MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptopn2 Structured version   Unicode version

Theorem ptopn2 17616
Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptopn2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ptopn2.f  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
ptopn2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
Assertion
Ref Expression
ptopn2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, F    k, V    k, Y
Allowed substitution hint:    O( k)

Proof of Theorem ptopn2
StepHypRef Expression
1 ptopn2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 ptopn2.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> Top )
3 snfi 7187 . . 3  |-  { Y }  e.  Fin
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { Y }  e.  Fin )
5 ptopn2.o . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  e.  ( F `
 Y ) )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  O  e.  ( F `  Y
) )
7 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( k  =  Y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  Y ) )
87eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( k  =  Y  ->  ( O  e.  ( F `  k )  <->  O  e.  ( F `  Y ) ) )
96, 8syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  =  Y  ->  O  e.  ( F `  k ) ) )
109imp 419 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  =  Y )  ->  O  e.  ( F `  k
) )
112ffvelrnda 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  Top )
12 eqid 2436 . . . . . 6  |-  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  k )
1312topopn 16979 . . . . 5  |-  ( ( F `  k )  e.  Top  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k
) )
1514adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  k  =  Y )  ->  U. ( F `  k )  e.  ( F `  k ) )
1610, 15ifclda 3766 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( F `
 k ) )
17 eldifn 3470 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  e.  { Y } )
18 elsn 3829 . . . . 5  |-  ( k  e.  { Y }  <->  k  =  Y )
1917, 18sylnib 296 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  -.  k  =  Y
)
20 iffalse 3746 . . . 4  |-  ( -.  k  =  Y  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( k  e.  ( A  \  { Y } )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
2221adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { Y } ) )  ->  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
231, 2, 4, 16, 22ptopn 17615 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  if ( k  =  Y ,  O ,  U. ( F `  k ) )  e.  ( Xt_ `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3317   ifcif 3739   {csn 3814   U.cuni 4015   -->wf 5450   ` cfv 5454   X_cixp 7063   Fincfn 7109   Xt_cpt 13666   Topctop 16958
This theorem is referenced by:  ptcld  17645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ixp 7064  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-top 16963  df-bases 16965
  Copyright terms: Public domain W3C validator