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Theorem ptunhmeo 17515
Description: Define a homeomorphism from a binary product of indexed product topologies to an indexed product topology on the union of the index sets. This is the topological analogue of  ( A ^ B )  x.  ( A ^ C )  =  A ^ ( B  +  C ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptunhmeo.x  |-  X  = 
U. K
ptunhmeo.y  |-  Y  = 
U. L
ptunhmeo.j  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
ptunhmeo.k  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
ptunhmeo.l  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
ptunhmeo.g  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
ptunhmeo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
ptunhmeo.f  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
ptunhmeo.u  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
ptunhmeo.i  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
ptunhmeo  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L ) 
Homeo  J ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    ph, x, y    x, C, y    x, F, y    x, J, y   
x, K, y    x, L, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ptunhmeo
Dummy variables  f 
k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ptunhmeo.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
2 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3op1std 6146 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
52, 3op2ndd 6147 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
64, 5uneq12d 3343 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  u.  y ) )
76mpt2mpt 5955 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x  u.  y
) )
81, 7eqtr4i 2319 . . . 4  |-  G  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) )
9 xp1st 6165 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  z )  e.  X )
109adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  X )
11 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. ( F `  n )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )
)
12 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 n )  =  ( F `  n
) )
1312unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  A  ->  U. (
( F  |`  A ) `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )
1411, 13mprg 2625 . . . . . . . . . . . 12  |-  X_ n  e.  A  U. (
( F  |`  A ) `
 n )  = 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)
15 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
16 ptunhmeo.u . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  =  ( A  u.  B ) )
1715, 16syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
18 ptunhmeo.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
19 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
21 ptunhmeo.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : C --> Top )
22 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : C --> Top  /\  A  C_  C )  -> 
( F  |`  A ) : A --> Top )
2321, 17, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
24 ptunhmeo.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )
2524ptuni 17305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. K
)
2620, 23, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( ( F  |`  A ) `  n
)  =  U. K
)
2714, 26syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  U. K
)
28 ptunhmeo.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  = 
U. K
2927, 28syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  =  X )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  =  X )
3110, 30eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
) )
32 xp2nd 6166 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  z )  e.  Y )
3332adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  Y )
3416eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  C )
35 ptunhmeo.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
36 uneqdifeq 3555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  C  <->  ( C  \  A )  =  B ) )
3717, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  u.  B )  =  C  <-> 
( C  \  A
)  =  B ) )
3834, 37mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  =  B )
39 ixpeq1 6843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  \  A )  =  B  ->  X_ n  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 n )  = 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n )  =  X_ n  e.  B  U. ( F `  n ) )
41 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. ( F `  n )  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  X_ n  e.  B  U. ( F `  n )
)
42 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 n )  =  ( F `  n
) )
4342unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  B  ->  U. (
( F  |`  B ) `
 n )  = 
U. ( F `  n ) )
4441, 43mprg 2625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ n  e.  B  U. (
( F  |`  B ) `
 n )  = 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)
45 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
4645, 16syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  C )
47 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  B  e.  _V )
4846, 18, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
49 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : C --> Top  /\  B  C_  C )  -> 
( F  |`  B ) : B --> Top )
5021, 46, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
51 ptunhmeo.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  L  =  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )
5251ptuni 17305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. L
)
5348, 50, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( ( F  |`  B ) `  n
)  =  U. L
)
5444, 53syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  =  U. L
)
55 ptunhmeo.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  = 
U. L
5654, 55syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  =  Y )
5740, 56eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n )  =  Y )
5857adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 n )  =  Y )
5933, 58eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  ( C  \  A ) U. ( F `  n ) )
6017adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  A  C_  C )
61 undifixp 6868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  z
)  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n )  /\  ( 2nd `  z
)  e.  X_ n  e.  ( C  \  A
) U. ( F `
 n )  /\  A  C_  C )  -> 
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
) )
6231, 59, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
) )
63 ixpfn 6838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  e.  X_ n  e.  C  U. ( F `  n
)  ->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) )  Fn  C
)
6462, 63syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  Fn  C )
65 dffn5 5584 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  Fn  C  <->  ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) `  k
) ) )
6664, 65sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) ) )
6766mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z
) ) `  k
) ) ) )
688, 67syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) ) ) )
69 ptunhmeo.j . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
70 pttop 17293 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Top )
7120, 23, 70syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  A ) )  e.  Top )
7224, 71syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
7328toptopon 16687 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  X ) )
7472, 73sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
75 pttop 17293 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
7648, 50, 75syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( F  |`  B ) )  e.  Top )
7751, 76syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
7855toptopon 16687 . . . . . 6  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
7977, 78sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
80 txtopon 17302 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8174, 79, 80syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8216eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  C  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
8382biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
84 elun 3329 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
8583, 84sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
86 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  z )  e.  X_ n  e.  A  U. ( F `  n
)  ->  ( 1st `  z )  Fn  A
)
8731, 86syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
8887adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
8956adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  X_ n  e.  B  U. ( F `  n )  =  Y )
9033, 89eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  B  U. ( F `  n
) )
91 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2nd `  z )  e.  X_ n  e.  B  U. ( F `  n
)  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B
)
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
9392adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
9435ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
95 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  k  e.  A )
96 fvun1 5606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  Fn  A  /\  ( 2nd `  z )  Fn  B  /\  (
( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
9788, 93, 94, 95, 96syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
9897mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  z
) `  k )
) )
9981adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
1004mpt2mpt 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )
10174adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
10279adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  L  e.  (TopOn `  Y )
)
103101, 102cnmpt1st 17378 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  K ) )
104100, 103syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  K ) )
10520adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  e.  _V )
10623adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Top )
107 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
10828, 24ptpjcn 17321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( F  |`  A ) : A --> Top  /\  k  e.  A )  ->  ( f  e.  X  |->  ( f `  k
) )  e.  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k ) ) )
109105, 106, 107, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
f  e.  X  |->  ( f `  k ) )  e.  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k
) ) )
110 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
111110adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
112111oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( K  Cn  ( ( F  |`  A ) `  k
) )  =  ( K  Cn  ( F `
 k ) ) )
113109, 112eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
f  e.  X  |->  ( f `  k ) )  e.  ( K  Cn  ( F `  k ) ) )
114 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( 1st `  z
)  ->  ( f `  k )  =  ( ( 1st `  z
) `  k )
)
11599, 104, 101, 113, 114cnmpt11 17373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  z
) `  k )
)  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k ) ) )
11698, 115eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
11787adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  z )  Fn  A )
11892adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( 2nd `  z )  Fn  B )
11935ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
120 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  k  e.  B )
121 fvun2 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  Fn  A  /\  ( 2nd `  z )  Fn  B  /\  (
( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  k  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
122117, 118, 119, 120, 121syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  z  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
123122mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 2nd `  z
) `  k )
) )
12481adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
1255mpt2mpt 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )
12674adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
12779adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  L  e.  (TopOn `  Y )
)
128126, 127cnmpt2nd 17379 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  L ) )
129125, 128syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  L ) )
13048adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  B  e.  _V )
13150adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( F  |`  B ) : B --> Top )
132 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
13355, 51ptpjcn 17321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( F  |`  B ) : B --> Top  /\  k  e.  B )  ->  ( f  e.  Y  |->  ( f `  k
) )  e.  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k ) ) )
134130, 131, 132, 133syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
f  e.  Y  |->  ( f `  k ) )  e.  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k
) ) )
135 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
136135adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
137136oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( L  Cn  ( ( F  |`  B ) `  k
) )  =  ( L  Cn  ( F `
 k ) ) )
138134, 137eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
f  e.  Y  |->  ( f `  k ) )  e.  ( L  Cn  ( F `  k ) ) )
139 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( f `  k )  =  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)
140124, 129, 127, 138, 139cnmpt11 17373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 2nd `  z
) `  k )
)  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k ) ) )
141123, 140eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
142116, 141jaodan 760 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) )  e.  ( ( K 
tX  L )  Cn  ( F `  k
) ) )
14385, 142syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  (
z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( ( 1st `  z
)  u.  ( 2nd `  z ) ) `  k ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  ( F `  k )
) )
14469, 81, 18, 21, 143ptcn 17337 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( k  e.  C  |->  ( ( ( 1st `  z )  u.  ( 2nd `  z ) ) `
 k ) ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J ) )
14568, 144eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J ) )
14628, 55, 69, 24, 51, 1, 18, 21, 16, 35ptuncnv 17514 . . 3  |-  ( ph  ->  `' G  =  (
z  e.  U. J  |-> 
<. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )
)
147 pttop 17293 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
14818, 21, 147syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  F
)  e.  Top )
14969, 148syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
150 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
151150toptopon 16687 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
152149, 151sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
153150, 69, 24ptrescn 17349 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top  /\  A  C_  C )  -> 
( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
15418, 21, 17, 153syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  A ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
155150, 69, 51ptrescn 17349 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  V  /\  F : C --> Top  /\  B  C_  C )  -> 
( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
15618, 21, 46, 155syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  ( z  |`  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
157152, 154, 156cnmpt1t 17375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. J  |->  <. ( z  |`  A ) ,  ( z  |`  B ) >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
158146, 157eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
159 ishmeo 17466 . 2  |-  ( G  e.  ( ( K 
tX  L )  Homeo  J )  <->  ( G  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J
)  /\  `' G  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) ) )
160145, 158, 159sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( K  tX  L ) 
Homeo  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   X_cixp 6833   Xt_cpt 13359   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271    Homeo chmeo 17460
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17516  ptcmpfi  17520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462
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