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Theorem ptpcon 24922
Description: The topological product of a collection of path-connected spaces is path-connected. The proof uses the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptpcon  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. PCon
)

Proof of Theorem ptpcon
Dummy variables  f  x  y  g  t 
z  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 24914 . . . . 5  |-  ( x  e. PCon  ->  x  e.  Top )
21ssriv 3354 . . . 4  |- PCon  C_  Top
3 fss 5601 . . . 4  |-  ( ( F : A -->PCon  /\ PCon  C_  Top )  ->  F : A --> Top )
42, 3mpan2 654 . . 3  |-  ( F : A -->PCon  ->  F : A
--> Top )
5 pttop 17616 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
64, 5sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. 
Top )
7 fvi 5785 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  `  A )  =  A )
87ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  (  _I  `  A )  =  A )
98eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( t  e.  (  _I  `  A
)  <->  t  e.  A
) )
109biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  (  _I  `  A ) )  -> 
t  e.  A )
11 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  F : A
-->PCon )
1211ffvelrnda 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e. PCon )
13 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
14 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Xt_ `  F )  =  (
Xt_ `  F )
1514ptuni 17628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  =  U. ( Xt_ `  F ) )
164, 15sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  X_ t  e.  A  U. ( F `  t )  =  U. ( Xt_ `  F
) )
1716adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  X_ t  e.  A  U. ( F `
 t )  = 
U. ( Xt_ `  F
) )
1813, 17eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t ) )
19 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
2019elixp 7071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2118, 20sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( x  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2221simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  A  ( x `  t )  e.  U. ( F `  t ) )
2322r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( x `  t
)  e.  U. ( F `  t )
)
24 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) )
2524, 17eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t ) )
26 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2726elixp 7071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  X_ t  e.  A  U. ( F `  t
)  <->  ( y  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2825, 27sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  ( y  Fn  A  /\  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) ) )
2928simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  A  ( y `  t )  e.  U. ( F `  t ) )
3029r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  ( y `  t
)  e.  U. ( F `  t )
)
31 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  t )  =  U. ( F `  t )
3231pconcn 24913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  t
)  e. PCon  /\  (
x `  t )  e.  U. ( F `  t )  /\  (
y `  t )  e.  U. ( F `  t ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  ( F `  t ) ) ( ( f `  0
)  =  ( x `
 t )  /\  ( f `  1
)  =  ( y `
 t ) ) )
3312, 23, 30, 32syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) ) ( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) )
34 df-rex 2713 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) ) ( ( f `  0
)  =  ( x `
 t )  /\  ( f `  1
)  =  ( y `
 t ) )  <->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3533, 34sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  A )  ->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3610, 35syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  t  e.  (  _I  `  A ) )  ->  E. f ( f  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
f `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
f `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
3736ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  A. t  e.  (  _I  `  A
) E. f ( f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) )
38 fvex 5744 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  A )  e. 
_V
39 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  <->  ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) ) ) )
40 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f `  0 )  =  ( ( g `
 t ) ` 
0 ) )
4140eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f `  0
)  =  ( x `
 t )  <->  ( (
g `  t ) `  0 )  =  ( x `  t
) ) )
42 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
f `  1 )  =  ( ( g `
 t ) ` 
1 ) )
4342eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f `  1
)  =  ( y `
 t )  <->  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )
4441, 43anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( f ` 
1 )  =  ( y `  t ) )  <->  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) ) )
4539, 44anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  t )  ->  (
( f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( f `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( f `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  <->  ( (
g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
4638, 45ac6s2 8368 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  (  _I  `  A ) E. f
( f  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( f `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( f `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  ->  E. g ( g  Fn  (  _I  `  A
)  /\  A. t  e.  (  _I  `  A
) ( ( g `
 t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t )
)  /\  ( (
( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
4737, 46syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  E. g
( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )
48 iitopon 18911 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
4948a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
50 simplll 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  A  e.  V
)
5111adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  F : A -->PCon )
5251, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  F : A --> Top )
538adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  (  _I  `  A )  =  A )
5453eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  (  _I  `  A
)  <->  i  e.  A
) )
5554biimpar 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  (  _I  `  A
) )
56 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) ) )
57 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
g `  t )  =  ( g `  i ) )
58 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  ( F `  t )  =  ( F `  i ) )
5958oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
II  Cn  ( F `  t ) )  =  ( II  Cn  ( F `  i )
) )
6057, 59eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  <->  ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `
 i ) ) ) )
6157fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
) `  0 )  =  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )
62 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
x `  t )  =  ( x `  i ) )
6361, 62eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t ) `  0
)  =  ( x `
 t )  <->  ( (
g `  i ) `  0 )  =  ( x `  i
) ) )
6457fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )
65 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  i  ->  (
y `  t )  =  ( y `  i ) )
6664, 65eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t ) `  1
)  =  ( y `
 t )  <->  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) )
6763, 66anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) )  <->  ( ( ( g `  i ) `
 0 )  =  ( x `  i
)  /\  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) ) )
6860, 67anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  i  ->  (
( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  <->  ( (
g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i )
)  /\  ( (
( g `  i
) `  0 )  =  ( x `  i )  /\  (
( g `  i
) `  1 )  =  ( y `  i ) ) ) ) )
6968rspccva 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `
 t ) )  /\  ( ( ( g `  t ) `
 0 )  =  ( x `  t
)  /\  ( (
g `  t ) `  1 )  =  ( y `  t
) ) )  /\  i  e.  (  _I  `  A ) )  -> 
( ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `
 i ) )  /\  ( ( ( g `  i ) `
 0 )  =  ( x `  i
)  /\  ( (
g `  i ) `  1 )  =  ( y `  i
) ) ) )
7056, 69sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  (  _I  `  A
) )  ->  (
( g `  i
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) )  /\  ( ( ( g `
 i ) ` 
0 )  =  ( x `  i )  /\  ( ( g `
 i ) ` 
1 )  =  ( y `  i ) ) ) )
7155, 70syldan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) )  /\  ( ( ( g `
 i ) ` 
0 )  =  ( x `  i )  /\  ( ( g `
 i ) ` 
1 )  =  ( y `  i ) ) ) )
7271simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i )
) )
73 iiuni 18913 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
74 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  i )  =  U. ( F `  i )
7573, 74cnf 17312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  i )  e.  ( II  Cn  ( F `  i ) )  ->  ( g `  i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F `  i ) )
7672, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i ) : ( 0 [,] 1 ) --> U. ( F `  i )
)
7776feqmptd 5781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
g `  i )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )
7877, 72eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  i ) ) )
7914, 49, 50, 52, 78ptcn 17661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) )
8071simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( ( g `  i ) `  0
)  =  ( x `
 i )  /\  ( ( g `  i ) `  1
)  =  ( y `
 i ) ) )
8180simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
) `  0 )  =  ( x `  i ) )
8281mpteq2dva 4297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i
) ) )
83 0elunit 11017 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
84 mptexg 5967 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  0 )
)  e.  _V )
8550, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )  e. 
_V )
86 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
( g `  i
) `  z )  =  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) )
8786mpteq2dv 4298 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 0 ) ) )
88 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) )
8987, 88fvmptg 5806 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  0
) )  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) ) )
9083, 85, 89sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
0 ) ) )
9121simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  x  Fn  A )
9291adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  x  Fn  A
)
93 dffn5 5774 . . . . . . 7  |-  ( x  Fn  A  <->  x  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i
) ) )
9492, 93sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  x  =  ( i  e.  A  |->  ( x `  i ) ) )
9582, 90, 943eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  x )
9680simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I  `  A ) ( ( g `  t )  e.  ( II  Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `  t
) `  0 )  =  ( x `  t )  /\  (
( g `  t
) `  1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  /\  i  e.  A )  ->  (
( g `  i
) `  1 )  =  ( y `  i ) )
9796mpteq2dva 4297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i
) ) )
98 1elunit 11018 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
99 mptexg 5967 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  1 )
)  e.  _V )
10050, 99syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )  e. 
_V )
101 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
( g `  i
) `  z )  =  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) )
102101mpteq2dv 4298 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
)  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 1 ) ) )
103102, 88fvmptg 5806 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  1
) )  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) ) )
10498, 100, 103sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) ` 
1 ) ) )
10528simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  y  Fn  A )
106105adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  y  Fn  A
)
107 dffn5 5774 . . . . . . 7  |-  ( y  Fn  A  <->  y  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i
) ) )
108106, 107sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  y  =  ( i  e.  A  |->  ( y `  i ) ) )
10997, 104, 1083eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y )
110 fveq1 5729 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
0 ) )
111110eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  0 )  =  x ) )
112 fveq1 5729 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
1 ) )
113112eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( f `
 1 )  =  y  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y ) )
114111, 113anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y )  <->  ( (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `
 z ) ) ) `  1 )  =  y ) ) )
115114rspcev 3054 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i ) `  z
) ) )  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) )  /\  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `  i
) `  z )
) ) `  0
)  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( i  e.  A  |->  ( ( g `
 i ) `  z ) ) ) `
 1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) )
11679, 95, 109, 115syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
-->PCon )  /\  ( x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F
) ) )  /\  ( g  Fn  (  _I  `  A )  /\  A. t  e.  (  _I 
`  A ) ( ( g `  t
)  e.  ( II 
Cn  ( F `  t ) )  /\  ( ( ( g `
 t ) ` 
0 )  =  ( x `  t )  /\  ( ( g `
 t ) ` 
1 )  =  ( y `  t ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) )
11747, 116exlimddv 1649 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  /\  (
x  e.  U. ( Xt_ `  F )  /\  y  e.  U. ( Xt_ `  F ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
118117ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F
) A. y  e. 
U. ( Xt_ `  F
) E. f  e.  ( II  Cn  ( Xt_ `  F ) ) ( ( f ` 
0 )  =  x  /\  ( f ` 
1 )  =  y ) )
119 eqid 2438 . . 3  |-  U. ( Xt_ `  F )  = 
U. ( Xt_ `  F
)
120119ispcon 24912 . 2  |-  ( (
Xt_ `  F )  e. PCon  <-> 
( ( Xt_ `  F
)  e.  Top  /\  A. x  e.  U. ( Xt_ `  F ) A. y  e.  U. ( Xt_ `  F ) E. f  e.  ( II 
Cn  ( Xt_ `  F
) ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) ) )
1216, 118, 120sylanbrc 647 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A -->PCon )  ->  ( Xt_ `  F )  e. PCon
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   U.cuni 4017    e. cmpt 4268    _I cid 4495    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   X_cixp 7065   0cc0 8992   1c1 8993   [,]cicc 10921   Xt_cpt 13668   Topctop 16960  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290   IIcii 18907  PConcpcon 24908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-reg 7562  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-r1 7692  df-rank 7693  df-card 7828  df-ac 7999  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-ii 18909  df-pcon 24910
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