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Theorem ptuncnv 17839
 Description: Exhibit the converse function of the map which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x
ptunhmeo.y
ptunhmeo.j
ptunhmeo.k
ptunhmeo.l
ptunhmeo.g
ptunhmeo.c
ptunhmeo.f
ptunhmeo.u
ptunhmeo.i
Assertion
Ref Expression
ptuncnv
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem ptuncnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . 4
2 vex 2959 . . . . . . 7
3 vex 2959 . . . . . . 7
42, 3op1std 6357 . . . . . 6
52, 3op2ndd 6358 . . . . . 6
64, 5uneq12d 3502 . . . . 5
76mpt2mpt 6165 . . . 4
81, 7eqtr4i 2459 . . 3
9 xp1st 6376 . . . . . . 7
109adantl 453 . . . . . 6
11 ixpeq2 7076 . . . . . . . . . 10
12 fvres 5745 . . . . . . . . . . 11
1312unieqd 4026 . . . . . . . . . 10
1411, 13mprg 2775 . . . . . . . . 9
15 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . 11
16 ssun1 3510 . . . . . . . . . . . 12
17 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . 12
1816, 17syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . 11
1915, 18ssexd 4350 . . . . . . . . . 10
20 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . 11
21 fssres 5610 . . . . . . . . . . 11
2220, 18, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
23 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . 11
2423ptuni 17626 . . . . . . . . . 10
2519, 22, 24syl2anc 643 . . . . . . . . 9
2614, 25syl5eqr 2482 . . . . . . . 8
27 ptunhmeo.x . . . . . . . 8
2826, 27syl6eqr 2486 . . . . . . 7
2928adantr 452 . . . . . 6
3010, 29eleqtrrd 2513 . . . . 5
31 xp2nd 6377 . . . . . . 7
3231adantl 453 . . . . . 6
3317eqcomd 2441 . . . . . . . . . 10
34 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . 11
35 uneqdifeq 3716 . . . . . . . . . . 11
3618, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
3733, 36mpbid 202 . . . . . . . . 9
3837ixpeq1d 7074 . . . . . . . 8
39 ixpeq2 7076 . . . . . . . . . . 11
40 fvres 5745 . . . . . . . . . . . 12
4140unieqd 4026 . . . . . . . . . . 11
4239, 41mprg 2775 . . . . . . . . . 10
43 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . 13
4443, 17syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . 12
4515, 44ssexd 4350 . . . . . . . . . . 11
46 fssres 5610 . . . . . . . . . . . 12
4720, 44, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
48 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . 12
4948ptuni 17626 . . . . . . . . . . 11
5045, 47, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
5142, 50syl5eqr 2482 . . . . . . . . 9
52 ptunhmeo.y . . . . . . . . 9
5351, 52syl6eqr 2486 . . . . . . . 8
5438, 53eqtrd 2468 . . . . . . 7
5554adantr 452 . . . . . 6
5632, 55eleqtrrd 2513 . . . . 5
5718adantr 452 . . . . 5
58 undifixp 7098 . . . . 5
5930, 56, 57, 58syl3anc 1184 . . . 4
60 ptunhmeo.j . . . . . . 7
6160ptuni 17626 . . . . . 6
6215, 20, 61syl2anc 643 . . . . 5
6362adantr 452 . . . 4
6459, 63eleqtrd 2512 . . 3
6518adantr 452 . . . . . 6
6662eleq2d 2503 . . . . . . 7
6766biimpar 472 . . . . . 6
68 resixp 7097 . . . . . 6
6965, 67, 68syl2anc 643 . . . . 5
7028adantr 452 . . . . 5
7169, 70eleqtrd 2512 . . . 4
7244adantr 452 . . . . . 6
73 resixp 7097 . . . . . 6
7472, 67, 73syl2anc 643 . . . . 5
7553adantr 452 . . . . 5
7674, 75eleqtrd 2512 . . . 4
77 opelxpi 4910 . . . 4
7871, 76, 77syl2anc 643 . . 3
79 eqop 6389 . . . . 5
8079ad2antrl 709 . . . 4
8167adantrl 697 . . . . . . . . 9
82 ixpfn 7068 . . . . . . . . 9
83 fnresdm 5554 . . . . . . . . 9
8481, 82, 833syl 19 . . . . . . . 8
8517reseq2d 5146 . . . . . . . . 9
8685adantr 452 . . . . . . . 8
8784, 86eqtr3d 2470 . . . . . . 7
88 resundi 5160 . . . . . . 7
8987, 88syl6eq 2484 . . . . . 6
90 uneq12 3496 . . . . . . 7
9190eqeq2d 2447 . . . . . 6
9289, 91syl5ibrcom 214 . . . . 5
93 ixpfn 7068 . . . . . . . . . . . 12
9430, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11
9594adantrr 698 . . . . . . . . . 10
96 dffn2 5592 . . . . . . . . . 10
9795, 96sylib 189 . . . . . . . . 9
9853adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
9932, 98eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12
100 ixpfn 7068 . . . . . . . . . . . 12
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11
102101adantrr 698 . . . . . . . . . 10
103 dffn2 5592 . . . . . . . . . 10
104102, 103sylib 189 . . . . . . . . 9
105 res0 5150 . . . . . . . . . . 11
106 res0 5150 . . . . . . . . . . 11
107105, 106eqtr4i 2459 . . . . . . . . . 10
10834adantr 452 . . . . . . . . . . 11
109108reseq2d 5146 . . . . . . . . . 10
110108reseq2d 5146 . . . . . . . . . 10
111107, 109, 1103eqtr4a 2494 . . . . . . . . 9
112 fresaunres1 5616 . . . . . . . . 9
11397, 104, 111, 112syl3anc 1184 . . . . . . . 8
114113eqcomd 2441 . . . . . . 7
115 fresaunres2 5615 . . . . . . . . 9
11697, 104, 111, 115syl3anc 1184 . . . . . . . 8
117116eqcomd 2441 . . . . . . 7
118114, 117jca 519 . . . . . 6
119 reseq1 5140 . . . . . . . 8
120119eqeq2d 2447 . . . . . . 7
121 reseq1 5140 . . . . . . . 8
122121eqeq2d 2447 . . . . . . 7
123120, 122anbi12d 692 . . . . . 6
124118, 123syl5ibrcom 214 . . . . 5
12592, 124impbid 184 . . . 4
12680, 125bitrd 245 . . 3
1278, 64, 78, 126f1ocnv2d 6295 . 2
128127simprd 450 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cop 3817  cuni 4015   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   cres 4880   wfn 5449  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348  cixp 7063  cpt 13666  ctop 16958 This theorem is referenced by:  ptunhmeo  17840 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ixp 7064  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-top 16963  df-bases 16965
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