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Theorem ptpjcn 17305
Description: Continuity of a projection map into a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptpjcn.1  |-  Y  = 
U. J
ptpjcn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptpjcn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, I    x, V    x, Y
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptpjcn
Dummy variables  g 
k  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptpjcn.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
21ptuni 17289 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
323adant3 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
4 ptpjcn.1 . . . 4  |-  Y  = 
U. J
53, 4syl6reqr 2334 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  Y  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
6 mpteq1 4100 . . 3  |-  ( Y  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `
 I ) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) )
8 pttop 17277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
983adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
101, 9syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  J  e.  Top )
11 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
12113adant1 973 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( F `  I
)  e.  Top )
1310, 12jca 518 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  ( F `  I
)  e.  Top )
)
14 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
1514elixp 6823 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( x  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
1615simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  (
x `  k )  =  ( x `  I ) )
18 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
1918unieqd 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
2017, 19eleq12d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
( x `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( x `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
2120rspcva 2882 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  A  /\  A. k  e.  A  ( x `  k )  e.  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
2216, 21sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
23223ad2antl3 1119 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)  ->  ( x `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
24 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) )  =  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )
2523, 24fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) --> U. ( F `  I ) )
265feq2d 5380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  <->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) :
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) --> U. ( F `  I ) ) )
2725, 26mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) : Y --> U. ( F `  I
) )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2928ptbas 17274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
30 bastg 16704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
32 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
3328ptval 17265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
341, 33syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3532, 34sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
3631, 35sseqtr4d 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
3736adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  { w  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  w  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  C_  J )
38 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
3928, 38ptpjpre2 17275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  {
w  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  w  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
4037, 39sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  u  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4140expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  ( u  e.  ( F `  I
)  ->  ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
4241ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  I  e.  A
)  ->  A. u  e.  ( F `  I
) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J )
43423impa 1146 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) "
u )  e.  J
)
4427, 43jca 518 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) )
45 eqid 2283 . . . 4  |-  U. ( F `  I )  =  U. ( F `  I )
464, 45iscn2 16968 . . 3  |-  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) )  <-> 
( ( J  e. 
Top  /\  ( F `  I )  e.  Top )  /\  ( ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  |->  ( x `  I ) ) : Y --> U. ( F `  I )  /\  A. u  e.  ( F `  I ) ( `' ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) ) " u
)  e.  J ) ) )
4713, 44, 46sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) 
|->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
487, 47eqeltrd 2357 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( x  e.  Y  |->  ( x `  I
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 I ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817   Fincfn 6863   topGenctg 13342   Xt_cpt 13343   Topctop 16631   TopBasesctb 16635    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  pthaus  17332  ptrescn  17333  xkopjcn  17350  pt1hmeo  17497  ptunhmeo  17499  tmdgsum  17778  symgtgp  17784  prdstmdd  17806  prdstgpd  17807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
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