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Theorem ptuni 17618
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptuni.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptuni  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, V
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptuni
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbas 17603 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
3 unitg 17024 . . 3  |-  ( { k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. ( topGen `  {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
5 ptuni.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
6 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
71ptval 17594 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
86, 7sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
95, 8syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
109unieqd 4018 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
111ptuni2 17600 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
124, 10, 113eqtr4rd 2478 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309   U.cuni 4007    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   X_cixp 7055   Fincfn 7101   topGenctg 13657   Xt_cpt 13658   Topctop 16950   TopBasesctb 16954
This theorem is referenced by:  ptunimpt  17619  ptval2  17625  ptpjcn  17635  ptcld  17637  ptcn  17651  pthaus  17662  ptrescn  17663  ptuncnv  17831  ptunhmeo  17832  ptcmpfi  17837  ptcmplem1  18075  ptcmpg  18080  ptpcon  24912
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ixp 7056  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957
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