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Theorem ptuncnv 17514
Description: Exhibit the converse function of the map  G which joins two product topologies on disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x  |-  X  = 
U. K
ptunhmeo.y  |-  Y  = 
U. L
ptunhmeo.j  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptunhmeo.k  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
ptunhmeo.l  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
ptunhmeo.g  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
ptunhmeo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
ptunhmeo.f  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
ptunhmeo.u  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
ptunhmeo.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
ptuncnv  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    z, G    ph, x, y, z    x, C, y, z    x, F, y, z    x, J, y, z    x, K, y, z    x, L, y, z    z, V    x, X, y, z    x, Y, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ptuncnv
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
2 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
42, 3op1std 6146 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  x )
52, 3op2ndd 6147 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  y )
64, 5uneq12d 3343 . . . . 5  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  =  ( x  u.  y ) )
76mpt2mpt 5955 . . . 4  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
81, 7eqtr4i 2319 . . 3  |-  G  =  ( w  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) )
9 xp1st 6165 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
109adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X )
11 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )
)
12 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
1312unieqd 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
1411, 13mprg 2625 . . . . . . . . 9  |-  X_ k  e.  A  U. (
( F  |`  A ) `
 k )  = 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)
15 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
16 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
1715, 16syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
18 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
19 ssexg 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
21 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
22 fssres 5424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : C --> Top  /\  A  C_  C )  -> 
( F  |`  A ) : A --> Top )
2321, 17, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
24 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
2524ptuni 17305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2620, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  k
)  =  U. K
)
2714, 26syl5eqr 2342 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  U. K
)
28 ptunhmeo.x . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. K
2927, 28syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  =  X )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
3110, 30eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
32 xp2nd 6166 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3332adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  Y )
3416eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  C )
35 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
36 uneqdifeq 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  C  <->  ( C  \  A )  =  B ) )
3717, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  u.  B )  =  C  <-> 
( C  \  A
)  =  B ) )
3834, 37mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  =  B )
39 ixpeq1 6843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  \  A )  =  B  ->  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
41 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. ( F `  k )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )
)
42 fvres 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
4342unieqd 3854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
4441, 43mprg 2625 . . . . . . . . . 10  |-  X_ k  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 k )  = 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)
45 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4645, 16syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
47 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  B  e.  _V )
4846, 18, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
49 fssres 5424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C --> Top  /\  B  C_  C )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
5021, 46, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
51 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
5251ptuni 17305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
5348, 50, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  k
)  =  U. L
)
5444, 53syl5eqr 2342 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  U. L
)
55 ptunhmeo.y . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. L
5654, 55syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  =  Y )
5740, 56eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k )  =  Y )
5857adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  =  Y )
5933, 58eleqtrrd 2373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  k ) )
6017adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  A  C_  C )
61 undifixp 6868 . . . . 5  |-  ( ( ( 1st `  w
)  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  /\  ( 2nd `  w
)  e.  X_ k  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 k )  /\  A  C_  C )  -> 
( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
6231, 59, 60, 61syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
63 ptunhmeo.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
6463ptuni 17305 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top )  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6518, 21, 64syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  =  U. J
)
6665adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  =  U. J )
6762, 66eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  e. 
U. J )
6817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  A  C_  C )
6965eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )  <-> 
z  e.  U. J
) )
7069biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
) )
71 resixp 6867 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k ) )
7268, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
) )
7329adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  A  U. ( F `  k )  =  X )
7472, 73eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  A )  e.  X )
7546adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  B  C_  C )
76 resixp 6867 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  C  /\  z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `
 k ) )  ->  ( z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k ) )
7775, 70, 76syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
7856adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
7977, 78eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  (
z  |`  B )  e.  Y )
80 opelxpi 4737 . . . 4  |-  ( ( ( z  |`  A )  e.  X  /\  (
z  |`  B )  e.  Y )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
8174, 79, 80syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U. J )  ->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
82 eqop 6178 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
w  =  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. 
<->  ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
8382ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) ) ) )
8470adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k )
)
85 ixpfn 6838 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X_ k  e.  C  U. ( F `  k
)  ->  z  Fn  C )
86 fnresdm 5369 . . . . . . . . 9  |-  ( z  Fn  C  ->  (
z  |`  C )  =  z )
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  z )
8816reseq2d 4971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
8988adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  |`  C )  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
9087, 89eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( z  |`  ( A  u.  B
) ) )
91 resundi 4985 . . . . . . 7  |-  ( z  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) )
9290, 91syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
93 uneq12 3337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) )
9493eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  ->  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  <-> 
z  =  ( ( z  |`  A )  u.  ( z  |`  B ) ) ) )
9592, 94syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  -> 
z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) ) ) )
96 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ k  e.  A  U. ( F `  k
)  ->  ( 1st `  w )  Fn  A
)
9731, 96syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  Fn  A )
9897adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  Fn  A )
99 dffn2 5406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  Fn  A  <->  ( 1st `  w ) : A --> _V )
10098, 99sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
) : A --> _V )
10156adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ k  e.  B  U. ( F `  k )  =  Y )
10233, 101eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
) )
103 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  X_ k  e.  B  U. ( F `  k
)  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B
)
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  w )  Fn  B )
105104adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  Fn  B )
106 dffn2 5406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  w )  Fn  B  <->  ( 2nd `  w ) : B --> _V )
107105, 106sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
) : B --> _V )
108 res0 4975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  (/)
109 res0 4975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  w )  |`  (/) )  =  (/)
110108, 109eqtr4i 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  w )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) )
11135adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  (/) )
112111reseq2d 4971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  w
)  |`  (/) ) )
113111reseq2d 4971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  (/) ) )
114110, 112, 1133eqtr4a 2354 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )
115 fresaunres1 5430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
116100, 107, 114, 115syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  =  ( 1st `  w ) )
117116eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
118 fresaunres2 5429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  w
) : A --> _V  /\  ( 2nd `  w ) : B --> _V  /\  ( ( 1st `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  w
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
119100, 107, 114, 118syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  w ) )
120119eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( 2nd `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
121117, 120jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) )
122 reseq1 4965 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A ) )
123122eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  <->  ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  A ) ) )
124 reseq1 4965 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( z  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) )
125124eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B )  <->  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w
) )  |`  B ) ) )
126123, 125anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) )  <->  ( ( 1st `  w )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( ( ( 1st `  w )  u.  ( 2nd `  w ) )  |`  B ) ) ) )
127121, 126syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) )  -> 
( ( 1st `  w
)  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w )  =  ( z  |`  B ) ) ) )
12895, 127impbid 183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  =  ( z  |`  A )  /\  ( 2nd `  w
)  =  ( z  |`  B ) )  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
12983, 128bitrd 244 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. J ) )  -> 
( w  =  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >.  <->  z  =  ( ( 1st `  w
)  u.  ( 2nd `  w ) ) ) )
1308, 67, 81, 129f1ocnv2d 6084 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> U. J  /\  `' G  =  ( z  e. 
U. J  |->  <. (
z  |`  A ) ,  ( z  |`  B )
>. ) ) )
131130simprd 449 1  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   X_cixp 6833   Xt_cpt 13359   Topctop 16647
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  17515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654
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