MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pttopon Unicode version

Theorem pttopon 17307
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
Assertion
Ref Expression
pttopon  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    J( x)    K( x)    V( x)

Proof of Theorem pttopon
StepHypRef Expression
1 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  B
)  ->  K  e.  Top )
21ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  A. x  e.  A  K  e.  Top )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  K )  =  ( x  e.  A  |->  K )
43fmpt 5697 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  Top  <->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
52, 4sylib 188 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )
6 ptunimpt.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  A  |->  K ) )
7 pttop 17293 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( x  e.  A  |->  K ) )  e. 
Top )
86, 7syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  A  |->  K ) : A --> Top )  ->  J  e. 
Top )
95, 8sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  Top )
10 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. K )
1110ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  ->  A. x  e.  A  B  =  U. K )
12 ixpeq2 6846 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  =  U. K  ->  X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
1413adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  B  =  X_ x  e.  A  U. K )
156ptunimpt 17306 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  Top )  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
162, 15sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  U. K  = 
U. J )
1714, 16eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  X_ x  e.  A  B  =  U. J )
18 istopon 16679 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B )  <->  ( J  e.  Top  /\  X_ x  e.  A  B  =  U. J ) )
199, 17, 18sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  K  e.  (TopOn `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  A  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271   X_cixp 6833   Xt_cpt 13359   Topctop 16647  TopOnctopon 16648
This theorem is referenced by:  pttoponconst  17308  ptclsg  17325  dfac14lem  17327  ptcnp  17332  prdstps  17339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator