Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunhmeo Unicode version

Theorem ptunhmeo 17499
 Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x
ptunhmeo.y
ptunhmeo.j
ptunhmeo.k
ptunhmeo.l
ptunhmeo.g
ptunhmeo.c
ptunhmeo.f
ptunhmeo.u
ptunhmeo.i
Assertion
Ref Expression
ptunhmeo
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem ptunhmeo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . . 5
2 vex 2791 . . . . . . . 8
3 vex 2791 . . . . . . . 8
42, 3op1std 6130 . . . . . . 7
52, 3op2ndd 6131 . . . . . . 7
64, 5uneq12d 3330 . . . . . 6
76mpt2mpt 5939 . . . . 5
81, 7eqtr4i 2306 . . . 4
9 xp1st 6149 . . . . . . . . . 10
109adantl 452 . . . . . . . . 9
11 ixpeq2 6830 . . . . . . . . . . . . 13
12 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . 14
1312unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13mprg 2612 . . . . . . . . . . . 12
15 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . 14
18 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . . . . 14
19 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . 14
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
21 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . . . . 14
22 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 17, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
24 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . . . . 14
2524ptuni 17289 . . . . . . . . . . . . 13
2620, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
2714, 26syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . 11
28 ptunhmeo.x . . . . . . . . . . 11
2927, 28syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10
3029adantr 451 . . . . . . . . 9
3110, 30eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8
32 xp2nd 6150 . . . . . . . . . 10
3332adantl 452 . . . . . . . . 9
3416eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . 13
35 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . . . . 14
36 uneqdifeq 3542 . . . . . . . . . . . . . 14
3717, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
3834, 37mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
39 ixpeq1 6827 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11
41 ixpeq2 6830 . . . . . . . . . . . . . 14
42 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . 14
4441, 43mprg 2612 . . . . . . . . . . . . 13
45 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645, 16syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 18, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
49 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . 15
5021, 46, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
51 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . . . . 15
5251ptuni 17289 . . . . . . . . . . . . . 14
5348, 50, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
5444, 53syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . 12
55 ptunhmeo.y . . . . . . . . . . . 12
5654, 55syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11
5740, 56eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10
5857adantr 451 . . . . . . . . 9
5933, 58eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8
6017adantr 451 . . . . . . . 8
61 undifixp 6852 . . . . . . . 8
6231, 59, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . 7
63 ixpfn 6822 . . . . . . 7
6462, 63syl 15 . . . . . 6
65 dffn5 5568 . . . . . 6
6664, 65sylib 188 . . . . 5
6766mpteq2dva 4106 . . . 4
688, 67syl5eq 2327 . . 3
69 ptunhmeo.j . . . 4
70 pttop 17277 . . . . . . . 8
7120, 23, 70syl2anc 642 . . . . . . 7
7224, 71syl5eqel 2367 . . . . . 6
7328toptopon 16671 . . . . . 6 TopOn
7472, 73sylib 188 . . . . 5 TopOn
75 pttop 17277 . . . . . . . 8
7648, 50, 75syl2anc 642 . . . . . . 7
7751, 76syl5eqel 2367 . . . . . 6
7855toptopon 16671 . . . . . 6 TopOn
7977, 78sylib 188 . . . . 5 TopOn
80 txtopon 17286 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
8174, 79, 80syl2anc 642 . . . 4 TopOn
8216eleq2d 2350 . . . . . . 7
8382biimpa 470 . . . . . 6
84 elun 3316 . . . . . 6
8583, 84sylib 188 . . . . 5
86 ixpfn 6822 . . . . . . . . . . 11
8731, 86syl 15 . . . . . . . . . 10
8887adantlr 695 . . . . . . . . 9
8956adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9033, 89eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11
91 ixpfn 6822 . . . . . . . . . . 11
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . 10
9392adantlr 695 . . . . . . . . 9
9435ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
95 simplr 731 . . . . . . . . 9
96 fvun1 5590 . . . . . . . . 9
9788, 93, 94, 95, 96syl112anc 1186 . . . . . . . 8
9897mpteq2dva 4106 . . . . . . 7
9981adantr 451 . . . . . . . 8 TopOn
1004mpt2mpt 5939 . . . . . . . . 9
10174adantr 451 . . . . . . . . . 10 TopOn
10279adantr 451 . . . . . . . . . 10 TopOn
103101, 102cnmpt1st 17362 . . . . . . . . 9
104100, 103syl5eqel 2367 . . . . . . . 8
10520adantr 451 . . . . . . . . . 10
10623adantr 451 . . . . . . . . . 10
107 simpr 447 . . . . . . . . . 10
10828, 24ptpjcn 17305 . . . . . . . . . 10
109105, 106, 107, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
110 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11
111110adantl 452 . . . . . . . . . 10
112111oveq2d 5874 . . . . . . . . 9
113109, 112eleqtrd 2359 . . . . . . . 8
114 fveq1 5524 . . . . . . . 8
11599, 104, 101, 113, 114cnmpt11 17357 . . . . . . 7
11698, 115eqeltrd 2357 . . . . . 6
11787adantlr 695 . . . . . . . . 9
11892adantlr 695 . . . . . . . . 9
11935ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
120 simplr 731 . . . . . . . . 9
121 fvun2 5591 . . . . . . . . 9
122117, 118, 119, 120, 121syl112anc 1186 . . . . . . . 8
123122mpteq2dva 4106 . . . . . . 7
12481adantr 451 . . . . . . . 8 TopOn
1255mpt2mpt 5939 . . . . . . . . 9
12674adantr 451 . . . . . . . . . 10 TopOn
12779adantr 451 . . . . . . . . . 10 TopOn
128126, 127cnmpt2nd 17363 . . . . . . . . 9
129125, 128syl5eqel 2367 . . . . . . . 8
13048adantr 451 . . . . . . . . . 10
13150adantr 451 . . . . . . . . . 10
132 simpr 447 . . . . . . . . . 10
13355, 51ptpjcn 17305 . . . . . . . . . 10
134130, 131, 132, 133syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
135 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11
136135adantl 452 . . . . . . . . . 10
137136oveq2d 5874 . . . . . . . . 9
138134, 137eleqtrd 2359 . . . . . . . 8
139 fveq1 5524 . . . . . . . 8
140124, 129, 127, 138, 139cnmpt11 17357 . . . . . . 7
141123, 140eqeltrd 2357 . . . . . 6
142116, 141jaodan 760 . . . . 5
14385, 142syldan 456 . . . 4
14469, 81, 18, 21, 143ptcn 17321 . . 3
14568, 144eqeltrd 2357 . 2
14628, 55, 69, 24, 51, 1, 18, 21, 16, 35ptuncnv 17498 . . 3
147 pttop 17277 . . . . . . 7
14818, 21, 147syl2anc 642 . . . . . 6
14969, 148syl5eqel 2367 . . . . 5
150 eqid 2283 . . . . . 6
151150toptopon 16671 . . . . 5 TopOn
152149, 151sylib 188 . . . 4 TopOn
153150, 69, 24ptrescn 17333 . . . . 5
15418, 21, 17, 153syl3anc 1182 . . . 4
155150, 69, 51ptrescn 17333 . . . . 5
15618, 21, 46, 155syl3anc 1182 . . . 4
157152, 154, 156cnmpt1t 17359 . . 3
158146, 157eqeltrd 2357 . 2
159 ishmeo 17450 . 2
160145, 158, 159sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cop 3643  cuni 3827   cmpt 4077   cxp 4687  ccnv 4688   cres 4691   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c1st 6120  c2nd 6121  cixp 6817  cpt 13343  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccn 16954   ctx 17255   chmeo 17444 This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17500  ptcmpfi  17504 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446
 Copyright terms: Public domain W3C validator