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Theorem pthaus 17675
Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pthaus  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )

Proof of Theorem pthaus
Dummy variables  k  m  n  x  y 
z  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 17400 . . . . 5  |-  ( x  e.  Haus  ->  x  e. 
Top )
21ssriv 3354 . . . 4  |-  Haus  C_  Top
3 fss 5602 . . . 4  |-  ( ( F : A --> Haus  /\  Haus  C_ 
Top )  ->  F : A --> Top )
42, 3mpan2 654 . . 3  |-  ( F : A --> Haus  ->  F : A --> Top )
5 pttop 17619 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
64, 5sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
7 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
8 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
98ptuni 17631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
104, 9sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
1110adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
127, 11eleqtrrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
13 ixpfn 7071 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  x  Fn  A )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  Fn  A )
15 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
1615, 11eleqtrrd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
17 ixpfn 7071 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  y  Fn  A )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  Fn  A )
19 eqfnfv 5830 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  A  /\  y  Fn  A )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
2014, 18, 19syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
2120necon3abid 2636 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
22 rexnal 2718 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  <->  -.  A. k  e.  A  ( x `  k )  =  ( y `  k ) )
23 df-ne 2603 . . . . . . 7  |-  ( ( x `  k )  =/=  ( y `  k )  <->  -.  (
x `  k )  =  ( y `  k ) )
24 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  F : A --> Haus )
25 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
k  e.  A )
2624, 25ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  Haus )
27 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
2827elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2928simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3012, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3130r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3231adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
33 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
3433elixp 7072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( y  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
3534simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3616, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. k  e.  A  ( y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3736r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
y `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
3837adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)
39 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) )
40 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
4140hausnei 17397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  Haus  /\  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( y `  k
)  e.  U. ( F `  k )  /\  ( x `  k
)  =/=  ( y `
 k ) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) ) )
4226, 32, 38, 39, 41syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. m  e.  ( F `  k ) E. n  e.  ( F `  k )
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
43 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A  e.  V
)
444ad4antlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  F : A --> Top )
4525adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  k  e.  A
)
46 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
4746, 8ptpjcn 17648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
4843, 44, 45, 47syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) ) )
49 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  m  e.  ( F `  k ) )
50 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |->  ( z `
 k ) )  =  ( z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |->  ( z `  k ) )
5150mptpreima 5366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }
52 cnima 17334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " m
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
5351, 52syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  m  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
5448, 49, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  e.  (
Xt_ `  F )
)
55 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  n  e.  ( F `  k ) )
5650mptpreima 5366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  =  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n }
57 cnima 17334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) ) " n
)  e.  ( Xt_ `  F ) )
5856, 57syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  U. ( Xt_ `  F ) 
|->  ( z `  k
) )  e.  ( ( Xt_ `  F
)  Cn  ( F `
 k ) )  /\  n  e.  ( F `  k ) )  ->  { z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
5948, 55, 58syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  e.  (
Xt_ `  F )
)
607ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
61 simprr1 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( x `  k )  e.  m
)
62 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
z `  k )  =  ( x `  k ) )
6362eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
( z `  k
)  e.  m  <->  ( x `  k )  e.  m
) )
6463elrab 3094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  <->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( x `  k )  e.  m
) )
6560, 61, 64sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
)
6615ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) )
67 simprr2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( y `  k )  e.  n
)
68 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z `  k )  =  ( y `  k ) )
6968eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( z `  k
)  e.  n  <->  ( y `  k )  e.  n
) )
7069elrab 3094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  <->  ( y  e.  U. ( Xt_ `  F
)  /\  ( y `  k )  e.  n
) )
7166, 67, 70sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)
72 inrab 3615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }
73 simprr3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  =  (/) )
74 inelcm 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n )  ->  ( m  i^i  n )  =/=  (/) )
7574necon2bi 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  i^i  n )  =  (/)  ->  -.  (
( z `  k
)  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  -.  ( (
z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
7776ralrimivw 2792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F )  -.  ( ( z `
 k )  e.  m  /\  ( z `
 k )  e.  n ) )
78 rabeq0 3651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  ( z `  k
)  e.  n ) }  =  (/)  <->  A. z  e.  U. ( Xt_ `  F
)  -.  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) )
7977, 78sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( ( z `  k )  e.  m  /\  (
z `  k )  e.  n ) }  =  (/) )
8072, 79syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) )
81 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
x  e.  u  <->  x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }
) )
82 ineq1 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
u  i^i  v )  =  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v ) )
8382eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) )
8481, 833anbi13d 1257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  (/) ) ) )
85 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
86 ineq2 3538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  i^i  v )  =  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
) )
8786eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  i^i  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  n } )  =  (/) ) )
8885, 873anbi23d 1258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  n }  ->  (
( x  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  m }  /\  y  e.  v  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) ) )
8984, 88rspc2ev 3062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  e.  ( Xt_ `  F )  /\  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  e.  ( Xt_ `  F
)  /\  ( x  e.  { z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k )  e.  m }  /\  y  e.  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }  /\  ( { z  e. 
U. ( Xt_ `  F
)  |  ( z `
 k )  e.  m }  i^i  {
z  e.  U. ( Xt_ `  F )  |  ( z `  k
)  e.  n }
)  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9054, 59, 65, 71, 80, 89syl113anc 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( ( m  e.  ( F `  k
)  /\  n  e.  ( F `  k ) )  /\  ( ( x `  k )  e.  m  /\  (
y `  k )  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
9190expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  /\  ( m  e.  ( F `  k )  /\  n  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( ( x `  k )  e.  m  /\  ( y `  k
)  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9291rexlimdvva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  -> 
( E. m  e.  ( F `  k
) E. n  e.  ( F `  k
) ( ( x `
 k )  e.  m  /\  ( y `
 k )  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F
) E. v  e.  ( Xt_ `  F
) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9342, 92mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( k  e.  A  /\  (
x `  k )  =/=  ( y `  k
) ) )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
9493expr 600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  (
( x `  k
)  =/=  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9523, 94syl5bir 211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Haus )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9695rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( E. k  e.  A  -.  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9722, 96syl5bir 211 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( -.  A. k  e.  A  ( x `  k
)  =  ( y `
 k )  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9821, 97sylbid 208 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (
x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
9998ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) )
10046ishaus 17391 . 2  |-  ( (
Xt_ `  F )  e.  Haus  <->  ( ( Xt_ `  F )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  (
Xt_ `  F ) E. v  e.  ( Xt_ `  F ) ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) ) ) )
1016, 99, 100sylanbrc 647 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Haus )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   X_cixp 7066   Xt_cpt 13671   Topctop 16963    Cn ccn 17293   Hauscha 17377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-fin 7116  df-fi 7419  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cn 17296  df-haus 17384
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