MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Unicode version

Theorem ptopn2 17279
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptopn2.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptopn2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
Assertion
Ref Expression
ptopn2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V    k, Y
Allowed substitution hint:    O( k)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptopn2.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
3 snfi 6941 . . 3  |-  { Y }  e.  Fin
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  { Y }  e.  Fin )
5 ptopn2.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  O  e.  ( F `  Y
) )
7 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
87eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( O  e.  ( F `  k )  <->  O  e.  ( F `  Y ) ) )
96, 8syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  =  Y  ->  O  e.  ( F `  k ) ) )
109imp 418 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  =  Y )  ->  O  e.  ( F `  k
) )
11 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  Top )
122, 11sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
13 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
1413topopn 16652 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1512, 14syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1615adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  k  =  Y )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k ) )
1710, 16ifclda 3592 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( F `
 k ) )
18 eldifn 3299 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  e.  { Y } )
19 elsn 3655 . . . . 5  |-  ( k  e.  { Y }  <->  k  =  Y )
2018, 19sylnib 295 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  =  Y
)
21 iffalse 3572 . . . 4  |-  ( -.  k  =  Y  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
2322adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { Y } ) )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
241, 2, 4, 17, 23ptopn 17278 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817   Fincfn 6863   Xt_cpt 13343   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  ptcld  17307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ixp 6818  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638
  Copyright terms: Public domain W3C validator