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Theorem ptuni 17305
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptuni.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptuni  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, V
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptuni
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbas 17290 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
3 unitg 16721 . . 3  |-  ( { k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. ( topGen `  {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
5 ptuni.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
6 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
71ptval 17281 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
86, 7sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
95, 8syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
109unieqd 3854 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
111ptuni2 17287 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
124, 10, 113eqtr4rd 2339 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162   U.cuni 3843    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   X_cixp 6833   Fincfn 6879   topGenctg 13358   Xt_cpt 13359   Topctop 16647   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  ptunimpt  17306  ptval2  17312  ptpjcn  17321  ptcld  17323  ptcn  17337  pthaus  17348  ptrescn  17349  ptuncnv  17514  ptunhmeo  17515  ptcmpfi  17520  ptcmplem1  17762  ptcmpg  17767  ptpcon  23779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654
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