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Theorem ptpjpre2 17275
Description: The basis for a product topology is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
ptbasfi.2  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
Assertion
Ref Expression
ptpjpre2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  e.  B
)
Distinct variable groups:    B, n    w, g, x, y, n, I    z, g, A, n, w, x, y    U, g, n, w, x, y    g, F, n, w, x, y, z   
g, X, w, x, z    g, V, n, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w, g)    U( z)    I( z)    X( y, n)

Proof of Theorem ptpjpre2
StepHypRef Expression
1 ptbasfi.2 . . 3  |-  X  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
21ptpjpre1 17266 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  =  X_ n  e.  A  if ( n  =  I ,  U ,  U. ( F `  n )
) )
3 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
4 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  A  e.  V )
5 snfi 6941 . . . 4  |-  { I }  e.  Fin
65a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  { I }  e.  Fin )
7 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  U  e.  ( F `  I
) )
87ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  /\  n  =  I )  ->  U  e.  ( F `  I
) )
9 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  /\  n  =  I )  ->  n  =  I )
109fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  /\  n  =  I )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  I ) )
118, 10eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  /\  n  =  I )  ->  U  e.  ( F `  n
) )
12 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  F : A --> Top )
13 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> Top  /\  n  e.  A )  ->  ( F `  n
)  e.  Top )
1412, 13sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  ( F `  n )  e.  Top )
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  n )  =  U. ( F `  n )
1615topopn 16652 . . . . . 6  |-  ( ( F `  n )  e.  Top  ->  U. ( F `  n )  e.  ( F `  n
) )
1714, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  U. ( F `  n )  e.  ( F `  n
) )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  /\  -.  n  =  I )  ->  U. ( F `  n )  e.  ( F `  n
) )
1911, 18ifclda 3592 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  =  I ,  U ,  U. ( F `  n )
)  e.  ( F `
 n ) )
20 eldifsni 3750 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( A  \  { I } )  ->  n  =/=  I
)
2120neneqd 2462 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( A  \  { I } )  ->  -.  n  =  I )
2221adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  { I } ) )  ->  -.  n  =  I
)
23 iffalse 3572 . . . 4  |-  ( -.  n  =  I  ->  if ( n  =  I ,  U ,  U. ( F `  n ) )  =  U. ( F `  n )
)
2422, 23syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top )  /\  (
I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I ) ) )  /\  n  e.  ( A  \  { I } ) )  ->  if ( n  =  I ,  U ,  U. ( F `  n ) )  =  U. ( F `  n )
)
253, 4, 6, 19, 24elptr2 17269 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  X_ n  e.  A  if (
n  =  I ,  U ,  U. ( F `  n )
)  e.  B )
262, 25eqeltrd 2357 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  /\  ( I  e.  A  /\  U  e.  ( F `  I )
) )  ->  ( `' ( w  e.  X  |->  ( w `  I ) ) " U )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817   Fincfn 6863   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  ptbasfi  17276  ptpjcn  17305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-ixp 6818  df-en 6864  df-fin 6867  df-top 16636
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