MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptrescn Unicode version

Theorem ptrescn 17333
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1  |-  X  = 
U. J
ptrescn.2  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptrescn.3  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
ptrescn  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, K    x, V    x, X
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables  u  k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  B  C_  A )
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
32ptuni 17289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
433adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  U. J )
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
64, 5syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
76eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  <-> 
x  e.  X ) )
87biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
9 resixp 6851 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  x  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `
 k ) )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
101, 8, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
11 ixpeq2 6830 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2612 . . . . . 6  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
15 ssexg 4160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
1615ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
17163adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
18 fssres 5408 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
19183adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
2120ptuni 17289 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2217, 19, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. K
)
2314, 22syl5eqr 2329 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  U. K )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
2510, 24eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
26 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )
2725, 26fmptd 5684 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K
)
28 fimacnv 5657 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) : X --> U. K  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
2927, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  =  X )
30 pttop 17277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
312, 30syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  e.  Top )
32313adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  Top )
335topopn 16652 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
3432, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  X  e.  J )
3529, 34eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K )  e.  J
)
36 elsni 3664 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  v  =  U. K )
3736imaeq2d 5012 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " U. K
) )
3837eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( v  e.  { U. K }  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " U. K
)  e.  J ) )
3935, 38syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( v  e.  { U. K }  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
4039ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J )
41 imaco 5178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
42 cnvco 4865 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )
4325adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  F : A
--> Top  /\  B  C_  A )  /\  (
k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  |`  B )  e.  U. K )
44 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
)  =  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )
45 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) )  =  ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) )
46 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  |`  B )  ->  (
z `  k )  =  ( ( x  |`  B ) `  k
) )
4743, 44, 45, 46fmptco 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) ) )
48 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  B  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
4948ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( x  |`  B ) `
 k )  =  ( x `  k
) )
5049mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( x  |`  B ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5147, 50eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5251cnveqd 4857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  `' ( ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )  o.  ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `
 k ) ) )
5342, 52syl5eqr 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) )  =  `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) )
5453imaeq1d 5011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  o.  `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) ) ) " u )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) " u ) )
5541, 54syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
) )
56 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  A  e.  V )
57 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  F : A --> Top )
58 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  B  C_  A )
59 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  B )
6058, 59sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  k  e.  A )
615, 2ptpjcn 17305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( x `  k ) )  e.  ( J  Cn  ( F `  k ) ) )
63 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  u  e.  ( F `  k
) )
64 cnima 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) )  e.  ( J  Cn  ( F `
 k ) )  /\  u  e.  ( F `  k ) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k
) ) " u
)  e.  J )
6562, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x `  k ) ) "
u )  e.  J
)
6655, 65eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J )
67 imaeq2 5008 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  =  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
6867eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  ->  ( ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J  <->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) )  e.  J ) )
6966, 68syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  /\  ( k  e.  B  /\  u  e.  ( F `  k )
) )  ->  (
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  ->  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7069rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
7170alrimiv 1617 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v ( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
72 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) )  =  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )
7372rnmpt2 5954 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  =  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }
7473raleqi 2740 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
7512rexeqdv 2743 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  ( E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. u  e.  ( F `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
76 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7776rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  ( E. u  e.  ( F `  k )
y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7875, 77sylan9bbr 681 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  v  /\  k  e.  B )  ->  ( E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  <->  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )
7978rexbidva 2560 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
)  <->  E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k )
v  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) ) )
8079ralab 2926 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8174, 80bitri 240 . . . 4  |-  ( A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J  <->  A. v
( E. k  e.  B  E. u  e.  ( F `  k
) v  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u )  -> 
( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
) )
8271, 81sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) "
v )  e.  J
)
83 ralunb 3356 . . 3  |-  ( A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  <->  ( A. v  e.  { U. K }  ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J  /\  A. v  e.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) " v )  e.  J ) )
8440, 82, 83sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J )
855toptopon 16671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8632, 85sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
87 snex 4216 . . . 4  |-  { U. K }  e.  _V
88 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  B ) `  k )  e.  _V
8988abrexex 5763 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V
9089rgenw 2610 . . . . . 6  |-  A. k  e.  B  { y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `
 k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) }  e.  _V
91 abrexex2g 5768 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. k  e.  B  {
y  |  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
) y  =  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9217, 90, 91sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  { y  |  E. k  e.  B  E. u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k ) y  =  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) " u ) }  e.  _V )
9373, 92syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
94 unexg 4521 . . . 4  |-  ( ( { U. K }  e.  _V  /\  ran  (
k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k )  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
9587, 93, 94sylancr 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  ( ( F  |`  B ) `  k
)  |->  ( `' ( z  e.  U. K  |->  ( z `  k
) ) " u
) ) )  e. 
_V )
96 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
9720, 96, 72ptval2 17296 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
9817, 19, 97syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
99 pttop 17277 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
10017, 19, 99syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e. 
Top )
10120, 100syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  Top )
10296toptopon 16671 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
103101, 102sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
10486, 95, 98, 103subbascn 16984 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) ) : X --> U. K  /\  A. v  e.  ( { U. K }  u.  ran  ( k  e.  B ,  u  e.  (
( F  |`  B ) `
 k )  |->  ( `' ( z  e. 
U. K  |->  ( z `
 k ) )
" u ) ) ) ( `' ( x  e.  X  |->  ( x  |`  B )
) " v )  e.  J ) ) )
10527, 84, 104mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top  /\  B  C_  A )  -> 
( x  e.  X  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   X_cixp 6817   ficfi 7164   topGenctg 13342   Xt_cpt 13343   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  17499  tmdgsum  17778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator