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Theorem ptcnplem 17658
 Description: Lemma for ptcnp 17659. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcnp.2
ptcnp.3 TopOn
ptcnp.4
ptcnp.5
ptcnp.6
ptcnp.7
ptcnplem.1
ptcnplem.2
ptcnplem.3
ptcnplem.4
ptcnplem.5
ptcnplem.6
Assertion
Ref Expression
ptcnplem
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   ()   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ptcnplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptcnplem.4 . . . 4
2 inss2 3564 . . . 4
3 ssfi 7332 . . . 4
41, 2, 3sylancl 645 . . 3
5 nfv 1630 . . . . 5
6 ptcnplem.1 . . . . 5
75, 6nfan 1847 . . . 4
8 inss1 3563 . . . . . . 7
98sseli 3346 . . . . . 6
10 ptcnp.7 . . . . . . . 8
1110adantlr 697 . . . . . . 7
12 ptcnplem.3 . . . . . . 7
13 ptcnp.6 . . . . . . . . . . . 12
1413adantr 453 . . . . . . . . . . 11
15 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 ptcnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
1716adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
18 ptcnp.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1918ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2120toptopon 17003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
2219, 21sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
23 cnpf2 17319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn TopOn
2417, 22, 10, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2625fmpt 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2724, 26sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2925fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3015, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231mpteq2dva 4298 . . . . . . . . . . . . . 14
33 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 ptcnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 mptexg 5968 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . . 15
4033, 37, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
4132, 40eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13
4241ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12
4342adantr 453 . . . . . . . . . . 11
44 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
45 nffvmpt1 5739 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45nfmpt 4300 . . . . . . . . . . . . 13
47 nffvmpt1 5739 . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47nfeq 2581 . . . . . . . . . . . 12
49 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
5049mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . 13
51 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . 12
5348, 52rspc 3048 . . . . . . . . . . 11
5414, 43, 53sylc 59 . . . . . . . . . 10
55 ptcnplem.6 . . . . . . . . . 10
5654, 55eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9
5734adantr 453 . . . . . . . . . 10
58 mptelixpg 7102 . . . . . . . . . 10
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9
6056, 59mpbid 203 . . . . . . . 8
6160r19.21bi 2806 . . . . . . 7
62 cnpimaex 17325 . . . . . . 7
6311, 12, 61, 62syl3anc 1185 . . . . . 6
649, 63sylan2 462 . . . . 5
6564ex 425 . . . 4
667, 65ralrimi 2789 . . 3
67 eleq2 2499 . . . . 5
68 imaeq2 5202 . . . . . 6
6968sseq1d 3377 . . . . 5
7067, 69anbi12d 693 . . . 4
7170ac6sfi 7354 . . 3
724, 66, 71syl2anc 644 . 2
7316ad2antrr 708 . . . . . 6 TopOn
74 toponuni 16997 . . . . . 6 TopOn
7573, 74syl 16 . . . . 5
7675ineq1d 3543 . . . 4
77 topontop 16996 . . . . . . 7 TopOn
7816, 77syl 16 . . . . . 6
7978ad2antrr 708 . . . . 5
80 frn 5600 . . . . . 6
8180ad2antrl 710 . . . . 5
824adantr 453 . . . . . 6
83 ffn 5594 . . . . . . . 8
8483ad2antrl 710 . . . . . . 7
85 dffn4 5662 . . . . . . 7
8684, 85sylib 190 . . . . . 6
87 fofi 7395 . . . . . 6
8882, 86, 87syl2anc 644 . . . . 5
89 eqid 2438 . . . . . 6
9089rintopn 16987 . . . . 5
9179, 81, 88, 90syl3anc 1185 . . . 4
9276, 91eqeltrd 2512 . . 3
9313ad2antrr 708 . . . 4
94 simpl 445 . . . . . . 7
9594ralimi 2783 . . . . . 6
9695ad2antll 711 . . . . 5
97 eleq2 2499 . . . . . . 7
9897ralrn 5876 . . . . . 6
9984, 98syl 16 . . . . 5
10096, 99mpbird 225 . . . 4
101 elrint 4093 . . . 4
10293, 100, 101sylanbrc 647 . . 3
103 nfv 1630 . . . . . . . . . 10
1047, 103nfan 1847 . . . . . . . . 9
105 funmpt 5492 . . . . . . . . . . . . 13
106 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
108 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110108, 109ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15
111 toponss 16999 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
112107, 110, 111syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
1138, 109sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114106, 113, 27syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 dmmptg 5370 . . . . . . . . . . . . . . 15
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
117112, 116sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . 13
118 funimass4 5780 . . . . . . . . . . . . 13
119105, 117, 118sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
120 nffvmpt1 5739 . . . . . . . . . . . . . 14
121120nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . 13
122 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13
123 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
124123eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13
125121, 122, 124cbvral 2930 . . . . . . . . . . . 12
126119, 125syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11
127 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . 13
128 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . . 13
129127, 114, 128mpsyl 62 . . . . . . . . . . . 12
130 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . 14
131108, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 fnfvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133131, 109, 132syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 intss1 4067 . . . . . . . . . . . . . . 15
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
136130, 135syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . 13
137 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . . 13
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . 12
139 r19.26 2840 . . . . . . . . . . . . 13
140127sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141140, 29sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142141eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143142biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . 15
144143expimpd 588 . . . . . . . . . . . . . 14
145144ralimia 2781 . . . . . . . . . . . . 13
146139, 145sylbir 206 . . . . . . . . . . . 12
147129, 138, 146ee12an 1373 . . . . . . . . . . 11
148126, 147sylbid 208 . . . . . . . . . 10
149148expimpd 588 . . . . . . . . 9
150104, 149ralimdaa 2785 . . . . . . . 8
151150impr 604 . . . . . . 7
152 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12
153 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . 12
154140, 28sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13
155154ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12
156152, 153, 155syl2an 465 . . . . . . . . . . 11
157 ptcnplem.5 . . . . . . . . . . . 12
158 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . 13
159158ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12
160157, 159syl 16 . . . . . . . . . . 11
161156, 160mpbird 225 . . . . . . . . . 10
162161ex 425 . . . . . . . . 9
1637, 162ralrimi 2789 . . . . . . . 8
164163adantr 453 . . . . . . 7
165 inundif 3708 . . . . . . . . 9
166165raleqi 2910 . . . . . . . 8
167 ralunb 3530 . . . . . . . 8
168166, 167bitr3i 244 . . . . . . 7
169151, 164, 168sylanbrc 647 . . . . . 6
170 ralcom 2870 . . . . . 6
171169, 170sylibr 205 . . . . 5
17234ad2antrr 708 . . . . . 6
173 nffvmpt1 5739 . . . . . . . . 9
174173nfel1 2584 . . . . . . . 8
175 nfv 1630 . . . . . . . 8
176 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
177176eleq1d 2504 . . . . . . . 8
178174, 175, 177cbvral 2930 . . . . . . 7
179140, 36, 39syl2anr 466 . . . . . . . . . 10
180179eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
181 mptelixpg 7102 . . . . . . . . . 10
182181adantr 453 . . . . . . . . 9
183180, 182bitrd 246 . . . . . . . 8
184183ralbidva 2723 . . . . . . 7
185178, 184syl5bb 250 . . . . . 6
186172, 185syl 16 . . . . 5
187171, 186mpbird 225 . . . 4
188 funmpt 5492 . . . . 5
18934, 36syl 16 . . . . . . . . 9
190189ralrimivw 2792 . . . . . . . 8
191190ad2antrr 708 . . . . . . 7
192 dmmptg 5370 . . . . . . 7
193191, 192syl 16 . . . . . 6
194127, 193syl5sseqr 3399 . . . . 5
195 funimass4 5780 . . . . 5
196188, 194, 195sylancr 646 . . . 4
197187, 196mpbird 225 . . 3
198 eleq2 2499 . . . . 5
199 imaeq2 5202 . . . . . 6
200199sseq1d 3377 . . . . 5
201198, 200anbi12d 693 . . . 4
202201rspcev 3054 . . 3
20392, 102, 197, 202syl12anc 1183 . 2
20472, 203exlimddv 1649 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551  wnf 1554   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319   cun 3320   cin 3321   wss 3322  cuni 4017  cint 4052   cmpt 4269   cdm 4881   crn 4882  cima 4884   wfun 5451   wfn 5452  wf 5453  wfo 5455  cfv 5457  (class class class)co 6084  cixp 7066  cfn 7112  cpt 13671  ctop 16963  TopOnctopon 16964   ccnp 17294 This theorem is referenced by:  ptcnp  17659 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116  df-top 16968  df-topon 16971  df-cnp 17297
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