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Theorem pthaus 17348
Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pthaus  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )

Proof of Theorem pthaus
Dummy variables  k  m  n  x  y 
z  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 17075 . . . . 5  |-  ( x  e.  Haus  ->  x  e. 
Top )
21ssriv 3197 . . . 4  |-  Haus  C_  Top
3 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( F : A --> Haus  /\  Haus  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
42, 3mpan2 652 . . 3  |-  ( F : A --> Haus  ->  F : A --> Top )
5 pttop 17293 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
64, 5sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
7 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
8 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
98ptuni 17305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
104, 9sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1110adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
127, 11eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
13 ixpfn 6838 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  x  Fn  A )
1412, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  Fn  A )
15 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
1615, 11eleqtrrd 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
17 ixpfn 6838 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  y  Fn  A )
1816, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  Fn  A )
19 eqfnfv 5638 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  A  /\  y  Fn  A )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
2120necon3abid 2492 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
22 rexnal 2567 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
23 df-ne 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( x `  k )  =/=  ( y `  k )  <->  -.  (
x `  k )  =  ( y `  k ) )
24 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  F : A --> Haus )
25 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
k  e.  A )
26 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> Haus  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Haus )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  Haus )
28 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
2928elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
3029simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3112, 30syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3231r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3332adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
34 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
3534elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( y  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
3635simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3716, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3837r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3938adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
40 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) )
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
4241hausnei 17072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Haus  /\  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) ) )
4327, 33, 39, 40, 42syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k ) E. n  e.  ( F `  k )
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
44 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A  e.  V )
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A  e.  V
)
464ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  F : A --> Top )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  F : A --> Top )
4825adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  k  e.  A
)
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
5049, 8ptpjcn 17321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
5145, 47, 48, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
52 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  m  e.  ( F `  k ) )
53 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( z `
 k ) )  =  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )
5453mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }
55 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
5654, 55syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
5751, 52, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
58 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  n  e.  ( F `  k ) )
5953mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n }
60 cnima 17010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
6159, 60syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
6251, 58, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
637ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
64 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( x `  k )  e.  m
)
65 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z `  k )  =  ( x `  k ) )
6665eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z `  k
)  e.  m  <->  ( x `  k )  e.  m
) )
6766elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  <->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( x `  k )  e.  m
) )
6863, 64, 67sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
)
6915ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
70 simprr2 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( y `  k )  e.  n
)
71 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z `  k )  =  ( y `  k ) )
7271eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z `  k
)  e.  n  <->  ( y `  k )  e.  n
) )
7372elrab 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  <->  ( y  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( y `  k )  e.  n
) )
7469, 70, 73sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)
75 inrab 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }
76 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  =  (/) )
77 inelcm 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n )  ->  ( m  i^i  n )  =/=  (/) )
7877necon2bi 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  i^i  n )  =  (/)  ->  -.  (
( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) )
7976, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  ( (
z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
8079ralrimivw 2640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F )  -.  ( ( z `
 k )  e.  m  /\  ( z `
 k )  e.  n ) )
81 rabeq0 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }  =  (/)  <->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  -.  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
8280, 81sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) }  =  (/) )
8375, 82syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) )
84 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
) )
85 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
u  i^i  v )  =  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v ) )
8685eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) )
8784, 863anbi13d 1254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) ) )
88 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
89 ineq2 3377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
9089eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  (/) ) )
9188, 903anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) ) )
9287, 91rspc2ev 2905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  e.  ( Xt_ `  F )  /\  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  e.  ( Xt_ `  F
)  /\  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9357, 62, 68, 74, 83, 92syl113anc 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9493expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( m  e.  ( F `  k )  /\  n  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9594rexlimdvva 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F
) E. v  e.  ( Xt_ `  F
) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9643, 95mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
9796expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9823, 97syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9998rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
10022, 99syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( -.  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
10121, 100sylbid 206 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
102101ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) )
10349ishaus 17066 . 2  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Haus  <->  ( ( Xt_ `  F )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) ) )
1046, 102, 103sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Xt_cpt 13359   Topctop 16647    Cn ccn 16970   Hauscha 17052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-haus 17059
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