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Theorem ptpjpre1 17266
Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Distinct variable groups:    w, k, A    k, F, w    k, I, w    U, k, w   
k, V, w    w, X
Allowed substitution hint:    X( k)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  I  e.  A )
2 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
32elixp 6823 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( w  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
43simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
5 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
64, 5eleq2s 2375 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
76adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
8 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
w `  k )  =  ( w `  I ) )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
109unieqd 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
118, 10eleq12d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  I  ->  (
( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( w `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
1211rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  ->  ( w `  I
)  e.  U. ( F `  I )
) )
131, 7, 12sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
14 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 I ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )
1513, 14fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )
)
16 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )  ->  ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) )  Fn  X
)
17 elpreima 5645 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )  Fn  X  -> 
( z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  e.  U ) ) )
1815, 16, 173syl 18 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U ) ) )
19 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  I )  =  ( z `  I ) )
20 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( z `
 I )  e. 
_V
2119, 14, 20fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  =  ( z `
 I ) )
2221eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U  <->  ( z `  I )  e.  U ) )
2322pm5.32i 618 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
245eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X  <->  z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
25 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2625elixp 6823 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2724, 26bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2827anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
29 anass 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
3028, 29bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) ) )
3123, 30bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
32 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  I )  e.  U
)
33 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  (
z `  k )  =  ( z `  I ) )
34 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U )
3533, 34eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  I  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  <->  ( z `  I )  e.  U
) )
3632, 35syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( k  =  I  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
37 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
38 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
3938eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  =  I  -> 
( ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
4037, 39syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  k  =  I  ->  ( z `
 k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4136, 40pm2.61d 150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
4241expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  (
z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4342ralimdv 2622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4443expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( ( z `  I )  e.  U  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4544ancomsd 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
46 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( F `  I )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4746ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4834, 10sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  I  ->  ( if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  <->  U 
C_  U. ( F `  I ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
50 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  =  I  ->  U. ( F `  k
)  C_  U. ( F `  k )
)
5238, 51eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5349, 52pm2.61d1 151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5453sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5554ralimdv 2622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5635rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5756ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5855, 57jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
5945, 58impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
) ) )
6059anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6131, 60syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6218, 61bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6325elixp 6823 . . 3  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6462, 63syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6564eqrdv 2281 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ifcif 3565   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  ptpjpre2  17275  ptbasfi  17276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ixp 6818
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