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Theorem ptrescn 17593
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1  |-  X  = 
U. J
ptrescn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptrescn.3  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
ptrescn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, K    x, V    x, X
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables  u  k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  C_  A )
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
32ptuni 17548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
433adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. J )
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
64, 5syl6eqr 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
76eleq2d 2455 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <-> 
x  e.  X ) )
87biimpar 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
9 resixp 7034 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
101, 8, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
11 ixpeq2 7013 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5686 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 3969 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2719 . . . . . 6  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
15 ssexg 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
1615ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
17163adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
18 fssres 5551 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
19183adant1 975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
2120ptuni 17548 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2217, 19, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2314, 22syl5eqr 2434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  U. K )
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2510, 24eleqtrd 2464 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
26 eqid 2388 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )
2725, 26fmptd 5833 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K
)
28 fimacnv 5802 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) : X --> U. K  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
30 pttop 17536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
312, 30syl5eqel 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  e.  Top )
32313adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  Top )
335topopn 16903 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X  e.  J )
3529, 34eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  e.  J
)
36 elsni 3782 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  v  =  U. K )
3736imaeq2d 5144 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " U. K
) )
3837eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K
)  e.  J ) )
3935, 38syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
4039ralrimiv 2732 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J )
41 imaco 5316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
42 cnvco 4997 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )
4325adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  B  C_  A )  /\  (
k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
44 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
)  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )
45 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) )  =  ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) )
46 fveq1 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  |`  B )  ->  (
z `  k )  =  ( ( x  |`  B ) `  k
) )
4743, 44, 45, 46fmptco 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) ) )
48 fvres 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  B  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
4948ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
5049mpteq2dv 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5147, 50eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5251cnveqd 4989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  `' ( ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `
 k ) ) )
5342, 52syl5eqr 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5453imaeq1d 5143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) " u ) )
5541, 54syl5eqr 2434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
) )
56 simpl1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  A  e.  V )
57 simpl2 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  F : A --> Top )
58 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  B  C_  A )
59 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  B )
6058, 59sseldd 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  A )
615, 2ptpjcn 17565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x `  k ) )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
63 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
64 cnima 17252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  u  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
)  e.  J )
6562, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) "
u )  e.  J
)
6655, 65eqeltrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J )
67 imaeq2 5140 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
6867eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J ) )
6966, 68syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7069rexlimdvva 2781 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7170alrimiv 1638 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v ( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
72 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) )  =  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
7372rnmpt2 6120 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  =  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }
7473raleqi 2852 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
7512rexeqdv 2855 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  ( E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. u  e.  ( F `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
76 eqeq1 2394 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7776rexbidv 2671 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( E. u  e.  ( F `  k )
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7875, 77sylan9bbr 682 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  v  /\  k  e.  B )  ->  ( E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7978rexbidva 2667 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
8079ralab 3039 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8174, 80bitri 241 . . . 4  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8271, 81sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
)
83 ralunb 3472 . . 3  |-  ( A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  <->  ( A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  /\  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J ) )
8440, 82, 83sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
855toptopon 16922 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8632, 85sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
87 snex 4347 . . . 4  |-  { U. K }  e.  _V
88 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  B ) `  k )  e.  _V
8988abrexex 5923 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V
9089rgenw 2717 . . . . . 6  |-  A. k  e.  B  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  e.  _V
91 abrexex2g 5928 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. k  e.  B  {
y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9217, 90, 91sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9373, 92syl5eqel 2472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
94 unexg 4651 . . . 4  |-  ( ( { U. K }  e.  _V  /\  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
9587, 93, 94sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) )  e. 
_V )
96 eqid 2388 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
9720, 96, 72ptval2 17555 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
9817, 19, 97syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
99 pttop 17536 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
10017, 19, 99syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e. 
Top )
10120, 100syl5eqel 2472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  Top )
10296toptopon 16922 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
103101, 102sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
10486, 95, 98, 103subbascn 17241 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K  /\  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J ) ) )
10527, 84, 104mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    u. cun 3262    C_ wss 3264   {csn 3758   U.cuni 3958    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   ran crn 4820    |` cres 4821   "cima 4822    o. ccom 4823   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   X_cixp 7000   ficfi 7351   topGenctg 13593   Xt_cpt 13594   Topctop 16882  TopOnctopon 16883    Cn ccn 17211
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  17762  tmdgsum  18047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-fin 7050  df-fi 7352  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cn 17214
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