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Theorem ptuncnv 17498
 Description: Exhibit the converse function of the map which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x
ptunhmeo.y
ptunhmeo.j
ptunhmeo.k
ptunhmeo.l
ptunhmeo.g
ptunhmeo.c
ptunhmeo.f
ptunhmeo.u
ptunhmeo.i
Assertion
Ref Expression
ptuncnv
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem ptuncnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . 4
2 vex 2791 . . . . . . 7
3 vex 2791 . . . . . . 7
42, 3op1std 6130 . . . . . 6
52, 3op2ndd 6131 . . . . . 6
64, 5uneq12d 3330 . . . . 5
76mpt2mpt 5939 . . . 4
81, 7eqtr4i 2306 . . 3
9 xp1st 6149 . . . . . . 7
109adantl 452 . . . . . 6
11 ixpeq2 6830 . . . . . . . . . 10
12 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11
1312unieqd 3838 . . . . . . . . . 10
1411, 13mprg 2612 . . . . . . . . 9
15 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . 12
16 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . 12
1715, 16syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . 11
18 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . 11
19 ssexg 4160 . . . . . . . . . . 11
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
21 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . 11
22 fssres 5408 . . . . . . . . . . 11
2321, 17, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
24 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . 11
2524ptuni 17289 . . . . . . . . . 10
2620, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9
2714, 26syl5eqr 2329 . . . . . . . 8
28 ptunhmeo.x . . . . . . . 8
2927, 28syl6eqr 2333 . . . . . . 7
3029adantr 451 . . . . . 6
3110, 30eleqtrrd 2360 . . . . 5
32 xp2nd 6150 . . . . . . 7
3332adantl 452 . . . . . 6
3416eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10
35 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . 11
36 uneqdifeq 3542 . . . . . . . . . . 11
3717, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
3834, 37mpbid 201 . . . . . . . . 9
39 ixpeq1 6827 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8
41 ixpeq2 6830 . . . . . . . . . . 11
42 fvres 5542 . . . . . . . . . . . 12
4342unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11
4441, 43mprg 2612 . . . . . . . . . 10
45 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . 13
4645, 16syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . 12
47 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . 12
4846, 18, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
49 fssres 5408 . . . . . . . . . . . 12
5021, 46, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
51 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . 12
5251ptuni 17289 . . . . . . . . . . 11
5348, 50, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
5444, 53syl5eqr 2329 . . . . . . . . 9
55 ptunhmeo.y . . . . . . . . 9
5654, 55syl6eqr 2333 . . . . . . . 8
5740, 56eqtrd 2315 . . . . . . 7
5857adantr 451 . . . . . 6
5933, 58eleqtrrd 2360 . . . . 5
6017adantr 451 . . . . 5
61 undifixp 6852 . . . . 5
6231, 59, 60, 61syl3anc 1182 . . . 4
63 ptunhmeo.j . . . . . . 7
6463ptuni 17289 . . . . . 6
6518, 21, 64syl2anc 642 . . . . 5
6665adantr 451 . . . 4
6762, 66eleqtrd 2359 . . 3
6817adantr 451 . . . . . 6
6965eleq2d 2350 . . . . . . 7
7069biimpar 471 . . . . . 6
71 resixp 6851 . . . . . 6
7268, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5
7329adantr 451 . . . . 5
7472, 73eleqtrd 2359 . . . 4
7546adantr 451 . . . . . 6
76 resixp 6851 . . . . . 6
7775, 70, 76syl2anc 642 . . . . 5
7856adantr 451 . . . . 5
7977, 78eleqtrd 2359 . . . 4
80 opelxpi 4721 . . . 4
8174, 79, 80syl2anc 642 . . 3
82 eqop 6162 . . . . 5
8382ad2antrl 708 . . . 4
8470adantrl 696 . . . . . . . . 9
85 ixpfn 6822 . . . . . . . . 9
86 fnresdm 5353 . . . . . . . . 9
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8
8816reseq2d 4955 . . . . . . . . 9
8988adantr 451 . . . . . . . 8
9087, 89eqtr3d 2317 . . . . . . 7
91 resundi 4969 . . . . . . 7
9290, 91syl6eq 2331 . . . . . 6
93 uneq12 3324 . . . . . . 7
9493eqeq2d 2294 . . . . . 6
9592, 94syl5ibrcom 213 . . . . 5
96 ixpfn 6822 . . . . . . . . . . . 12
9731, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11
9897adantrr 697 . . . . . . . . . 10
99 dffn2 5390 . . . . . . . . . 10
10098, 99sylib 188 . . . . . . . . 9
10156adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
10233, 101eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12
103 ixpfn 6822 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11
105104adantrr 697 . . . . . . . . . 10
106 dffn2 5390 . . . . . . . . . 10
107105, 106sylib 188 . . . . . . . . 9
108 res0 4959 . . . . . . . . . . 11
109 res0 4959 . . . . . . . . . . 11
110108, 109eqtr4i 2306 . . . . . . . . . 10
11135adantr 451 . . . . . . . . . . 11
112111reseq2d 4955 . . . . . . . . . 10
113111reseq2d 4955 . . . . . . . . . 10
114110, 112, 1133eqtr4a 2341 . . . . . . . . 9
115 fresaunres1 5414 . . . . . . . . 9
116100, 107, 114, 115syl3anc 1182 . . . . . . . 8
117116eqcomd 2288 . . . . . . 7
118 fresaunres2 5413 . . . . . . . . 9
119100, 107, 114, 118syl3anc 1182 . . . . . . . 8
120119eqcomd 2288 . . . . . . 7
121117, 120jca 518 . . . . . 6
122 reseq1 4949 . . . . . . . 8
123122eqeq2d 2294 . . . . . . 7
124 reseq1 4949 . . . . . . . 8
125124eqeq2d 2294 . . . . . . 7
126123, 125anbi12d 691 . . . . . 6
127121, 126syl5ibrcom 213 . . . . 5
12895, 127impbid 183 . . . 4
12983, 128bitrd 244 . . 3
1308, 67, 81, 129f1ocnv2d 6068 . 2
131130simprd 449 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cop 3643  cuni 3827   cmpt 4077   cxp 4687  ccnv 4688   cres 4691   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255   cmpt2 5860  c1st 6120  c2nd 6121  cixp 6817  cpt 13343  ctop 16631 This theorem is referenced by:  ptunhmeo  17499 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ixp 6818  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638
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