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Theorem ptpcon 23764
Description: The topological product of a collection of path-connected spaces is path-connected. The proof uses the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptpcon  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. PCon
)

Proof of Theorem ptpcon
Dummy variables  f  x  y  g  t 
z  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 23756 . . . . 5  |-  ( x  e. PCon  ->  x  e.  Top )
21ssriv 3184 . . . 4  |- PCon  C_  Top
3 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( F : A -->PCon  /\ PCon  C_  Top )  ->  F : A --> Top )
42, 3mpan2 652 . . 3  |-  ( F : A -->PCon  ->  F : A
--> Top )
5 pttop 17277 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
64, 5sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Top )
7 fvi 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (  _I  `  A )  =  A )
98eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( t  e.  (  _I  `  A
)  <->  t  e.  A
) )
109biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  (  _I  `  A ) )  -> 
t  e.  A )
11 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  F : A
-->PCon )
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -->PCon  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t )  e. PCon )
1311, 12sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e. PCon )
14 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
15 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
1615ptuni 17289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
174, 16sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  X_ t  e.  A  U. ( F `  t )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  X_ t  e.  A  U. ( F `
 t )  = 
U. ( Xt_ `  F
) )
1914, 18eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t ) )
20 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2120elixp 6823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2219, 21sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( x  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2322simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) )
2423r19.21bi 2641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( x `  t
)  e.  U. ( F `  t )
)
25 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
2625, 18eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t ) )
27 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2827elixp 6823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  <->  ( y  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2926, 28sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( y  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
3029simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) )
3130r19.21bi 2641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( y `  t
)  e.  U. ( F `  t )
)
32 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  t )  =  U. ( F `  t )
3332pconcn 23755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  t
)  e. PCon  /\  (
x `  t )  e.  U. ( F `  t )  /\  (
y `  t )  e.  U. ( F `  t ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  ( F `  t ) ) ( ( f `  0
)  =  ( x `
 t )  /\  ( f `  1
)  =  ( y `
 t ) ) )
3413, 24, 31, 33syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) ) ( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) )
35 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) ) ( ( f `  0
)  =  ( x `
 t )  /\  ( f `  1
)  =  ( y `
 t ) )  <->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3634, 35sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3710, 36syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  (  _I  `  A ) )  ->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3837ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  (  _I  `  A
) E. f ( f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
39 fvex 5539 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  A )  e. 
_V
40 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  <->  ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) ) ) )
41 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( g `
 t ) ` 
0 ) )
4241eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f `  0
)  =  ( x `
 t )  <->  ( (
g `  t ) `  0 )  =  ( x `  t
) ) )
43 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( g `
 t ) ` 
1 ) )
4443eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f `  1
)  =  ( y `
 t )  <->  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )
4542, 44anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) )  <->  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) ) )
4640, 45anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( f `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( f `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  <->  ( (
g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
4739, 46ac6s2 8113 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  (  _I  `  A ) E. f
( f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( f `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( f `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  ->  E. g ( g  Fn  (  _I  `  A
)  /\  A. t  e.  (  _I  `  A
) ( ( g `
 t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
4838, 47syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  E. g
( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
49 iitopon 18383 . . . . . . . . 9  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
5049a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
51 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  A  e.  V
)
5211adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  F : A -->PCon )
5352, 4syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  F : A --> Top )
548adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  (  _I  `  A )  =  A )
5554eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  (  _I  `  A
)  <->  i  e.  A
) )
5655biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  (  _I  `  A
) )
57 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  i  ->  (
g `  t )  =  ( g `  i ) )
59 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  i  ->  ( F `  t )  =  ( F `  i ) )
6059oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  i  ->  (
II  Cn  ( F `  t ) )  =  ( II  Cn  ( F `  i )
) )
6158, 60eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  <->  ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `
 i ) ) ) )
6258fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
) `  0 )  =  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )
63 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  i  ->  (
x `  t )  =  ( x `  i ) )
6462, 63eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t ) `  0
)  =  ( x `
 t )  <->  ( (
g `  i ) `  0 )  =  ( x `  i
) ) )
6558fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )
66 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  i  ->  (
y `  t )  =  ( y `  i ) )
6765, 66eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t ) `  1
)  =  ( y `
 t )  <->  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) )
6864, 67anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) )  <->  ( ( ( g `  i ) `
 0 )  =  ( x `  i
)  /\  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) ) )
6961, 68anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  <->  ( (
g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i )
)  /\  ( (
( g `  i
) `  0 )  =  ( x `  i )  /\  (
( g `  i
) `  1 )  =  ( y `  i ) ) ) ) )
7069rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  /\  i  e.  (  _I  `  A ) )  -> 
( ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `
 i ) )  /\  ( ( ( g `  i ) `
 0 )  =  ( x `  i
)  /\  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) ) )
7157, 70sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  (  _I  `  A
) )  ->  (
( g `  i
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) )  /\  ( ( ( g `
 i ) ` 
0 )  =  ( x `  i )  /\  ( ( g `
 i ) ` 
1 )  =  ( y `  i ) ) ) )
7256, 71syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) )  /\  ( ( ( g `
 i ) ` 
0 )  =  ( x `  i )  /\  ( ( g `
 i ) ` 
1 )  =  ( y `  i ) ) ) )
7372simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i )
) )
74 iiuni 18385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
75 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  i )  =  U. ( F `  i )
7674, 75cnf 16976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i ) )  ->  ( g `  i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F `  i ) )
7773, 76syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F `  i )
)
7877feqmptd 5575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )
7978, 73eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) ) )
8015, 50, 51, 53, 79ptcn 17321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) )
8172simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( ( g `  i ) `  0
)  =  ( x `
 i )  /\  ( ( g `  i ) `  1
)  =  ( y `
 i ) ) )
8281simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
) `  0 )  =  ( x `  i ) )
8382mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i
) ) )
84 0elunit 10754 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
85 mptexg 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  0 )
)  e.  _V )
8651, 85syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )  e. 
_V )
87 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  0  ->  (
( g `  i
) `  z )  =  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )
8887mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 0 ) ) )
89 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) )
9088, 89fvmptg 5600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  0
) )  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) ) )
9184, 86, 90sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) ) )
9222simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  Fn  A )
9392adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  x  Fn  A
)
94 dffn5 5568 . . . . . . . . 9  |-  ( x  Fn  A  <->  x  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i
) ) )
9593, 94sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  x  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i ) ) )
9683, 91, 953eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  x )
9781simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
) `  1 )  =  ( y `  i ) )
9897mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i
) ) )
99 1elunit 10755 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
100 mptexg 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  1 )
)  e.  _V )
10151, 100syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )  e. 
_V )
102 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( g `  i
) `  z )  =  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )
103102mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 1 ) ) )
104103, 89fvmptg 5600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  1
) )  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) ) )
10599, 101, 104sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) ) )
10629simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  Fn  A )
107106adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  y  Fn  A
)
108 dffn5 5568 . . . . . . . . 9  |-  ( y  Fn  A  <->  y  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i
) ) )
109107, 108sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  y  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i ) ) )
11098, 105, 1093eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y )
111 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
0 ) )
112111eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  x ) )
113 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
1 ) )
114113eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( f `
 1 )  =  y  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y ) )
115112, 114anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y )  <->  ( (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y ) ) )
116115rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) )  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) )  /\  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
) ) `  0
)  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) ) `
 1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) )
11780, 96, 110, 116syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) )
118117ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( (
g  Fn  (  _I 
`  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) ) )
119118exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( E. g ( g  Fn  (  _I  `  A
)  /\  A. t  e.  (  _I  `  A
) ( ( g `
 t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) ) )
12048, 119mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
121120ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F
) A. y  e. 
U. ( Xt_ `  F
) E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
122 eqid 2283 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
123122ispcon 23754 . 2  |-  ( (
Xt_ `  F )  e. PCon  <-> 
( ( Xt_ `  F
)  e.  Top  /\  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) E. f  e.  ( II 
Cn  ( Xt_ `  F
) ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) ) )
1246, 121, 123sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. PCon
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    _I cid 4304    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817   0cc0 8737   1c1 8738   [,]cicc 10659   Xt_cpt 13343   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   IIcii 18379  PConcpcon 23750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-ii 18381  df-pcon 23752
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