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Theorem ptuni 17549
Description: The base set for the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptuni.1  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
Assertion
Ref Expression
ptuni  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, V
Allowed substitution hint:    J( x)

Proof of Theorem ptuni
Dummy variables  g 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . . 4  |-  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  =  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21ptbas 17534 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  e.  TopBases )
3 unitg 16957 . . 3  |-  ( { k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  =  U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. ( topGen `  {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )
5 ptuni.1 . . . 4  |-  J  =  ( Xt_ `  F
)
6 ffn 5533 . . . . 5  |-  ( F : A --> Top  ->  F  Fn  A )
71ptval 17525 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F  Fn  A )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
86, 7sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  F
)  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
95, 8syl5eq 2433 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  J  =  ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
109unieqd 3970 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  ->  U. J  =  U. ( topGen `  { k  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  k  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
111ptuni2 17531 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. {
k  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  k  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
124, 10, 113eqtr4rd 2432 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> Top )  -> 
X_ x  e.  A  U. ( F `  x
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375   A.wral 2651   E.wrex 2652    \ cdif 3262   U.cuni 3959    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396   X_cixp 7001   Fincfn 7047   topGenctg 13594   Xt_cpt 13595   Topctop 16883   TopBasesctb 16887
This theorem is referenced by:  ptunimpt  17550  ptval2  17556  ptpjcn  17566  ptcld  17568  ptcn  17582  pthaus  17593  ptrescn  17594  ptuncnv  17762  ptunhmeo  17763  ptcmpfi  17768  ptcmplem1  18006  ptcmpg  18011  ptpcon  24701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-ixp 7002  df-en 7048  df-fin 7051  df-fi 7353  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-top 16888  df-bases 16890
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