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Theorem ptpjpre1 17605
Description: The preimage of a projection function can be expressed as an indexed cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptpjpre1.1  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Distinct variable groups:    w, k, A    k, F, w    k, I, w    U, k, w   
k, V, w    w, X
Allowed substitution hint:    X( k)

Proof of Theorem ptpjpre1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  I  e.  A )
2 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
32elixp 7071 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( w  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
43simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
5 ptpjpre1.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
64, 5eleq2s 2530 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
76adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  A. k  e.  A  ( w `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
8 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
w `  k )  =  ( w `  I ) )
9 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  ( F `  k )  =  ( F `  I ) )
109unieqd 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  U. ( F `  k )  =  U. ( F `  I ) )
118, 10eleq12d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  I  ->  (
( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  <->  ( w `  I )  e.  U. ( F `
 I ) ) )
1211rspcv 3050 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( w `  k
)  e.  U. ( F `  k )  ->  ( w `  I
)  e.  U. ( F `  I )
) )
131, 7, 12sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w `  I )  e.  U. ( F `  I ) )
14 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( w  e.  X  |->  ( w `
 I ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )
1513, 14fmptd 5895 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )
)
16 ffn 5593 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) : X --> U. ( F `  I )  ->  ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) )  Fn  X
)
17 elpreima 5852 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) )  Fn  X  -> 
( z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  <->  ( z  e.  X  /\  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  e.  U ) ) )
1815, 16, 173syl 19 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U ) ) )
19 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  I )  =  ( z `  I ) )
20 fvex 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( z `
 I )  e. 
_V
2119, 14, 20fvmpt 5808 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) `  z
)  =  ( z `
 I ) )
2221eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U  <->  ( z `  I )  e.  U ) )
2322pm5.32i 620 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  e.  X  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
245eleq2i 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X  <->  z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
25 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2625elixp 7071 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2724, 26bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
2827anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )  /\  ( z `
 I )  e.  U ) )
29 anass 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
3028, 29bitri 242 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( z `  I
)  e.  U )  <-> 
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) ) )
3123, 30bitri 242 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
32 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  I )  e.  U
)
33 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  (
z `  k )  =  ( z `  I ) )
34 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U )
3533, 34eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  I  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  <->  ( z `  I )  e.  U
) )
3632, 35syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( k  =  I  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
37 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) )
38 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  =  U. ( F `  k )
)
3938eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  =  I  -> 
( ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
4037, 39syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( -.  k  =  I  ->  ( z `
 k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4136, 40pm2.61d 153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( ( z `
 I )  e.  U  /\  ( z `
 k )  e. 
U. ( F `  k ) ) )  ->  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
4241expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  (
z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k
) ) ) )
4342ralimdv 2787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4443expimpd 588 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( ( z `  I )  e.  U  /\  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
4544ancomsd 442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
46 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( F `  I )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4746ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  U  C_ 
U. ( F `  I ) )
4834, 10sseq12d 3379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  I  ->  ( if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )  <->  U 
C_  U. ( F `  I ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
) )
50 ssid 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  k )  C_ 
U. ( F `  k )
5138, 50syl6eqss 3400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  =  I  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5249, 51pm2.61d1 154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  C_  U. ( F `  k )
)
5352sseld 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5453ralimdv 2787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k ) ) )
5535rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5655ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( z `  I )  e.  U
) )
5754, 56jcad 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
)  ->  ( A. k  e.  A  (
z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  (
z `  I )  e.  U ) ) )
5845, 57impbid 185 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
)  <->  A. k  e.  A  ( z `  k
)  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k )
) ) )
5958anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  Fn  A  /\  ( A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  U. ( F `  k )  /\  ( z `  I )  e.  U
) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6031, 59syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
( z  e.  X  /\  ( ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) `  z )  e.  U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6118, 60bitrd 246 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) ) )
6225elixp 7071 . . 3  |-  ( z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) )  <->  ( z  Fn  A  /\  A. k  e.  A  ( z `  k )  e.  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6361, 62syl6bbr 256 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  (
z  e.  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I
) ) " U
)  <->  z  e.  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) ) )
6463eqrdv 2436 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ k  e.  A  if ( k  =  I ,  U ,  U. ( F `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   ifcif 3741   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456   X_cixp 7065   Topctop 16960
This theorem is referenced by:  ptpjpre2  17614  ptbasfi  17615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ixp 7066
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