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Theorem pthaus 17662
Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pthaus  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )

Proof of Theorem pthaus
Dummy variables  k  m  n  x  y 
z  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 17387 . . . . 5  |-  ( x  e.  Haus  ->  x  e. 
Top )
21ssriv 3344 . . . 4  |-  Haus  C_  Top
3 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( F : A --> Haus  /\  Haus  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
42, 3mpan2 653 . . 3  |-  ( F : A --> Haus  ->  F : A --> Top )
5 pttop 17606 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
64, 5sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
7 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
8 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
98ptuni 17618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
104, 9sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
127, 11eleqtrrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
13 ixpfn 7060 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  x  Fn  A )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  Fn  A )
15 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
1615, 11eleqtrrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
17 ixpfn 7060 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  y  Fn  A )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  Fn  A )
19 eqfnfv 5819 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  A  /\  y  Fn  A )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
2120necon3abid 2631 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
22 rexnal 2708 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
23 df-ne 2600 . . . . . . 7  |-  ( ( x `  k )  =/=  ( y `  k )  <->  -.  (
x `  k )  =  ( y `  k ) )
24 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  F : A --> Haus )
25 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
k  e.  A )
2624, 25ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  Haus )
27 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
2827elixp 7061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2928simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3012, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3130r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3231adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
33 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
3433elixp 7061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( y  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
3534simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3616, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3736r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3837adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
39 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) )
40 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
4140hausnei 17384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Haus  /\  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) ) )
4226, 32, 38, 39, 41syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k ) E. n  e.  ( F `  k )
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
43 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A  e.  V
)
444ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  F : A --> Top )
4525adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  k  e.  A
)
46 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
4746, 8ptpjcn 17635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
4843, 44, 45, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
49 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  m  e.  ( F `  k ) )
50 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( z `
 k ) )  =  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )
5150mptpreima 5355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }
52 cnima 17321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
5351, 52syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
5448, 49, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
55 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  n  e.  ( F `  k ) )
5650mptpreima 5355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n }
57 cnima 17321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
5856, 57syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
5948, 55, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
607ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
61 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( x `  k )  e.  m
)
62 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z `  k )  =  ( x `  k ) )
6362eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z `  k
)  e.  m  <->  ( x `  k )  e.  m
) )
6463elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  <->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( x `  k )  e.  m
) )
6560, 61, 64sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
)
6615ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
67 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( y `  k )  e.  n
)
68 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z `  k )  =  ( y `  k ) )
6968eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z `  k
)  e.  n  <->  ( y `  k )  e.  n
) )
7069elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  <->  ( y  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( y `  k )  e.  n
) )
7166, 67, 70sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)
72 inrab 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }
73 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  =  (/) )
74 inelcm 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n )  ->  ( m  i^i  n )  =/=  (/) )
7574necon2bi 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  i^i  n )  =  (/)  ->  -.  (
( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  ( (
z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
7776ralrimivw 2782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F )  -.  ( ( z `
 k )  e.  m  /\  ( z `
 k )  e.  n ) )
78 rabeq0 3641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }  =  (/)  <->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  -.  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
7977, 78sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) }  =  (/) )
8072, 79syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) )
81 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
) )
82 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
u  i^i  v )  =  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v ) )
8382eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) )
8481, 833anbi13d 1256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) ) )
85 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
86 ineq2 3528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
8786eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  (/) ) )
8885, 873anbi23d 1257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) ) )
8984, 88rspc2ev 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  e.  ( Xt_ `  F )  /\  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  e.  ( Xt_ `  F
)  /\  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9054, 59, 65, 71, 80, 89syl113anc 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9190expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( m  e.  ( F `  k )  /\  n  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9291rexlimdvva 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F
) E. v  e.  ( Xt_ `  F
) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9342, 92mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
9493expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9523, 94syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9695rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9722, 96syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( -.  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9821, 97sylbid 207 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9998ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) )
10046ishaus 17378 . 2  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Haus  <->  ( ( Xt_ `  F )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) ) )
1016, 99, 100sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   X_cixp 7055   Xt_cpt 13658   Topctop 16950    Cn ccn 17280   Hauscha 17364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-haus 17371
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