . 5
6968ex 423 . . . 4
707, 69ralrimi 2624 . . 3
71 eleq2 2344 . . . . 5
72 imaeq2 5008 . . . . . 6
7372sseq1d 3205 . . . . 5
7471, 73anbi12d 691 . . . 4
7574ac6sfi 7101 . . 3
764, 70, 75syl2anc 642 . 2
7716ad2antrr 706 . . . . . . . 8 TopOn
78 toponuni 16665 . . . . . . . 8 TopOn
7977, 78syl 15 . . . . . . 7
8079ineq1d 3369 . . . . . 6
81 topontop 16664 . . . . . . . . 9 TopOn
8216, 81syl 15 . . . . . . . 8
8382ad2antrr 706 . . . . . . 7
84 frn 5395 . . . . . . . 8
8584ad2antrl 708 . . . . . . 7
864adantr 451 . . . . . . . 8
87 ffn 5389 . . . . . . . . . 10
8887ad2antrl 708 . . . . . . . . 9
89 dffn4 5457 . . . . . . . . 9
9088, 89sylib 188 . . . . . . . 8
91 fofi 7142 . . . . . . . 8
9286, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . 7
93 eqid 2283 . . . . . . . 8
9493rintopn 16655 . . . . . . 7
9583, 85, 92, 94syl3anc 1182 . . . . . 6
9680, 95eqeltrd 2357 . . . . 5
9713ad2antrr 706 . . . . . 6
98 simpl 443 . . . . . . . . 9
9998ralimi 2618 . . . . . . . 8
10099ad2antll 709 . . . . . . 7
101 eleq2 2344 . . . . . . . . 9
102101ralrn 5668 . . . . . . . 8
10388, 102syl 15 . . . . . . 7
104100, 103mpbird 223 . . . . . 6
105 elrint 3903 . . . . . 6
10697, 104, 105sylanbrc 645 . . . . 5
107 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12
1087, 107nfan 1771 . . . . . . . . . . 11
109 funmpt 5290 . . . . . . . . . . . . . . 15
110 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111110ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112111, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
113 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116113, 114, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
118112, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1198, 114sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120111, 119, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 dmmptg 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122120, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123118, 122sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 funimass4 5573 . . . . . . . . . . . . . . 15
125109, 123, 124sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14
126 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12746, 126nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128127nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15
129 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131130eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15
132128, 129, 131cbvral 2760 . . . . . . . . . . . . . 14
133125, 132syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13
134 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15
136134, 120, 135mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . 14
137 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138113, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140138, 114, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141 intss1 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142140, 141syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143137, 142syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15
144 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15
145143, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
146 r19.26 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15
147134sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148147, 30sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149148eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150149biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151150expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152151ralimia 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15
153146, 152sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . 14
154136, 145, 153ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . 13
155133, 154sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12
156155expimpd 586 . . . . . . . . . . 11
157108, 156ralimdaa 2620 . . . . . . . . . 10
158157impr 602 . . . . . . . . 9
159 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14
160 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14
161147, 29sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . 14
163159, 160, 162syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13
164 ptcnplem.5 . . . . . . . . . . . . . 14
165 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15
166165ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . 14
167164, 166syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
168163, 167mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12
169168ex 423 . . . . . . . . . . 11
1707, 169ralrimi 2624 . . . . . . . . . 10
171170adantr 451 . . . . . . . . 9
172 inundif 3532 . . . . . . . . . . 11
173172raleqi 2740 . . . . . . . . . 10
174 ralunb 3356 . . . . . . . . . 10
175173, 174bitr3i 242 . . . . . . . . 9
176158, 171, 175sylanbrc 645 . . . . . . . 8
177 ralcom 2700 . . . . . . . 8
178176, 177sylibr 203 . . . . . . 7
17935ad2antrr 706 . . . . . . . 8
18050, 126nffv 5532 . . . . . . . . . . 11
181180nfel1 2429 . . . . . . . . . 10
182 nfv 1605 . . . . . . . . . 10
183 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
184183eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10
185181, 182, 184cbvral 2760 . . . . . . . . 9
186147, 37, 40syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12
187186eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11
188 mptelixpg 6853 . . . . . . . . . . . 12
189188adantr 451 . . . . . . . . . . 11
190187, 189bitrd 244 . . . . . . . . . 10
191190ralbidva 2559 . . . . . . . . 9
192185, 191syl5bb 248 . . . . . . . 8
193179, 192syl 15 . . . . . . 7
194178, 193mpbird 223 . . . . . 6
195 funmpt 5290 . . . . . . 7
19635, 37syl 15 . . . . . . . . . . 11
197196ralrimivw 2627 . . . . . . . . . 10
198197ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
199 dmmptg 5170 . . . . . . . . 9
200198, 199syl 15 . . . . . . . 8
201134, 200syl5sseqr 3227 . . . . . . 7
202 funimass4 5573 . . . . . . 7
203195, 201, 202sylancr 644 . . . . . 6
204194, 203mpbird 223 . . . . 5
205 eleq2 2344 . . . . . . 7
206 imaeq2 5008 . . . . . . . 8
207206sseq1d 3205 . . . . . . 7
208205, 207anbi12d 691 . . . . . 6
209208rspcev 2884 . . . . 5
21096, 106, 204, 209syl12anc 1180 . . . 4
211210ex 423 . . 3
212211exlimdv 1664 . 2
21376, 212mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1528  wnf 1531   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   cin 3151   wss 3152  cuni 3827  cint 3862   cmpt 4077   cdm 4689   crn 4690  cima 4692   wfun 5249   wfn 5250  wf 5251  wfo 5253  cfv 5255  (class class class)co 5858  cixp 6817  cfn 6863  cpt 13343  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccnp 16955 This theorem is referenced by:  ptcnp  17316 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-top 16636  df-topon 16639  df-cnp 16958
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